archimedes

阿基米德螺线浅析

作者:姜荣2环境学院09级黄鲁霞2环境学院

09级荣镭2环境学院09级

摘要:

本文就自然界中阿基米德螺线的存在，探讨了它的产生、原理、

性质。并对阿基米德螺线在生活中的应用进行了说明。

关键词：阿基米德螺线产生原理性质应用

Abstract：

Thispapermainlydiscussthecau,theprincipiumandthe

addition,wemakesomeintroductionstoitsapplicationinourdailylife.

Keywords:Archimedesspiralcauprincipiumhabitude

application

引言:

阿基米德与阿基米德螺线

Archimedes（阿基米德）是古希腊数学家、力学家。

他在数学、物理方面都有极高的成就。

公元前287年，阿基米德出生于西西里岛(Sicilia)的叙拉古

(Syracu)(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族，与叙拉古的赫

农王有亲戚关系，家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼

数学家，学识渊博，为人谦逊。他十一岁时，借助与王室的关系，

被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城，跟随欧几里得的学生埃

拉托塞和卡农学习，他以后和亚历山大的学者保持紧密联系，因

此他算是亚历山大学派的成员。

阿基米德在亚历山大学习和生活了许多年，曾跟很多学者密

切交往。他在学习期间对数学、力学和天文学有浓厚的兴趣。在

他学习天文学时，发明了用水利推动的星球仪，并用它模拟太阳、

行星和月亮的运行及表演日食和月食现象。

公元前212年，古罗马军队攻陷叙拉古，正在聚精会神研究

科学问题的阿基米德，不幸被蛮横的罗马士兵杀死，终年七十五

岁。阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球

的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献。

据说为解决用尼罗河水灌溉土地的难题，它发明了圆筒状的

螺旋扬水器，后人称它为“阿基米德螺旋”。阿基米德在《论螺

线》一书中明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。

一、自然界中的阿基米德螺线现象

1.1神奇的蜘蛛网

蜘蛛是地球上古老的节肢动物之一。它们的生活历程

可以追溯到2亿年以前，并且至今仍然保存着一个庞大的家

族。蜘蛛网是由部分种类的蜘蛛吐丝所编成的网状物，用以

捕获昆虫、小型脊椎动物等作食物，或用以结巢居住。蜘蛛

网堪称蜘蛛巧夺天工的杰作，经过上亿年的演化，现在的蜘

蛛网不仅有不可比拟的强度和韧性还具精美的几何图形。

其中蜘蛛丝的捕食丝是由外向网心开始铺设有黏性的

捕食螺线所铺设的捕食螺线其间的距离是相等的。就是本文所

说的阿基米德螺线。

1.2扑火的飞蛾

在亿万年前,没有人造火光,飞蛾完全靠天然光源日光、月

光或星光指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远,

它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞

行时,它在任何位臵的前进方向与光线的夹角都是一个固定值。可

是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞

蛾再按照固有的习惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断

折向灯光光源的阿基米德螺线。

1.3太极图

国学中的阴阳具有多重含义，是一类特殊矛盾。从黄赤交角

造成的四季光照度变化中可以看出太极图中的曲线是两条阿基米

德螺线。

四季的阴阳无限等分变化图

在四季的阴阳无限等分变化图中，以圆心为极点,以极点到夏

至的方向为极轴的正方向建立极坐标系,则阴、阳的大小ρ与时间

θ之间有数据对应关系。

显然，这是两条阿基米德螺线。

二、模型的建立

2.1阿基米德螺线（亦称等速螺线）是指当一点P沿动射线OP

以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，则点P

的轨迹称为“阿基米德螺线”。从物理的角度来说，阿基米德螺

线是匀速直线运动和匀速圆周运动的合成，其图形如下：

阿基米德螺线的一般方程中是：

a

在极坐标体系中，阿基米德螺线的方程是：

=aθ(a=const)

即在坐标中，阿基米德螺线上的点距原点的距离与从极轴OX

转过的角度成正比例。阿基米德螺线的螺距是一个常数2πa,(即

当△θ=2π时，△r=2πa)。其证明是：

r=aθ,r’=a(θ+2π)

则△r=r’-r=2πa。

所以要判定一个螺旋图形是否为阿基米德螺线，就可以看其在平

面内是否符合r=aθ的等式。

2.2阿基米德螺线规

阿基米德螺线在理论研究上或是在实际应用中都是十分重要的。我们

在教学这一内容时,为了使学生对此曲线的特性有深刻的直观印象,

设计了能绘制这一曲线的教具一一阿基米德螺线演示规。

设动点开始运动时离定点O的距离为

0

，即初始位臵是

00

(,0)M，M在l上的运动速度v,l绕O点转动的角速度为，经过

时间t,转过角度,动点到达的位臵为

(,)M

则有

0

vt……………………(1)

及t……………………(2)

由(1)(2)消去t得

00

vtv







,设(0)

v

a



则有

00

a。

这就是阿基米德螺线的极坐标方程。

若

111

(,)M，

222

(,)M是螺线

0

a上的任意两点，则由

101

a，

202

a可得

2121

()a。这表明，当动点沿阿基

米德螺线图线移动时,它的极半径的改变量

21

与极角的改变量

21

成正比的,因此阿基米德螺线也可看成是动点的极半径改变量

与它的极角改变量成正比的点的轨迹。阿基米德螺线演示规就是根据

这一特性来制作的。

三、阿基米德螺线的性质

3.1

若点（

,

）在曲线

a

上，则点（

,

）在曲线

a

上，则这两支曲线关于

2



线对称。特别是（图1）当



时，阿基

米德螺线

a

可以画出关于

2



的对称部分。

3.2若

1

a，则有

1

(2)

n

an





()nZ，即

11

2

n

na





()nZ.因而（图2）过极点O的每一条射线都被阿基米德螺线截成了

无穷多个线段，从第二个线段起，每个线段长度都是2a。

3.3若a，令

a







，则有a。从而（图3）一般的阿

基米德螺线都可由过极点的、有相同系数的螺线截得。

四、阿基米德螺线的应用

4.1蜗壳入口

旋流器蜗壳是将液流的直线运动变为圆周运动的转换器。既

要使悬浮液顺畅地进入旋流状态，又要使进入旋流状态的过渡沿

程损失小，要求旋流器蜗壳内壁曲线连接光滑而没有拐点，曲率

中心在同一侧，这样沿程损失能量小．旋流器的效率高。阿基米

德螺线多被用于蜗壳入口，被运用于此有其独特的意义。

4.1.1蜗壳入口部分的低压力耗散

由水力学得知，局部水头损失h一般表述为：

式中：



为局部水头损失系数；为流速；g为重力加速度。

4.1.2阿基米德螺线入口蜗壳的水头损失

蜗壳结构以极坐标形式表示为阿基米德螺线

a

为极坐标半径，为极角，为由A点计算之所对应的极角；a

为参数

对图2的结构，当2时，

1

R，于是有

1

2Ra，故有

1

/2aR，

则方程4变为

1

(/2)R

式中：

1

R为曲率半径；2。

现在，我们来计算阿基米德螺线入口阻力系数。将曲线AB相

对应的圆心角等分成n个角度，每一个记作，则每一个圆心角

所对应的极半径可以根据公式求出：

1

(/2)(2)Rn

式中：/n，n为相对应的极半径的的个数。因此可求出曲

线AB的平均半径

0

R：

01

1

1

(1/2)

n

i

RRnn

n







将

0

R代人4（3），即可求出曲线AB的阻力系数的近似值。

4.1.3切线入口与阿基米德螺线入口的阻力系数大小比较

假如/2，

1

180Rmm入口高度100Hmm

3.5100

0.1310.163

180



















1/22/2

0.1518













如果是阿基米德螺线入口，假定将等分成10份代人公式6中，

其平均极半径为

1/2

0

180122/2

1(1)()0.1443

104040

R



















由此可见，在此条件下采用阿基米德螺线入口，将降低入口阻力。

4.2阿基米德螺线蜗杆的车削

4.2.1已知参数：（如图2所示）

蜗杆型式：阿基米德螺线（ZA蜗杆）

法向模数0.8

n

m;头数z=3

齿形角20；导程角'''51140

齿项圆直径

1

0

28.1

0.11

d



左旋，轴向齿距公差

px

f为0.01；

齿形误差

1f

f为0.016.‘、

4.2.2计算结果如下

蜗杆端面模数:0.8033

cos

n

x

m

m





蜗杆轴向齿距:2.5236

xx

pm

蜗杆直径系数:33x

DZ

q

tg





蜗杆分圆直径：

1

26.5088

x

dmq

蜗杆顶圆直径：

11

0

26.5088228.1

0.11

dh





蜗杆齿顶高：

1

0.7956h





蜗杆根圆直径：

111

2()25.2389

f

ddhC





蜗杆齿根高：11

0.9563

0.20.1607

f

x

hhC

Cm







所以：蜗杆齿全高：1.7519h

蜗杆轴向齿厚：

1.2618

0.7956200.2896

20.5792

1.26180.57920.6826

x

S

Xtg

X









图

所以取ZA蜗杆车刀头部宽度为

0

0.6826

0.05

，如图3所示。取刀具

前角5~2。

当刀具使用一段时间后刀刃变钝，需进行修磨计算。由于刀具前

角不是很大，修磨计算可省略。

通过使用该刀具，原来一天车3~4个，现在工效提高2~3倍，

该刀具可进行多次重磨，耐用度提高，并且因刀具采用了大拐弯

及中间弹簧圆柱销等缓冲结构，具有抗冲击及消振的作用，增强

了刀具在切削过程中的稳定性，提高了零件的精度及光洁度；因

而在加工蜗杆类零件而又没有专用机床时该方法有一定的参考价

值。

4.3三爪卡盘自动定心原理

车床的基本工作原理是,使被加工的工件随同车床主轴一起旋转,操

作者操纵刀架而移动刀具去切削工件,从而获得预期的工件形状。卡

盘本身半固装于主轴，同时用它的几个可调节爪夹住工件。三爪卡盘

三个相互联动的卡爪，能同时

等距离地向心（或离心）移动。在卡棒料（圆柱状坯件）或六方料（六

棱柱状坯件）时,能使工件轴线与机床主轴轴线自动重合,因此它有自

动定心的特点。

兰爪卡盘的主要结构如图，外壳上互成120角,开有三条透

槽,三个卡爪可在其中做径向移动。卡爪的背面制有牙纹,卡爪以此牙

纹与内部一圆盘咬合。圆盐正面上制有一条平面螺纹,其形状是阿基

米德螺线工人师付称为“盘肠扣”。卡爪牙纹形状也是相应的阿基米

德螺线,因此可以咬合。

如果保持外壳不动,从外面用扳手旋转小伞形轮,则带动大伞形轮

绕卡盘轴线（即机床主轴轴线）转动,这时大伞形轮正面的阿基米德

螺线也要转动。这样,与之咬合的卡爪,

一方面受平面螺纹（阿基米德螺线）的推动,另一方面又受到不动外

壳上槽口的限制,所以只能做径向移动。

现在需要说明的是,扳动小伞齿轮时为什么三个卡爪的径向位移

总是相等的？这要从阿基米螺线的方程说起。因为

()rrk

所以：

dr

k

d



于是

()()rrrk

这就是说，不论在螺线上的什么位臵，当点回的极角有一个增量△

时，极径的增量总是它(△)的k倍。在卡盘上；扳动伞齿一个角

度,等于使各个卡爪都得到相同的极角增量

△,所以它们的径向位移也必是相等的。由此可知,三爪卡盘上三个

卡爪的径向等距移动,这个特点是由于圆盘上的阿基米德螺线的基本

性质而造成的。就是说,三爪卡盘自动定心的原理是阿基米螺线的特

性所致。

此外,阿基米螺线的螺距（即当2时的i值）是一个常数2k。

因此可以继续旋转伞形齿轮,从而使卡爪可能在很大幅度内运动。如

果换成别种螺线,螺距不是常数,卡爪将因其背面的牙纹无法适应改

变着的螺距而卡住。所以只有阿基米德螺载才适于做三爪卡盘的平面

螺纹。

4.4美学价值

数学具有美学价值。我们知道数学是对现实世界数量关系、空间

形式、结构等的刻划。现实世界拥有许多美的因素,所以数学拥有美

就不奇怪了。罗素说过“数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而

且也具有至高的美”,“哪里有数,哪里就有美”。可是数学的美学价

值却一直为人们所忽视。承认数学的美学价值,不论对于数学研究或

是数学教育,都具有重要的意义。对于数学研究者来说,数学的美学

价值使研究数学成为一种美的追求。对数学教育者来说,学习数学过

程,同时应是感受美、欣赏美、理解美的过程,提高学生的审美能力,

这极大地有利于数学的学习。

阿基米德螺线的美学价值

4.4．1对象美

用匀速转动和匀速直线运动合成定义成的曲线=aθ被称为阿基米

德螺线。其中第一圈所围面积为2

1

(2)

3

a



，第一圈未极角2，所对

应的极径为2a，为半径的圆的面积,等于第一个圆的面积的

1

3

。

阿基米德螺线的美妙之处在于它经许多变换仍为自身。对如此美妙的

性质,阿基米德配了一句深刻的哲学名言“虽经沧桑,我仍将以故

我出现”。

4.4.2方法美

阿基米德力学方法。这是一种生动而优美的数学方法,这种创造

性的方法是阿基米德根据力学的重心、杠杆平衡等原理去解决一些

几何问题。例如他利用杠杆原理确定了球的体积。

4.4.3和谐美:和谐不但表现在规律上，也表现在对称上

4.4.4简单美：符号、概念：精炼的简单、公式：数学符号刻画数学

现象中相互关系的等式。

【参考文献】

[1]王明华杨继绪.阿基米德螺线的性质与应用.

[2]赵郁岚周康毅.阿基米德螺线蜗杆的车削

[3]张晓贵王子苓.浅谈数学的美学价值

[4]张学成朱晓春郭学亮薄磊.旋流器的蜗壳设计理论与计算.Coal

PreparationTechnology.2008.2第一期

[5]赵郁岚周康毅.阿基米德螺线蜗杆的车削

[6]府钰颜尔达.阿基米德螺线演示规的制作.苏州教育学院.1990.3

[7]《解析几何》理数教学参考资料几种常用曲线在机械中的应用实例

[8]刘振军飞出一条螺线

[9]迟华基张启明阴阳变化与太极图

[10]胡海神奇的蜘蛛网

[11]王永炎张启明赵宜军太极图反映了自然界最基本的周期运动——

—简谐振动