温州中学

》》》》》》考试辅导资料——欢迎下载《《《《《《

D

温州中学自主招Th素质测试数学试题

(本试卷满分150分,考试时间120分钟)

一、选取题:本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出四个选项中,只有一项是

符合题目规定．请将你以为对的答案填在答题卷相应位置．

4

1.关于反比例函数

y图象,下列说法对的是(▲)

x

A．必通过点(1,1)B．两个分支分布在第二、四象限

C．两个分支关于x轴成轴对称D．两个分支关于原点成中心对称



x2



axby7

2.已知是二元一次方程组解,则

ab

值为(▲)



y1



axby1

A．

1

B．

1

C．

2

D．

3

A

3.已知平面上

n

个点,任三个点都能构成直角三角形,则

n

最大值为

(▲)

A．

3

B．4C．

5

D．

6

4.如图1,

AC

、

BC

为半径为

1

⊙

O

弦,

D

为

BC

上动点,

M

、

N

分别为

AD

、

BD

中点,则

sinACB

值可表达为(▲)

A．

DN

B．

DM

C．

MN

D．

CD

5.已知甲盒中有若干个白球,乙盒中有若干个白球和黑球,白球和黑

球数量均多于

3

个．从乙盒中随机抽取

i



i1,2



个球放入甲盒

中．放入

i

个球后,从甲盒中取

1

个球是白球概率记为

p

i



i1,2



,则(▲)

A．

p

1

p

,B．

p

21

p

,C．

p

21

p

,D．以上均有也许

2

6．已知

5

个实数

a,a

12

,a,a,a

345

满足

0aa

12

aaa

345

,且对任意正整数

i,j



1ij5



,均存在

k



k1,2,3,4,5



,使得

a

k

aa．

ji

①

a0

;②

a

15

4a

2

;③

a2

3

aa

24

;④当1ij5时,a

i

a也许值共有

9个．

j

则上述论断对的有(▲)个．

A

A．1B．2C．3D．4

7．二元方程

x3y3

x2y2正整数解组数为(▲)

A．

1

B．

2

C．3D．4

8．如图2,点

D,E,F

分别是

ABC

三边上点,且满足

CD4DB

,

AE4EC

,

BF4FA

,

AD

、

BE

、

CF

两两B

C

分别交于

A

、

B

、

C

,若

ABC

面积为

1

,则

ABC

面积

111

为(▲)

111

13316

A.

7

B.

16

C.

7

D.

31

》》》》》》考试辅导资料——欢迎下载《《《《《《

二、填空题:本大题共7小题,每小题6分,共42分．请将答案填在答题卷相应位置．

9．设

20153小数某些为

a,

2015

小数某些为

b

,则



a1



b2



值

为▲．

10．若实数

a,b满足

a2b2

1

,则

abmax{a,b}

最大值为▲．(其中

max{a,b}

表

达

a,b

中较大者)

11．

6名小朋友分坐两排,每排

3

人规定面对面而坐,但其中两个小朋友不可相邻,也不可面

对面,有▲种排法．

12.如图3,已知正方体

ABCDABCD

棱长为

1

,

M为棱

CD

中点,点

P

为平面

ABCD

11111111

上动点,则

MPBP

最小值为▲．

1

13.若正实数

a,b,c满足

1



1



1



2015

(ab)(bc)(ca)

,则值为▲．

abcabcabc

14.如图4是一种残缺乘法竖式,在每个方框中填入一种不是

2数字,可使其成为对的算式,

那么所得乘积是▲．

C

1

A

1

C

A

B

15.对于任意

0x

1

,有

axb1

,则对于任意

0x

1

,

bxa最大值

为▲．

22

温州中学自主招Th素质测试数学试题

》》》》》》考试辅导资料——欢迎下载《《《《《《

答题卷

一、选取题:本大题共8小题,每小题5分,共40分．

二、填空题:本大题共7小题,每小题6分,共42分．

9．;10．;11．;

12．;13．;14．;

15．;

三、解答题:(本大题共5小题,16题8分,17、18、19、20题各15分,共68分．解答应写出

文字阐明,证明过程或演算环节)

16.在函数

y

中,求自变量

x

取值范畴．

17．如图5,

M,A,B,C

为抛物线

yax2

上不同四

》》》》》》考试辅导资料——欢迎下载《《《《《《

点,

M



2,1



,线段

MA,MB,MC

与

y

轴交点分别为

E,F,G

,且

EFFG1

,

(1)若

F

坐标为



0,t



,求点

B

坐标(用

t

表达);

(2)若

AMB

面积是

BMC

面积

1

,求直线

MB

解析式．.

2

18.如图6,在

ABC

中,

BAC

平分线交

BC

于点

M

,点

D

、

E

分别为

ABC

内切圆在边

AB

、

AC

上切点,点

I

1

、

I

2

分别为

ABM

与

ACM

内心．

》》》》》》考试辅导资料——欢迎下载《《《《《《

求证:

DI2

1

EI2

2

II

2．1

2

19.试求出所有正整数

k

,使得对一切奇数

n10

,数

16n5n均可被

k

整除．

A

20．如图7,在

ABC

中,

AD

为边

BC

上

高,

DEAB

于点

E

,

DFAC

于点

F

,

EF

与

AD

交于

G

点,

BEG

与

CFG

B

D

C

O

O

1

2

》》》》》》考试辅导资料——欢迎下载《《《《《《

外心分别为

O

和

O

,求证:

OO

//BC．

1212

温州中学自主招Th综合素质测试笔试

》》》》》》考试辅导资料——欢迎下载《《《《《《

1

数学试题答题卷

二、选取题:本大题共8小题,每小题5分,共40分．

题号123

答案DAB

45678

CACAC

二、填空题:本大题共7小题,每小题6分,共42分．

9．

2

;10．

5

;11．384;

3

12．

2

;13．;14．30096;

15．4

三、解答题:(本大题共5小题,16题8分,17、18、19、20题各15分,共68分．解答应写出

文字阐明,证明过程或演算环节)

16.在函数

y4x26x

中,求自变量

x

取值范畴

解:



2,0



6,8





17.

如图,

M,A,B,C

为抛物线

yax2上不同四点,

M



2,1



,线段

MA,MB,MC

与

y

轴交点

分别为

E,F,G

,且

EFFG1

,

(1)若

F坐标为



0,t



,求点

B坐标(用

t

表达);

(2)若

AMB

面积是

BMC

面积

1

,求直线

MB

解析式.

2

解:(1)∵

F



0,t



,∴可设直线

MB

解析式为

ykxt

,

由点

M



2,1



在抛物线

yax2上得

a

,∴

y

1

x2

44

由点

M



2,1



在直线

MB

上得

12kt

1

将

ykxt

代入

y

x2整顿得:

x24kx4t0

4

∴

xx

MB

4t即

2x

B

4t

,∴

x

B

2t

,从而得

y

B

t2

故所求点

B

坐标为



2t,t2





》》》》》》考试辅导资料——欢迎下载《《《《《《

,

又∵∴

AMB

H

(2)解(法一)∵

F0,t

,∴

E0,t1

,

G0,t1

由(1)同理可得点

A2(t1),t(

1)2,

C2(t1),t(1)2

St2tSt23t2

AMBCMB

∵

AMB

面积是

BMC

面积

1

,

2

1

∴

t23t22(t2

t)

,解得

t2或

t1

(舍去)∴

k

2

∴所求直线

MB

解析式为

y

1

x2

,

2

(解法二)过点

A作

y

轴平行线分别交

MB,MC

于

L,H

,

由

EFFG

得

HLAL

,∴

SS

,

S2SSS

CMBAMBHBCHMB

∴点H为

MC

中点,

2x2xxx

AHMC

即

4(t1)22(t1)

解得

t2

从而

k

1

2

∴所求直线

MB

解析式为

y

1

x2

2

18.如图,在

ABC中,

BAC

平分线交

BC

于点

M

,点

D、

E

分别为

ABC

内切圆在边

AB、

AC

上切点,点

I

、

I

分别为与

ABM与

ACM

内心．求证:

DI2EI2II2．

121212

A

D

E

I

1I

2

解:设

ABC

内切圆在边

BC

上切点为

F

,

I,I

B

M

C

在边

BC

上射影分别为

P,Q

．

12

连接

IP

,

IQ

,

IM

,

IM

,

IF

,

IF．

121212

由内心性质知

》》》》》》考试辅导资料——欢迎下载《《《《《《

I





,即。

PFBFBP



因此

PMQF

BCBAAC



BMBAAM



CMAMAC

MQ

222

易知

IMIM

,从而

IPM

∽

MQI

1212

D

I

因此1

P



I

1

P



PM



FQ

,从而

I

PF∽

FQI

PFMQI

QIQ12

E

22

从而易得

IFIF

,又

IFID

,

IFIEI

1

1211222

因此

II2

12

DI2

1

EI

2．

2

B

PMFQ

C

19.试求出所有正整数

k

,使得对一切奇数

n10

,数

16n

解:

16n5n



165





16n116n15



5n均可被

k

整除

故有

2116n5n,故

k1,3,7,21

均满足条件;

下证,对于其她正整数

k

均不满足条件。若

k1,3,7,21

,但是有

k16n5n,

则

k1611511,

k1613513,故有

k1621611511







1613513k231511

显然,

k

不能整除5,故只有

k231

。

2311173

考虑

k11

,

16n5n25n0



mod11



。

故只有

k1,3,7,21

。

20.如图,在

ABC

中,

AD

为边

BC

上高,

DEAB

于点

E

,

DFAC

于点

F

,

EF

与

AD

交于

G

点,

BEG

与

CFG

外心分别为

O

和

O

,求证:

OO

//BC．

1212

证明:延长

AD

交

ABC

外接圆于

H,连接

BH,CH

易知

A,E,D,F

四点共圆

因此

AEFADFACDAHB

B

D

C

O

1

O

2

A

》》》》》》考试辅导资料——欢迎下载《《《《《《

故

E,G,H,B

四点共圆

同理,

F,G,H,C

四点共圆

因此GH为圆

O,O

12

公共弦

故

OOGH

12

又

GHBC

因此

OO//BC

.

12