2017重庆高考

2017年重庆市高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）=（）

A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i

2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）

A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}

3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，

红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共

挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共

有灯（）

A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏

4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三

视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

（）

A．90πB．63πC．42πD．36π

5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）

A．﹣15B．﹣9C．1D．9

6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人

完成，则不同的安排方式共有（）

A．12种B．18种C．24种D．36种

7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：

你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成

绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，

则（）

A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩

8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）

A．2B．3C．4D．5

9．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4

所截得的弦长为2，则C的离心率为（）

A．2B．C．D．

10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC

1

=1，则

异面直线AB

1

与BC

1

所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极

小值为（）

A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1

12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•

（+）的最小值是（）

A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放

回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=．

14．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．

15．（5分）等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，a

3

=3，S

4

=10，则=．

16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y

轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21

题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求

作答．（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获

时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布

直方图如图：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于

50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖

方法有关：

箱产量＜50kg箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精

确到0.01）．

附：

P（K2≥k）

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

K2=．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

（1）证明：直线CE∥平面PAB；

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣

AB﹣D的余弦值．

20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的

垂线，垂足为N，点P满足=．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l

过C的左焦点F．

21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．

（1）求a；

（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x

0

，且e﹣2＜f（x

0

）＜2﹣2．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建

立极坐标系，曲线C

1

的极坐标方程为ρcosθ=4．

（1）M为曲线C

1

上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点

P的轨迹C

2

的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C

2

上，求△OAB面积的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：

（1）（a+b）（a5+b5）≥4；

（2）a+b≤2．

2017年重庆市高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）=（）

A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i

【解答】解：===2﹣i，

故选D．

2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）

A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}

【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．

若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，

可得1﹣4+m=0，解得m=3，

即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．

故选：C．

3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，

红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共

挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共

有灯（）

A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏

【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，

∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，

∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，

又总共有灯381盏，

∴381==127a，解得a=3，

则这个塔顶层有3盏灯，

故选B．

4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三

视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

（）

A．90πB．63πC．42πD．36π

【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的

一半，

V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，

故选：B．

5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）

A．﹣15B．﹣9C．1D．9

【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：

z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，

由解得A（﹣6，﹣3），

则z=2x+y的最小值是：﹣15．

故选：A．

6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人

完成，则不同的安排方式共有（）

A．12种B．18种C．24种D．36种

【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：6×=36种．

故选：D．

7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：

你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成

绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，

则（）

A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩

【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，

甲不知自己的成绩

→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知

道自己的成绩）

→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩

→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，

给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，

则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙

成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给

丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，

丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了

故选：D．

8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）

A．2B．3C．4D．5

【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环，

第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2；

满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3；

满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；

满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5；

满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6；

满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7；

K≤6不成立，退出循环输出S的值为3．

故选：B．

9．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4

所截得的弦长为2，则C的离心率为（）

A．2B．C．D．

【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，

圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，

双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得

的弦长为2，

可得圆心到直线的距离为：=，

解得：，可得e2=4，即e=2．

故选：A．

10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC

1

=1，则

异面直线AB

1

与BC

1

所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB

1

和B

1

C

1

的中点，

则AB

1

、BC

1

夹角为MN和NP夹角或其补角

（因异面直线所成角为（0，]），

可知MN=AB

1

=，

NP=BC

1

=；

作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；

∵PQ=1，MQ=AC，

△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC

=4+1﹣2×2×1×（﹣）

=7，

∴AC=，

∴MQ=；

在△MQP中，MP==；

在△PMN中，由余弦定理得

cos∠MNP===﹣；

又异面直线所成角的范围是（0，]，

∴AB

1

与BC

1

所成角的余弦值为．

【解法二】如图所示，

补成四棱柱ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

，求∠BC

1

D即可；

BC

1

=，BD==，

C

1

D=，

∴+BD2=，

∴∠DBC

1

=90°，

∴cos∠BC

1

D==．

11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极

小值为（）

A．﹣1B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1

【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1，

可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，

x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，

可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．

解得a=﹣1．

可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，

=（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，

当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函

数，

x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．

故选：A．

12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•

（+）的最小值是（）

A．﹣2B．﹣C．﹣D．﹣1

【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，

则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），

设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），

则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]

∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，

故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放

回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=1.96．

【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其

中，p=0.02，n=100，

则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．

故答案为：1.96．

14．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是1．

【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，

令cosx=t且t∈[0，1]，

则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，

当t=时，f（t）

max

=1，

即f（x）的最大值为1，

故答案为：1

15．（5分）等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，a

3

=3，S

4

=10，则=．

【解答】解：等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，a

3

=3，S

4

=10，S

4

=2（a

2

+a

3

）=10，

可得a

2

=2，数列的首项为1，公差为1，

S

n

=，=，

则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．

故答案为：．

16．（5分）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y

轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=6．

【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线

交y轴于点N．若M为FN的中点，

可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，

|FN|=2|FM|=2=6．

故答案为：6．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21

题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求

作答．（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，

∴sinB=4（1﹣cosB），

∵sin2B+cos2B=1，

∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，

∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，

∴cosB=；

（2）由（1）可知sinB=，

∵S

△ABC=ac•sinB=2，

∴ac=，

∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××

=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，

∴b=2．

18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获

时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布

直方图如图：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于

50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖

方法有关：

箱产量＜50kg箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精

确到0.01）．

附：

P（K2≥k）

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

K2=．

【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新

养殖法的箱产量不低于50kg”，

由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），

则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，

故P（B）的估计值0.62，

新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，

故P（C）的估计值为，

则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；

∴A发生的概率为0.4092；

（2）2×2列联表：

箱产量＜50kg箱产量≥50kg总计

旧养殖法

6238100

新养殖法

3466100

总计

96104200

则K2=≈15.705，

由15.705＞6.635，

∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：

（0.004+0.020+0.044）×5=0.34，

箱产量低于55kg的直方图面积为：

（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，

故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），

新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

（1）证明：直线CE∥平面PAB；

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣

AB﹣D的余弦值．

【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，

所以EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，

∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，

∴直线CE∥平面PAB；

（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，

侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，

∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，

OP=，

∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，

可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，

可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，

作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，

所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=

=，

二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．

20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的

垂线，垂足为N，点P满足=．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l

过C的左焦点F．

【解答】解：（1）设M（x

0

，y

0

），由题意可得N（x

0

，0），

设P（x，y），由点P满足=．

可得（x﹣x

0

，y）=（0，y

0

），

可得x﹣x

0

=0，y=y

0

，

即有x

0

=x，y

0

=，

代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，

即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；

（2）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），

•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，

即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，

当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π，

解得m=，

即有Q（﹣3，），

椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），

由•=（﹣1﹣cosα，﹣sinα）•（﹣3，）

=3+3cosα﹣3（1+cosα）=0．

可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．

（1）求a；

（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x

0

，且e﹣2＜f（x

0

）＜2﹣2．

【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），

则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣．

则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减，

所以当x

0

＞1时，h（x

0

）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．

因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，

所以h（x）

min

=h（），

又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，

所以=1，解得a=1；

（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，

令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，

令t′（x）=0，解得：x=，

所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

所以t（x）

min

=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根

x

0

，x

2

，

且不妨设f′（x）在（0，x

0

）上为正、在（x

0

，x

2

）上为负、在（x

2

，+∞）上为

正，

所以f（x）必存在唯一极大值点x

0

，且2x

0

﹣2﹣lnx

0

=0，

所以f（x

0

）=﹣x

0

﹣x

0

lnx

0

=﹣x

0

+2x

0

﹣2=x

0

﹣，

由x

0

＜可知f（x

0

）＜（x

0

﹣）

max

=﹣+=；

由f′（）＜0可知x

0

＜＜，

所以f（x）在（0，x

0

）上单调递增，在（x

0

，）上单调递减，

所以f（x

0

）＞f（）=；

综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x

0

，且e﹣2＜f（x

0

）＜2﹣2．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建

立极坐标系，曲线C

1

的极坐标方程为ρcosθ=4．

（1）M为曲线C

1

上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点

P的轨迹C

2

的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C

2

上，求△OAB面积的最大值．

【解答】解：（1）曲线C

1

的直角坐标方程为：x=4，

设P（x，y），M（4，y

0

），则，∴y

0

=，

∵|OM||OP|=16，

∴=16，

即（x2+y2）（1+）=16，

∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，

两边开方得：x2+y2=4x，

整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），

∴点P的轨迹C

2

的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．

（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C

2

上，|OA|=2，

∴曲线C

2

的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，

∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：

（1）（a+b）（a5+b5）≥4；

（2）a+b≤2．

【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=

（a3+b3）2≥4，

当且仅当=，即a=b=1时取等号，

（2）∵a3+b3=2，

∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，

∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，

∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，

∴=ab，

由均值不等式可得：=ab≤（）2，

∴（a+b）3﹣2≤，

∴（a+b）3≤2，

∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．

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