高二数学期末试卷

高二期末数学试卷带参考答案和解析

（2022-2022年河南省信阳市）

选择题

若复数（为虚数单位），则复数对应的点在复平面内位

于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

首先根据复数的四则运算求出复数，再根据复数的几何意

义得出其所在的象限.

解：，则，

复数对应的点在复平面内位于第二象限.

故选：B.

选择题

“已知对数函数（且）是增函数，因为是对

数函数，所以为增函数”，在以上三段论的推理中（）

A.大前提错误B.小前提错误

C.推理形式错误D.结论错误

【答案】A

【解析】

根据对数函数的单调性判断即可.

当时，函数为减函数，所以，在这个推理中，大前提

错误.

故选：A.

选择题

有一散点图如图所示，现拟合模型为直线l1，在5个（x，y）数据中

去掉D（3，10）后，重新拟合模型为直线l2给出下列说法：①相关

系数r变大；②相关指数R2变大；③残差平方和变小；④解释变

量x与预报变量y的相关性变强.其中正确说法的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

利用散点图，结合相关性，相关指数，残差以及与的相关性，逐

项判定，即可求解.

由题意，散点图有5个的数据，去掉后，

可得与的相关性越强，并且是正相关，

所以相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，

所以四个命题都正确.

故选：D.

选择题

已知（）的展开式中各项的二项式系数之和为128，

则其展开式中的系数为（）

A.280B.－280C.35D.－35

【答案】A

【解析】

由已知求得，写出二项展开式的通项，由的指数为2得，则答案

可求．

解：由题意，，得．

，

其二项展开式的通项；

由得，

展开式中含项的系数是．

故选：A．

选择题

用数学归纳法证明等式

，当时，等式

左端应在的基础上加上（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

写出和时的两式，然后比较可得．

时等式为，

时等式为，

当时，等式左端应在的基础上加上，

故选：B．

选择题

甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点，

设事件=“四位同学去的景点不相同”，事件=“甲同学独自去一个景

点”，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

由题意结合计数原理的知识求出所有基本事件数、发生的基本事件

数、发生的基本事件数，由古典概型概率公式可得、，

再利用条件概率概率公式即可得解.

甲、乙、丙、丁四位同学计划去4个景点旅游，每人只去一个景点共

有个基本事件，

甲同学独自去一个景点，共有个基本事件，则

；

事件、同时发生即事件：四位同学去的景点不相同发生，共有

个基本事件，则；

所以.

故选：A.

选择题

如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sinx(x∈(0，π))及直线x

＝a(a∈(0，π))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若该点落

在阴影部分的概率为，则a的值为()

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】依题意，阴影部分的面积为＝(－cosx)＝－cosa＋

cos0＝1－cosa，由几何概型知识得，＝，即cosa＝－，

而a∈(0，π)，故a＝．

选择题

假设2个分类变量X和Y的2×2列联表如下：

Y

X

y1

y2

总计

x1

a

10

a+10

x2

c

30

c+30

总计

a+c

40

100

对于同一样本，以下数据能说明和有关系的可能性最大的一组是

（）

A.a＝40，c＝20B.a＝45，c＝15C.a＝35，c＝25D.a＝30，c＝30

【答案】B

【解析】

根据题意，一定时，，相差越大，与相差就越大，

的观测值就越大，由此能说明和有关系的可能性越大.

的观测值，

根据2×2列联表和独立性检验的相关知识，当，一定时，，相

差越大，与相差就越大，就越大，即和有关系的可

能性越大，选项B中与其它选项相比相差最大.

故选：B

选择题

设，则函数（）

A.仅有一个极小值B.仅有一个极大值

C.有无数个极值D.没有极值

【答案】A

【解析】

求出导函数，判断的零点以及在零点两侧的符号是否

是异号，以确定是否是极值点.

，得.

设，则.

即为增函数，且.

所以当,则单调递减；

当,则单调递增，

且.

所以函数仅有一个极小值.

故选A.

选择题

《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙

突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员

们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务

必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同

安排方案共有（）

A.240种B.188种C.156种D.120种

【答案】D

【解析】当E,F排在前三位时，=24,当E,F排后三位时，

=72，当E,F排3，4位时，=24，N=120

种，选D.

选择题

已知函数，若对于任意的，函数

在内都有两个不同的零点，则实数的

取值范围为（）．

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

由题意可知，函数在内都有两个不同

的零点，等价于方程在内都有两个不同的根，

利用导数可得，当时，是增函数，当时，是

减函数，从而可得，令，分析得

在有解，且易知只能有一个解，然后可判断出函数的增减

区间，从而得，由此可求出的取值范围

函数在内都有两个不同的零点，等价

于方程在内都有两个不同的

根．，所以当时，，是增

函数；当时，，是减函数，因此．

设，，

若在无解，则在上是单调函数，不合题意；

所以在有解，且由两根之积为负，可知只能有一个解．设

其解为满足，当时，在上是

增函数；当时，在上是减函数．

因为任意的方程在有两个不同的

根，所以

②

①，所以．因为

，所以，

代入，得．设，

，所以在上是增函数，而，

由可得，得．

由在上是增函数，得．综上所述

，

故选：A．

填空题

已知随机变量，则________.

【答案】

【解析】

随机变量表示6次独立重复试验，每次实验成功的概率为

，而表示6次实验中成功2次的概率，根据此意义可以求

解．

由题意知=

==．

填空题

已知函数，则＝_____.

【答案】2019

【解析】

对已知函数进行求导，运用代入法进行求解即可.

，

因此有.

故答案为：2019

填空题

《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.

得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的

等式具有“穿墙术”：

则按照以

上规律，若具有“穿墙术”，则______.

【答案】63

【解析】∈，，

，

∈按照以上规律，可得.

故答案为.

填空题

已知f（x）＝ex+1与有相同的公切线l：y＝kx+b，

设直线l与x轴交于点P（x0，0），则x0的值为_____.

【答案】0

【解析】

利用导数求出两个函数的导数，根据导数的几何意义求出各自切线方

程，结合公切线方程进行求解即可.

设函数f（x）＝ex+1的切点坐标为：，

，所以切线的斜率为：，因此函数f（x）＝ex+1

的切线方程为：

，

设函数的切点为：，

，所以切线的斜率为：，

因此函数的切线方程为：

，

因为两个函数有相同的公切线y＝kx+b，所以有：

，

所以公切线方程为：，与x轴交于点，

故答案为：0

解答题

设函数.

(1)求f（x）的单调区间；

(2)若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）>m恒成立，求实数m的取值范

围.

【答案】（1）的增区间，的减区间.

（2）m＜0．

【解析】

解：（1）

令的增区间，

的减区间.

（2）x∈[－2，2]时，不等式f（x）>m恒成立

等价于>m,

令：

∈x=0和x=－2,由（1）知x=－2是极大值点，x=0为极小值点

,

∈m＜0

解答题

我国新型冠状病毒肺炎疫情期间，以网络购物和网上服务所代表的新

兴消费展现出了强大的生命力，新兴消费将成为我国消费增长的新动

能.某市为了了解本地居民在2020年2月至3月两个月网络购物消费

情况，在网上随机对1000人做了问卷调查，得如下频数分布表：

网购消费情况（元）

频数

300

400

180

60

60

（1）作出这些数据的频率分布直方图，并估计本市居民此期间网络

购物的消费平均值；

（2）在调查问卷中有一项是填写本人年龄，为研究网购金额和网购

人年龄的关系，以网购金额是否超过4000元为标准进行分层抽样，

从上述1000人中抽取200人，得到如下列联表，请将表补充完整并

根据列联表判断，在此期间是否有95%的把握认为网购金额与网购人

年龄有关.

网购不超过4000元

网购超过4000元

总计

40岁以上

75

100

40岁以下（含40岁）

总计

200

参考公式和数据：.（其中为样

本容量）

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

【答案】（1）作图见解析；估计本市居民此期间网络购物的消费平均

值为（元）

（2）填表见解析；在此期间没有95%的把握认为网购金额与网购人

年龄有关

【解析】

（1）计算出每组的频率/组距，从而得出频率分布直方图，再计算平

均值即可；

（2）根据分层抽样的性质得出网络购物消费不超过4000元和超过

4000元抽取的人数，填写列联表，计算，即可作出判断.

（1），，，

则对应的频率/组距

分别为

从而得出频率分布直方图

由频率分布直方图，估计本市居民此期间网络购物的消费平均值为

（元）

（1）由数据可知网络购物消费不超过4000元的有人

网络购物消费超过4000元的有人，完成下表：

网购不超过4000元

网购超过4000元

总计

40岁以上

75

25

100

40岁以下（含40岁）

65

35

100

总计

140

60

200

由公式

所以在此期间没有95%的把握认为网购金额与网购人年龄有关.

解答题

汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是

将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动

到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，

并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直

径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.

（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）

（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放

出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于

小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.

当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.

【答案】（1），，，，；（2）当

时，：当时，，证明见解析.

【解析】

（1）直接由题意求得的值，并猜想出；

（2）求出的值，的值，可得当时，，

猜想：当时，，即，然后利用数学归纳法证明即可.

（1）由题意得，，，，，

猜想：.

（2），，，，，，，，，

，

则当时，，猜想：当时，，即，

下面利用数学归纳法证明：

①当时，，，，结论成立；

②假设时结论成立，即，

那么当时，，

而时，，即，

所以，

所以当时，结论也成立.

由①②可知，当时，结论成立.

综上，当时，，当时，，即.

解答题

有人收集了某10年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年

内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据：

第n年

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

年收入/亿元（x）

32.0

31.0

33.0

36.0

37.0

38.0

39.0

43.0

45.0

x10

商品销售额/万元（y）

25.0

30.0

34.0

37.0

39.0

41.0

42.0

44.0

48.0

y10

且已知＝380.0.

（1）求第10年的年收入x10；

（2）若该城市居民收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归

方程＝.

①求第10年的销售额y10；

②若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？

（精确到0.01）.

附：（1）在线性回归方程＝x+中，＝，.

（2）﹣10＝254.0，＝12875.0，＝340.0.

【答案】（1）亿元；（2）①万元；②万元.

【解析】

（1）根据累和符号的意义进行求解即可；

（2）①结合已知所给的数据，结合求的公式进行求解即可；

②根据所给的数据，求出线性回归方程，运用代入法进行求解即可.

（1）因为＝380.0，所以有：

；

（2）①，，

，解得；

②，

因为，所以有，

因此有＝，

当时，＝,

估计这种商品的销售额是万元.

解答题

为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、

乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同

的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次篮，两

人有1人命中，命中者得1分，未命中者得﹣1分；两人都命中或都

未命中，两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命

中的概率为，且各次投篮互不影响.

（1）经过1轮投篮，记甲的得分为X，求X的分布列及期望；

（2）若经过n轮投篮，用pi表示经过第i轮投篮后，甲的累计得分

高于乙的累计得分的概率.

①求p1，p2，p3

②规定p0＝0，经过计算机计算可估计得pi＝api+1+bpi+cpi﹣1（b≠1），

请根据①中p1，p2，p3值分别写出a，c关于b的表达式，并由此

求出数列{pn}的通项公式.

【答案】（1）分布列见解析，；（2）①；

②.

【解析】

（1）先确定随机变量的所有的可能取值，然后分别算出概率，可

求出分布列，求得期望；

（2）①采用列举法，将甲得分比乙得分的情况按分析

出来，然后计算概率即可；②将①中的结果代入递推式，解出，

得到三项的关系式，结合数列的递推关系式，得到数列

是一个等比数列，即可求解.

（1）由题意，随机变量的可能取值为，

则,

，

所以随机变量的分布列为：

0

1

则期望为。

（2）①由（1）知，

经过两轮投篮，甲的累计得分高的有两种情况：一是甲两轮都得分；

二是两轮甲一轮得0分，另一轮得1分，

所以概率为，

经过三轮投篮，甲累计得分高有四种情况：即：

，

所以概率为.

②因为，所以，

将代入，解得，

所以，

所以，则，

所以，

因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，

所以.

解答题

已知函数，其中为非零常数.

（1）讨论的极值点个数，并说明理由；

（2）若，

①证明：在区间内有且仅有个零点；

②设为的极值点，为的零点，且，求证：

.

【答案】（1）答案见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】

（1）求得函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨

论，利用导数分析函数的单调性，由此可确定函数的

极值点个数；

（2）（i）利用导数分析函数在区间上的单调性，结合零

点存在定理即可证得结论成立；

（ii）由题意可得，代入可得，消去参数

得出，由可得出，可得出，在

不等式两边取自然对数即可得出不等式.

（1）函数的定义域为，

.

①当时，对任意的，恒成立，此时，函数无

极值点；

②当时，令，则，

函数在区间上单调递减，，，

所以，存在唯一的，使得，

当时，，即，此时，函数单调递增；

当时，，即，此时，函数单调递减.

所以，当时，函数在上有且只有一个极值点.

综上所述，当时，函数没有极值点；

当时，函数在上有且只有一个极值点；

（2）（i）由（1）可知.

令，由可得，

所以，方程在区间上有唯一解，从而在区间

上有唯一解，

不妨设方程的根为.

当时，，此时，函数单调递增；

当时，，此时，函数单调递减.

所以，是函数的唯一极值点.

令，其中，则.

当时，，则函数在区间上单调递减，

则当时，，即.

当时，，则，

，因此，函数在区间上有唯一零点；

（ii）由题意可得，即，

从而可得，即，

当时，，

又，故，即，

在不等式两边取对数得，即.