白鹅的资料

四川白鹅重与70日龄重直线回归分析

为了推动畜牧业、水产业的发展，常常要进行科学研究。例如畜

禽、水产品种资源研究，新品种的选育，新的饲养、管理技术研究等。

这些研究都离不开调查或试验。进行调查或试验首先必须解决的问题

是：如何合理地进行调查或试验设计。在实际研究工作中常常碰见这

样的情况：由于调查或试验设计不合理，以至于无法从所获得的数据

提取有用的信息，造成人力、物力和时间的浪费。若调查或试验设计

方法好，用较少的人力、物力和时间即可收集到必要而有代表性的资

料，从中获得可靠的结论，达到调查或试验的预期目的，收到事半功

倍之效。

通过调查或试验能获得一定数量的数据。这些数据常常表现出程

度不同的变异。例如测量100头猪的日增重所获得的100个数据，彼此

不完全相同，表现出一定程度的变异；又如测量了200头黄牛的体高，

所获得的200个数据，也表现出一定程度的变异。产生这种变异的原

因，有的己被人们所了解。例如品种、性别、年龄、初始重、健康状

况、饲养条件等不同，使得所测的猪的日增重、黄牛的体高表现出差

异。另外还有许多内在和外在的因素还未被人们所认识。由于这些人

们已了解的因素和人们尚未认识因而无法控制的因素的作用，使得通

过调查或试验得来的数据普遍具有变异性。所以进行调查或试验还必

须解决的第二个问题是：如何科学地整理、分析所收集得来的具有变

异的资料，揭示出隐藏在其内部的规律性。合理地进行调查或试验设

计、科学地整理、分析所收集得来的资料是生物统计（Biometrics）

的根本任务。

生物统计是数理统计的原理和方法在生物科学研究中的应用，是

一门应用数学。它在畜禽、水产科学研究中具有十分重要的作用。

一、提供试验或调查设计的方法

试验设计这一概念有广义与狭义之分，广义的试验设计是指试验

研究课题设计，也就是指整个试验计划的拟定，包含课题名称、试验

目的，研究依据、内容及预期达到的效果，试验方案，供试单位的选

取、重复数的确定、试验单位的分组，试验的记录项目和要求，试验

结果的分析方法，经济效益或社会效益的估计,已具备的条件,需要购

置的仪器设备，参加研究人员的分工，试验时间、地点、进度安排和

经费预算，成果鉴定，学术论文撰写等内容。狭义的试验设计主要是

指试验单位(如动物试验的畜、禽)的选取、重复数目的确定及试验单

位的分组。生物统计中的试验设计主要指狭义的试验设计。合理的试

验设计能控制和降低试验误差，提高试验的精确性，为统计分析获得

试验处理效应和试验误差的无偏估计提供必要的数据。

调查设计这一概念也有广义与狭义之分，广义的调查设计是指整

个调查计划的制定，包括调查研究的目的、对象与范围，调查项目及

调查表，抽样方法的选取，抽样单位、抽样数量的确定，数据处理方

法，调查组织工作，调查报告撰写与要求，经费预算等内容。狭义的

调查设计主要包含抽样方法的选取，抽样单位、抽样数目的确定等内

容。生物统计中的调查设计主要指狭义的调查设计。合理的调查设计

能控制与降低抽样误差，提高调查的精确性，为获得总体参数的可靠

估计提供必要的数据。

简而言之，试验或调查设计主要解决合理地收集必要而有代表性

资料的问题。

二、提供整理、分析资料的方法

整理资料的基本方法是根据资料的特性将其整理成统计表、绘制

成统计图。通过统计表、图可以大致看到所得资料集中、离散的情况。

并利用所收集得来的数据计算出几个统计量，以表示该资料的数量特

征、估计相应的总体参数。

统计分析最重要的内容是差异显著性检验。通过抽样调查或控制

试验，获得的是具有变异的资料。产生变异的原因是什么？是由于进

行比较的处理间，例如不同品种、不同饲料配方间有实质性的差异或

是由于无法控制的偶然因素所引起？显著性检验的目的就在于承认

并尽量排除这些无法控制的偶然因素的干扰，将处理间是否存在本质

差异揭示出来。显著性检验的方法很多，常用的有t检验——主要用

于检验两个处理平均数差异是否显著；方差分析——主要用于检验多

个处理平均数间差异是否显著；2检验——主要用于由质量性状得来

的次数资料的显著性检验等。

统计分析的另一个重要内容是对试验指标或畜禽性状间的关系

进行研究,或者研究它们之间的联系性质和程度，或者寻求它们之间

的联系形式，即进行相关分析与回归分析。通过对资料进行相关、回

归分析，可以揭示出试验指标或性状间的内在联系，为畜禽、水产新

品种选育等提供强有力的依据。

还有一类统计分析方法不考虑资料的分布类型，也不事先对有关

总体参数进行估算，这类统计分析方法叫非参数检验法。非参数检验

法计算简便。当通常的检验方法对畜禽、水产科研中的某些资料无能

为力时，非参数检验法则正好发挥作用。

以上我们对生物统计在畜禽、水产科学研究中的作用作了概略的

介绍。从中不难看出，生物统计对于进行畜禽、水产科学研究是多么

重要。它是每一个畜禽、水产科技工作者必须掌握的基本工具。可喜

的是，随着生物统计方法的普及、计算工具的改进、统计计算程序的

编制，已有越来越多的科技工作者掌握并在实际研究工作中应用了生

物统计，取得了显著成效。

直线回归方程的建立

对于两个相关变量，一个变量用符号x表示，另一个变量用y

表示，如果通过试验或调查获得两个变量的成对观测值，可表示为

（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn）。为了直观地看出x和y间

的变化趋势，可将每一对观测值在平面直角坐标系描点，作出散点图

（见图8-1）。

从散点图（图8-1）可以看出：①两个变量间关系的性质（是正

相关还是负相关）和程度（是相关密切还是不密切）；②两个变量间

关系的类型，是直线型还是曲线型；③是否有异常观测值的干扰。散

点图直观地、定性地表示了两个变量之间的关系。为了探讨它们之间

的规律性，还必须根据观测值将其内在关系定量地表达出来。

如果两个相关变量间的关系是直线关系，根据n对观测值所描出的

散点图，如图8—1（c）和图8—1（d）。如果把变量y与x内在联系的

总体直线回归方程记为y=α＋βx，由于依变量的实际观测值总是带

有随机误差，因而实际观测值yi可表示为：

iiii

xxy(i=1,2,…,n)

（8—1）

其中i

为相互独立，且都服从N（0，σ2）的随机变量。这就是直线

回归的数学模型。我们可以根据实际观测值对α，β以及方差σ2做

出估计。

在x,y的直角坐标平面上可以作出无数条直线，而回归直线是指所

有直线中最接近散点图中全部散点的直线。设样本直线回归方程为：

图8-1（x，y）的散

bxay

ˆ

(8-2)

其中，a是α的估计值，b是β的估计值。

回归直线在平面坐标系中的位置取决于a、b的取值，为了使

bxay

ˆ能最好地反应y和x两变量间的数量关系，根据最小二乘法，

a、b应使回归估计值与观测值的偏差平方和最小，即：

22)()

ˆ

(bxayyyQ最小。

根据微积分学中的极值原理，令Q对a、b的一阶偏导数等于0，

即：

0)(2



bxay

a

Q







0)(2xbxay

b

Q

整理得关于a、b的正规方程组：

yxban

xyxbxa2

解正规方程组，得：

x

xy

SS

SP

xx

yyxx

nxx

nyxxy

b





















222)(

))((

/)(

/))((

（8-3）

xbya

（8-4）

（8-3）式中的分子是自变量x的离均差与依变量y的离均差的乘

积和

))((yyxx，简称乘积和，记作

xy

SP，分母是自变量x的离均差平

方和

2)(xx，记作

x

SS。

a叫做样本回归截距，是回归直线与y轴交点的纵坐标，当x=0时，

y

ˆ=a；b叫做样本回归系数，表示x改变一个单位，y平均改变的数量；

b的符号反映了x影响y的性质，b的绝对值大小反映了x影响y的程度。

a和b均可取正值，也可取负值，因具体资料而异，由图8-2可以看

出，a>0，表示回归直线在第一象限与y轴相交；a<0表示回归直线在

第一象限与x轴相交。b>0，表示y随x的增加而增加；b<0；表示y随x

的减少而减少；b=0或与0差异不显著时，表示y的变化与x的取值无关，

两变量间不存在直线回归关系。这只是对a和b的统计学解释，对于具

体资料，a和b往往还有专业上的实际意义。

y

ˆ叫做回归估计值，是当x在在其研究范围内取某一个值时，y值

平均数x估计值。研究y和y

ˆ间的关系，可发现回归方程的三个基

本性质：

性质12)

ˆ

(yyQ最小；

性质20)

ˆ

(yy；

性质3回归直线必须通过中心点),(yx。

如果将（8-3）式代入（8-2）式，得到回归方程的另一种形式：

)(

ˆ

xxbybxxbyy

（8-5）

在四川白鹅的生产性能研究中，得到如下一组关于雏鹅重（g）与

70日龄重(g)的数据，试建立70日龄重(y)与雏鹅重(x)的直线回归方

程。

表8-1四川白鹅重与70日龄重测定结果（单位：g）

编号1112

雏鹅重(x)8295830

70日龄重(y)235029602860

图8-2直线回归方程

bxay

ˆ

1、作散点图以雏鹅重（x）为横坐标，70日龄重（y）为纵坐标

作散点图，见图8-3。由图形可见四川白鹅的70日龄重与雏鹅重间存在

直线关系，70日龄重随雏鹅重的增大而增大。

2、计算回归截距a，回归系数b，建立直线回归方程

首先根据实际观测值计算出下列数据：

5.9812/1182/nxx

8333.272012/32650/nyy

00.168512/1182118112/2

2

2nxxSS

x

00.36585

12

326501182

3252610

))((











n

yx

xySP

xy

67.83149112/3265089666700/2

2

2nyySS

y

进而计算出b、a：

7122.21

00.1685

36585



x

xy

SS

SP

b

1816.5825.987122.218333.2720xbya

得到四川白鹅的70日龄重y对雏鹅重x的直线回归方程为：

xy7122.211816.582

ˆ



从回归系数可知，雏鹅重每增加1g，70日龄平均重增加21.7122g。

根据直线回归方程可作出回归直线，见图8-3。从图8-3可看出，

尽管xy7122.211816.582

ˆ

是该资料最恰当的回归方程，但是并不是所

有的散点都恰好落在回归直线上，这说明用y

ˆ去估计y是有偏差的。

3、直线回归的偏离度估计以上根据使偏差平方和2)

ˆ

(yy最小

建立了直线回归方程。偏差平方和2)

ˆ

(yy的大小表示了实测点与回

图8-3四川白鹅的雏鹅重与70日龄重

散点图和回归直线图

归直线偏离的程度，因而偏差平方和又称为离回归平方和。统计学已

经证明：在直线回归分析中离回归平方和的自由度为n-2。于是可求

得离回归均方为：)2/()

ˆ

(2nyy。离回归均方是模型（8-1）中σ2的

估计值。离回归均方的平方根叫离回归标准误，记为

yx

S，即

)2/()

ˆ

(2nyyS

yx

（8-6）

离回归标准误

yx

S的大小表示了回归直线与实测点偏差的程度，即

回归估测值y

ˆ与实际观测值y偏差的程度，于是我们把离回归标准误

yx

S用来表示回归方程的偏离度。离回归标准误

yx

S大表示回归方程偏

离度大，

yx

S小表示回归方程偏离度小。

在用（8-6）式计算离回归标准误时，需要把每一个x值的回归估

计值y

ˆ计算出来，因而计算麻烦，且累计舍入误差大。以后我们将证

明：

xxyy

SSSPSSyy/)

ˆ

(22（8-7）

利用（8-7）式先计算出2)

ˆ

(yy，然后再代入（8-6）式求

yx

S，

这样就简便多了。对于【例】有

07.371521685/3658583149167/)

ˆ

(222xxyy

SSSPSSyy

所以

9525.60)212/(07.37152)2/()

ˆ

(2nyyS

yx

（g）

即当利用直线回归xy7122.211816.582

ˆ

，由四川白鹅的雏鹅重估计70日

龄重时，离回归标准误为60.9525g。