反比例函数的应用

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第16讲反比例函数及其应用

一个人的贡献和他的自负严格地成反

比，这似乎是品行上的一个公理。

——拉格朗日

知识方法扫描

如果两个变量y与z的关系可以表示成y=

x

k

（k为常数，x≠0）的形式，那

么称y是x的反比例函数．

反比例函数y=

x

k

的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为双曲线。

反比例函数有下列性质：

反比例函数y=

x

k

的图象中两支曲线都与x轴、y轴不相交；并且当k>O时，

在第一、第三象限内，函数值随自变量取值的增大而减小；当k<0时，在第二、

第四象限内，函数值随自变量取值的增大而增大．

经典例题解析

例1．（2006年广东省初中数学竞赛）如果函数222kkykx的图象是双曲线，

而且在第二、四象限，那么k等于（）

(A)

1

2

(B)－1(C)

3

2



(D)1

解．由题意，得2k2+k-2=-1，于是2k2+k-1=0，

因式分解得（k+1）(2k-1)=0,所以1k或

1

2

k

又双曲线的两支在第二、四象限内，k<0，

所以

1k

，选（B）.

例2．（2004年全国数学竞赛辽宁省预赛）如图，点P是x轴正半轴上的一

个动点，过点P做x轴的垂线PQ交双曲线

1

y

x



于点Q，连结OQ，当点P向

右运动时，Rt△QOP的面积（）

A．逐渐增大B．逐渐减小C．保持不变D．无法确定

解设Q点坐标为（x,y），则

||,||PQyyPOxx。

11

22QOP

SOPPQxy





。

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由于Q点在双曲线

1

y

x



上，可得xy=1.

因此，

1

.

2QOP

S





即Rt△QOP的面积不随P的运动而改变。故选C。

例3．(2000年黄石市初中数学应用能力测试试题)某地上年度电价为0.8

元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，

若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)元成反比例，又当

x=0.65时，y=0.8。

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的

收益将比上年度增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]

解(1)设y=

4.0x

k

.∵当x=0.65时，y=0.8，∴k=0.2.∴y=

4.0

2.0

x

.

(2)根据题意，得（1+

4.0

2.0

x

）·(x-0.3)=1·(0.8-0.3)·(1+2%).解得x

1

=0.5，x

2

=0.6.

经检验均是方程的解，但∵x的取值在0.55～0.75之间，∴只取x=0.6.

例4．如图所示,己知反比例函数

k

y

x



(k<0)的图

象经过点A(3,m)过点A作AB⊥x轴于点B,且△

AOB的面积为3.

(1)求k和m的值；

(2)若一次函数y=ax＋1和图象经过点A,并且与x轴相交于点C,求AO：AC

的值.

解（1）∵k<0，∴点A（3，m）在第二象限内。∴m>0,OB=|3|=3,

AB=m.

∵S

△AOB

=

1

2

·OB·AB=

1

2

·3·m=3,∴m=2.∴点A的坐标为A（-3，2）。

把A（-3，2）的坐标代入

k

y

x



中，得2

3

k





，∴231,ka

213

3

3

a







。

∴

3

1

3

yx

。

令y=0，得

3

1

3

x

=0，∴x=3.∴点C的坐标为C（3，0）。

∵AB⊥x轴于点B，∴△ABC为直角三角形。

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=22+（23）2，∴AC=4

在Rt△ABO中，由勾股定理，得

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AO=22222(3)7ABBO

，AO：AC=7:4

例5．（2006年第18届希望杯数学邀请赛试题）某医药研究所开发一种新

药．成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间

t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线．当每毫升血液中的含药量不

少于0.25毫克时，治疗有效．则服药一次治疗疾病有效的时间为()

(A)16小时(B)

8

7

15小时(C)

16

15

15小时(D)17小时

解函数y=kt经过(1，4)点，所以k=4，

于是y=kt，即y=4t．

又(1，4)点在反比例函数

t

m

y

上，所以m=4，

于是

,

t

m

y

即



t

y

4

依题意可知，当每毫升血液中的含药量达到0.25毫克时，治疗才有效．

由y=4t，得

16

1

4

25.0

t

由此开始，到含药量少于0.25毫克时，药效停止，含药量不少于0.25毫克，

即当

25.0

4



t

时，得t≤16．

所以服药一次治疗疾病有效的时间为

16

15

15

16

1

16

（小时）。故选(C)．

例6．某单位为响应政发出的全民健身的号召,打算在长和宽分别为20米和

11米和矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD,该健身房的四面墙

壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁的费用为20元/平方米.新建(含装修)墙壁的费用

为80元/平方米,设健身房的高为3米,一面旧墙壁AB的长为x米,修建健身房

墙壁的总投入为y元.

(1)求y与x的函数关系式；

(2)为了合理利用大厅,要求自变量x必须满足条件：8≤x≤12.当投入的资

金为4800元,问利用旧墙壁的总长为多少米？

解（1）根据题意，AB=x,AB·BC=60,所以

60

BC

x



，

y=20×3

606060

xxx









即

(2)当y=4800时有4800=

60

300x

x









，

整理得x2-16x+60=0,解得x

1

=6,x

2

=10.经检验，x

1

=6,x

2

=10。都是原方程的

根。由8≤x≤12，只取x=10.

故可以利用旧墙壁的总长度为10+

60

16

10



米。

例7．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A、D、C在坐

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标轴上，点F在AB上，点B、E在函数y=

x

1

(x>O)的图象上，则点E的坐标是

()．

)

2

15

,

2

15

)((



A)

2

53

,

2

53

)((



B)

2

15

,

2

15

)((



C)

2

53

,

2

53

)((



D

解显然，B点的坐标为（1，1），设AD=DE=a,则E（1+a,a），(1+a)a=1,

a2+a+

4

1

=

4

5

,即(a+

2

1

)2=

4

5

,a+

2

1

=

2

5

,

于是a=

2

15

，a+1=

2

15

,点E的坐标是)

2

15

,

2

15

(



.选A。

例8．(2007年全国初中数学竞赛试题)

如图,点A，C都在函数

33

(0)yx

x

的图象上，

点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD

都是等边三角形，则点D的坐标为．

解如图，分别过点A，C作x轴的垂线，

垂足分别为E，F．设OE＝a，BF＝b，则AE

＝3a，CF＝3b，所以，点A，C的坐标为

（

a

，3a），（2

a

＋b，3b），所以

2333,

3(2)33,

a

bab















解得

3,

63,

a

b















因此，点D的坐标为（26，0）．

同步训练

一选择题

1．如果两点),1(

11

yP，),2(

22

yP都在反比例函数

x

y

1



的图象上，那么()．

(A)0

12

yy(B)0

21

yy(C)0

12

yy(D)0

21

yy

2．（2007年全国初中数学联赛浙江省预赛试题）

函数

||

1

x

y的图像大致形状是图中的（）

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3．如图是三个反比例函数

x

k

y1

、

x

k

y2

、

x

k

y3

在x轴上方的图象，那么k

1

,k

2

,k

3

的大小关系是()

(A)k

1

>k

2

>k

3

(B)k

2

>k

3

>k

1

(C)k

3

>k

2

>k

1

(D)k

3

>k

1

>k

2

4．函数y=kx+k与y=

x

k

在同一坐标系中的图象的大体位置是()

5．（2007年四川省初中数学联赛初二初赛试题）

函数y=2x与y

x

18



的图象交于A，B两点（其中，A在第一象限），过A作AC

垂直于x轴,垂足为C，则△ABC的面积等于（）

（A）6（B）9（C）12（D）18

二填空题

6．如果函数

1||

2







mx

m

y

是y关于x的反比例函数，那么m的值是。

7．如图ABQOAP、均是等腰直角三角形，点P、Q在函数

)0(

4

x

x

y

的图象

上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为．

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8．（2007年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）

若反比例函数y=

k

x

的图像与一次函数y=ax+b的图像交于点A(一2，m)、

B(5，n)，则3a+b的值等于．

9．在银行存款准备金不变的情况下,银行的可贷款总量与存款准备金率成反比

例关系,当存款准备金率为7.5%时,某银行可贷款总量为400亿元,如果存款准

备金率上调到8%时,该银行可贷款总量将减少亿元。

10．（2004年全国初中竞赛湖北预赛试题）

如果一次函数y=mx+n与反比例函数

3nx

y

x





的图象相交于点

1

(,2)

2

，那么该直

线与双曲线的另一个交点为。

三解答题

11．如图，已知点(1,3)在函数

(0)

k

yx

x



的图象上，矩形ABCD的边BC在x

轴上，E是对角线BD的中点，函数

(0)

k

yx

x



又经过A,E两点，点E的横坐

标为m.

（1）求k值；

（2）求点C的横坐标（用m表示）；

（3）当∠ABD=45º时，求m的值。

O

x

y

A

D

C

B

E

12．如图所示,己知直线y

1

=x＋m与x轴、y轴分别交于点

A、B,与双曲线

2

k

y

x



(x<0)分别交于点C、D且点C的坐标

为(－1,2)

(1)分别求出直线AB及双曲线的解析式；

(2)求出D点的坐标；

(3)利用图象直接写出当x在什么范围内取值时y

1

>y

2

.

13．为了预防“非典”，其学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧

时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物

燃烧后，y与x成反比例（如图所示）现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中

每立方米的含药量为6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

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(1)药物燃烧时，y天于x的函数关系式为：____，自变量x的取值范围

是：；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为：____；

(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于16毫克时学生方可进教室，

那么从消毒开始，至少需要经过分钟后，学生才能回到教室；

(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于

10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

14．直线y=x+m与双曲线y=

x

m

在第一象限相交点

A，AB⊥x轴，垂足为B，S

△AOB

=3.

①求m的值；

②设直线y=x+m与x轴交于点C，求点C的坐标；

③求S

△ABC

.

15．“三等分角”是数学史上一个著名问题,但仅用尺规不可能“三等分角”,下

面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图所示)：将给

定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,边OB在x轴上、边OA与函数

1

y

x



的图

象交于点R,分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两直线相交于点M,连结

OM得到∠MOB,则∠MOB=

1

3

∠AOB,要明白帕普斯方法,请研究以下问题；

(1)设

11

(,),(,)PaRb

ab

,求直线OM对应的函数表达式(用含a,b的代数式表示.)

(2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线,两直线相交于点Q,请说明Q点在直

线OM上,并据此证明∠MOB=

1

3

∠AOB.

(3)应用上述方法得到的结论,你如何三等分一个钝角(用文字简要说明)

同步训练题参考答案

1.D

2．D

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当x>0时，y=-

x

1

图像在第四象限；当x<0时，y=

x

1

图像在第三象限

3．C

4．D

双曲线y=

x

k

在一、三象限，k>0,那么y=kx+k中，当k>0时，直线上升且在y

轴上的截距为正.所以选(D)；

5．D

联立方程组















.

18

,2

x

y

xy

解得A(3,6),B(-3,-6),故C(3,0)，所以

S△ABC

=

2

1

×6×[（3-（-3））=18

6．-2

7.15

8．0．

因为点A(一2，m)、B(5，n)在反比例函数的图像上，得

2

5

k

m

k

n



















，又因为点A(一

2，m)、B(5，n)在正比例函数y=ax+b的图像上，得

2

5

mab

nab











2

2

5

5

k

ab

k

ab



















得

10

3

10

k

a

k

b



















，解得b=-3a,所以3a+b=0

9．350

10．

5

(1,).

2



∵

1

(,2)

2

是y=mx+n与

3nx

y

x





的图象的交点，∴

1

2,

2

1

3

2

2.

1

2

mn

n

























,解得

3,

1

.

2

m

n















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则两个函数的表达式为

3

1

2

3,.

2

x

yxy

x





再解方程组

1

3,

2

3

2

.

yx

x

y

x





















得

2

1

2

1

11,

,

2

5

.

2,

2

x

x

y

y



















即直线与双曲线的另一个交点是

5

(1,).

2



11．(1)3;(2)

3

2

m

;(3)6

12.（1）∵点C（-1，2）在直线y=x+m上，∴2=-1+m，m=3，则直线AB的

解析式为y=x+3.

又点C（-1，2）在双曲线y

2

=

x

k

上，∴k=-2.∴双曲线的解析式为y=

2

x



.

（2）由

2

,

3.

y

x

yx















解得1

1

1,

2,

x

y











2

2

2,

1.

x

y











∴D点的坐标为（-2，1）。

（3）根据图象可得：当-2

1

>y

2

.

13.(1)

;

48

,80,

4

3

x

yxxy

(2)30；

(3)此次消毒有效，因把y=3分别代入

,

48

4

3

x

yxy、

求得x=4和16，而

16-4=12>10，即空气中的含药量不低于3毫克/m3的持续时间为12分钟，大于

10分钟的有效消毒时间.

14．①设A坐标为(x,x+m).∵S

△AOB

=

2

1

OB×BA.∴



















x

m

mx

mxx)(

2

1

3

整理得















mmxx

mxx

2

206

∴m=6

②∵直线与x轴交于点C.

把y=0代入y=x+6得x=－6,

∴点C的坐标是(－6，0)

③∵直线y=x+m与双曲线y=

x

m

在第一象限相交点A，

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解方程组















x

y

xy

6

6

，得















153

153

y

x

即点A的坐标是(－3+15，3+15).

∴BC=

1536

=3+15∴S

△ABC

=

2

1

(3+15)(3+15)=12+315.

15．（1）设直线OM的函数关系式为y=kx,

1

,,Pa

a







R

11

,,,,bMb

ba







则

∴k=

1

a

÷

1

b

ab



。∴直线OM的函数关系式为y=

1

,x

ab

(2)∵Q的坐标为

1

,,a

b







满足y=

1

,x

ab

∴Q是直线OM上。

∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SM=

1

2

PR。

∴∠SQR=∠PSO。

∵PR=2OP，∴PS=OP=

1

2

PR，∴∠POS=∠PSO。

∠PSQ是△SQR的外角，∠POS=2∠SQR。

∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR，∴∠POS=2∠SOB。∴∠SOB=

1

3

∠AOB。

（3）方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法

即可。

方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三

等分后，再将直角利用等边三角形（或其他方法）将其三等分即可。