2020年高考数学真题

1

2020年普通高等学校招生全国统一考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2

A．{x|2

C．{x|1≤x<4}D．{x|1

2．

2i

12i







A．1B．−1

C．iD．−i

3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，

丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

A．120种B．90种

C．60种D．30种

4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看

成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是

指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北

纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为

A．20°B．40°

C．50°D．90°

5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学

生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

2

A．62%B．56%

C．46%D．42%

6．基本再生数R

0

与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，

世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtIt描述

累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R

0

，T近似满足R

0

=1+rT.有学者基于

已有数据估计出R

0

=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约

为(ln2≈0.69)

A．1.2天B．1.8天

C．2.5天D．3.5天

7．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是

A．()2,6B．()6,2

C．()2,4D．()4,6

8．若定义在R的奇函数f(x)在(0),单调递减，且f(2)=0，则满足(10)xfx的x的取值范围是

A．[)1,1][3,B．3,1][,[01]

C．[)1,0][1,D．1,0]3][[1,

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．已知曲线22:1Cmxny.

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

n

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

m

yx

n



D．若m=0，n>0，则C是两条直线

10．下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=

3

A．

π

sin(

3

x）B．

π

sin(2)

3

xC．

π

cos(2

6

x）D．

5π

cos(2)

6

x

11．已知a>0，b>0，且a+b=1，则

A．22

1

2

ab

B．

1

2

2

ab

C．

22

loglog2ab

D．2ab

12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，且

1

()0(1,2,,),1

n

ii

i

PXipinp



，定义X的信息熵

2

1

()log

n

ii

i

HXpp



.

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着

i

p

的增大而增大

C．若

1

(1,2,,)

i

pin

n



，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,,m，且

21

()(1,2,,)

jmj

PYjppjm



，则

H(X)≤H(Y)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．斜率为3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则AB=________．

14．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a

n

}，则{a

n

}的前n项和为________．

15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆

心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，

垂足为C，tan∠ODC=

3

5

，BHDG∥，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，

圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．

4

16．已知直四棱柱ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

的棱长均为2，∠BAD=60°．以

1

D为球心，5为半径的球面与侧面BCC

1

B

1

的交线长为________．

四、解答题：本题共

6

小题，共

70

分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17

．（

10

分）

在①

3ac

，②

sin3cA

，③

3cb

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角

形存在，求

c

的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在

ABC△

，它的内角

,,ABC

的对边分别为

,,abc

，且

sin3sinAB

，

6

C





，

________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18

．（

12

分）

已知公比大于1的等比数列

{}

n

a

满足

243

20,8aaa

．

（

1

）求

{}

n

a

的通项公式；

（

2

）记

m

b

为

{}

n

a

在区间*(0,]()mmN

中的项的个数，求数列

{}

m

b

的前

100

项和

100

S

．

19

．（

12

分）

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了

100

天空气中的

PM2.5

和

2

SO

浓度（单位：3μg/m

），得下表：

2

SO

PM2.5

[0,50]

(50,150]

(150,475]

[0,35]

32184

(35,75]

6812

(75,115]

3710

（

1

）估计事件

“

该市一天空气中

PM2.5

浓度不超过

75

，且

2

SO

浓度不超过

150

”

的概率；

5

（

2

）根据所给数据，完成下面的

22

列联表：

2

SO

PM2.5

[0,150](150,475]

[0,75]

(75,115]

（

3

）根据（

2

）中的列联表，判断是否有

99%

的把握认为该市一天空气中

PM2.5

浓度与

2

SO

浓度有关？

附：

2

2

()

()()()()

nadbc

K

abcdacbd







，

2()PKk

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

20

．（

12

分）

如图，四棱锥

P-ABCD

的底面为正方形，

PD

⊥底面

ABCD

．设平面

PAD

与平面

PBC

的交线为

l

．

（

1

）证明：

l

⊥平面

PDC

；

（

2

）已知

PD=AD=1

，

Q

为

l

上的点，求

PB

与平面

QCD

所成角的正弦值的最大值．

21

．（

12

分）

已知函数1()elnlnxfxaxa．

（

1

）当

ea

时，求曲线

y=f

（

x

）在点（

1

，

f

（

1

））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（

2

）若

f

（

x

）

≥1

，求

a

的取值范围．

22

．（

12

分）

已知椭圆

C

：

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的离心率为

2

2

，且过点

A

（

2

，

1

）．

（

1

）求

C

的方程：

6

（

2

）点

M

，

N

在

C

上，且

AM

⊥

AN

，

AD

⊥

MN

，

D

为垂足．证明：存在定点

Q

，使得

|DQ|

为定值．

7

2020年普通高等学校招生全国统一考试

参考答案

一、选择题

1

．

C2

．

D3

．

C4

．

B

5

．

C6

．

B7

．

A8

．

D

二、选择题

9

．

ACD10

．

BC11

．

ABD12

．

AC

三、填空题

13

．

16

3

14

．232nn

15

．

5

4

2





16

．

2

2



四、解答题

17

．解：

方案一：选条件①．

由

6

C





和余弦定理得

2223

22

abc

ab





．

由

sin3sinAB

及正弦定理得

3ab

．

于是

222

2

33

2

23

bbc

b





，由此可得

bc

．

由①

3ac

，解得

3,1abc

．

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时

1c

．

方案二：选条件②．

由

6

C





和余弦定理得

2223

22

abc

ab





．

由

sin3sinAB

及正弦定理得

3ab

．

于是

222

2

33

2

23

bbc

b





，由此可得

bc

，

6

BC





，

2

3

A





．

由②

sin3cA

，所以

23,6cba

．

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时

23c

．

方案三：选条件③．

8

由

6

C





和余弦定理得

2223

22

abc

ab





．

由

sin3sinAB

及正弦定理得

3ab

．

于是

222

2

33

2

23

bbc

b





，由此可得

bc

．

由③

3cb

，与

bc

矛盾．

因此，选条件③时问题中的三角形不存在．

18

．解：

（

1

）设

{}

n

a

的公比为

q

．由题设得3

11

20aqaq

，2

1

8aq

．

解得

1

2

q

（舍去），

2q

．由题设得

1

2a

．

所以

{}

n

a

的通项公式为

2n

n

a

．

（

2

）由题设及（

1

）知

1

0b

，且当122nnm

时，

m

bn

．

所以

()()()()Sbbbbbbbbbbbbb

2345(10063)

480

．

19

．解：

（

1

）根据抽查数据，该市

100

天的空气中

PM2.5

浓度不超过

75

，且

2

SO

浓度不超过

150

的天数为

32186864

,

因此

,

该市一天空气中

PM2.5

浓度不超过

75

，且

2

SO

浓度不超过

150

的概率的估计值

为

64

0.64

100



．

（

2

）根据抽查数据，可得22列联表：

2

SO

PM2.5

[0,150](150,475]

[0,75]

6416

(75,115]

1010

（

3

）根据（

2

）的列联表得

2

2

100(64101610)

7.484

80207426

K







．

由于

7.4846.635

，故有

99%

的把握认为该市一天空气中

PM2.5

浓度与

2

SO

浓度有关．

9

20

．解：

（

1

）因为PD底面

ABCD

，所以PDAD．

又底面

ABCD

为正方形，所以

ADDC

，因此AD底面

PDC

．

因为

ADBC∥

，

AD

平面

PBC

，所以AD∥平面

PBC

．

由已知得

lAD∥

．因此

l

平面

PDC

．

（

2

）以D为坐标原点，

DA

的方向为

x

轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

Dxyz

．

则

(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)DCBP

，(0,1,0)DC，(1,1,1)PB．

由（

1

）可设

(,0,1)Qa

，则(,0,1)DQa．

设

(,,)xyzn

是平面

QCD

的法向量，则

0,

0,

DQ

DC















n

n

即

0,

0.

axz

y











可取

(1,0,)an

．

所以

2

1

cos,

||||

31

PBa

PB

PB

a









n

n

n

．

设PB与平面

QCD

所成角为



，则

2

2

3|1|32

sin1

331

1

aa

a

a











．

因为

2

326

1

313

a

a





，当且仅当

1a

时等号成立，所以PB与平面

QCD

所成角的正弦值的最大值

为

6

3

．

21

．解：

()fx

的定义域为

(0,)

，1

1

()exfxa

x





．

（

1

）当

ea

时，

()eln1xfxx

，

(1)e1f





，

曲线

()yfx

在点

(1,(1))f

处的切线方程为

(e1)(e1)(1)yx

，即

(e1)2yx

．

直线

(e1)2yx

在

x

轴，

y

轴上的截距分别为

2

e1





，2．

10

因此所求三角形的面积为

2

e1

．

（

2

）当

01a

时，

(1)ln1faa

．

当

1a

时，1()elnxfxx

，1

1

()exfx

x





．

当

(0,1)x

时，

()0fx





；当

(1,)x

时，

()0fx





．

所以当

1x

时，

()fx

取得最小值，最小值为

(1)1f

，从而

()1fx

．

当

1a

时，11()elnlneln1xxfxaxax

．

综上，

a

的取值范围是

[1,)

．

22

．解：

（

1

）由题设得

22

41

1

ab



，

22

2

1

2

ab

a





，解得26a

，23b

．

所以

C

的方程为

22

1

63

xy



．

（

2

）设

11

(,)Mxy

，

22

(,)Nxy

．

若直线

MN

与

x

轴不垂直，设直线

MN

的方程为

ykxm

，

代入

22

1

63

xy



得222(12)4260kxkmxm

．

于是

2

1212

22

426

,

1212

kmm

xxxx

kk







．①

由

AMAN

知

0AMAN

，故

1212

(2)(2)(1)(1)0xxyy

，

可得22

1212

(1)(2)()(1)40kxxkmkxxm

．

将①代入上式可得

2

22

22

264

(1)(2)(1)40

1212

mkm

kkmkm

kk







．

整理得

(231)(21)0kmkm

．

因为

(2,1)A

不在直线

MN

上，所以

210km

，故

2310km

，

1k

．

于是

MN

的方程为

21

()(1)

33

ykxk

.

所以直线

MN

过点

21

(,)

33

P

.

若直线

MN

与x轴垂直，可得

11

(,)Nxy

.

由0AMAN得

1111

(2)(2)(1)(1)0xxyy

.

又

22

111

63

xy



，可得2

11

3840xx

.解得

1

2x

（舍去），

1

2

3

x

.

11

此时直线

MN

过点

21

(,)

33

P

.

令

Q

为AP的中点，即

41

(,)

33

Q

.

若D与P不重合，则由题设知AP是

RtADP△

的斜边，故

122

||||

23

DQAP

.

若D与P重合，则

1

||||

2

DQAP

.

综上，存在点

41

(,)

33

Q

，使得

||DQ

为定值.