渝西学院

度量矩阵与矩阵的对角化

宋雪梅;李旭东

【摘要】讨论实对称矩阵的标准形问题.对于n阶实对称矩阵A,给出了对以p-

1Ap=(A)中P的列向量为基所得的度量矩阵B,通过合同变换得正交矩阵T,使得T-

1AT=(A)的一种的方法.

【期刊名称】《金陵科技学院学报》

【年(卷),期】2013(029)002

【总页数】3页(P1-3)

【关键词】度量矩阵;对角化;实对称矩阵;正交矩阵;合同变换

【作者】宋雪梅;李旭东

【作者单位】兰州城市学院数学学院,甘肃兰州730070;兰州城市学院数学学院,甘

肃兰州730070

【正文语种】中文

【中图分类】O153.3

矩阵是高等代数的一个重要的工具,矩阵的初等变换是处理矩阵问题常用的一种有

效方法,用矩阵的初等变换可以求方阵的逆矩阵、解线性方程组、化简二次型、求

向量组的极大无关组以及求多项式的最大公因式等[1-5]。实对称矩阵是高等代数

的重要内容,对实对称矩阵的研究具有重要意义。对任意一个n阶实对称矩阵A,一

定存在一个n阶正交矩阵T,使得TTAT=T-1AT成对角矩阵。大多数教材采用的方

法是先将A对角化,即求出可逆的P,使得P-1AP=Λ,其中Λ为对角形矩阵,然后利用

施密特(Schimidt)正交化法先将P的列向量T1,T2,…,Tn正交化得U1,U2,…,Un,

再单位化得V1,V2,…,Vn,则T=(V1,V2,…,Vn)即所求的n阶正交矩阵。对于n阶

实对称矩阵A,给出对P-1AP=Λ中的P的列向量为基的度量矩阵B,通过合同变换

得到正交矩阵T,使得T-1AT=Λ。

命题1设A是n阶实对称矩阵,λ1,λ2,…,λr是A的所有互不相同的特征根。若

Ti1,Ti2,…,Tisi是A的属于特征根λi(i=1,2,…,r)的线性无关的特征向量,则以

为基的度量矩阵B是一个对角分块矩阵。

证明因为属于不同特征根的特征向量是正交的,所以以(1)为基的度量矩阵

是对角分块矩阵,其中B的主对角线上的元素Bk=(〈Tki,Tkj〉)是sk阶正定矩阵

(k=1,2,…,r),主对角线以外的元素全为0。

命题2若正定矩阵B是对角分块矩阵,则存在可逆的上三角矩阵C,使得

并且与B的分法一致将C分块,C也是一个对角分块矩阵。

证明设

其中Bk是sk阶正定矩阵(k=1,2,…,r)。因为

其中Ck是sk阶上三角矩阵(k=1,2,…,r)。令

则C是与B的分法一致的对角分块矩阵,并且CTBC=In。

所谓合同变换是当对矩阵施行一次列初等变换后,紧接着施行一次同类型的行初等

变换。

命题3设C和Λ都是n阶矩阵,且按相同分法可分为对角形分块矩阵。若Λ的主

对角线上的每个小块都是数量矩阵,则CΛ=ΛC。

证明显然。

定理4设A是n阶实对称矩阵,λ1,λ2,…,λr是A的所有互不相同的特征根。若

Ti1,Ti2,…,Tisi是A的属于特征根λi(i=1,2,…,r)的线性无关的特征向量

(s1+…+sr=n),P=(T11,T12,…,T1s1,T21,T22,…,T2s2,…,Tr1,Tr2,…,Trsr),B=(〈Ti

m,Tjl〉),则存在可逆的上三角矩阵C,使得CTBC=In。令

取T=(U1,U2,…,Un),则T是正交矩阵,并且T-1AT=P-1AP=Λ。

证明由题设知,{U1,U2,…,Un}的度量矩阵为CTBC=In,所以{U1,U2,…,Un}为规范

正交基。因此T=(U1,U2,…,Un)是正交矩阵。再由命题1、命题2和命题3可得

例1设

求正交矩阵T,使得T-1AT为对角形矩阵。

解先将矩阵A对角化得,

其中

以{T1,T2,T3}作为R3的基,得该基的度量矩阵为

因为

所以

令(U1,U2,U3)=(T1,T2,T3)C,则

于是T是正交矩阵,并且

参考文献：

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