循环小数

“华杯赛”专题讲座

第1页

循环小数

循环小数化为分数的方法：

纯循环小数：分子是一个循环节的数字所组成的数，分母的各位数字都是9，个数与循环节的

数字个数相同.

混循环小数：分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节末端数字所组成的数，减去不循环

数字所组成的数的差，分母的前几位数字都是9，后几位数字都是0，9的个数与循环节数字个数相

同，0的个数与不循环部分的数字个数相同.

例：，

例1.计算：

[答疑编号5721020101]

【答案】

【解答】

原式=

总结：常见的循环小数应该要迅速的化为分数，如，，，……

例2.将循环小数与相乘，按四舍五入取近似值，要求保留一百位小数，那么

该近似值的最后一位小数是多少？

[答疑编号5721020102]

【答案】9

【解答】

因为，所以第100位小数数字是8，第101位小数数字是5，四舍五入后所

求数字是9.

总结：在进行乘法运算时可以将循环小数化为分数，使得运算更为简便.

“华杯赛”专题讲座

第2页

例3.将的计算结果四舍五入保留60位小数，那么所得结果所有数位上的数字之

和是.

[答疑编号5721020103]

【答案】109

【解答】，

保留60位小数后，所有数字之和为1+8+10′（9+1）=109.

总结：由本例可以看出，并不一定总要把循环小数化为分数进行计算.

例4.将真分数化成小数后，小数点后第138位数字是4，第317位数字是1，那么自然数a

是.

[答疑编号5721020104]

【答案】46

【解答】，可见，将化为小数后，可以看成是有3位循环节的纯循环小数，每

个循环节中的三位数就是自然数a的9倍.

138?3=46，说明循环节第三个数字就是4.

317?3=105节第三，说明循环节第二个数字就是1.

因为每个循环节中的三位数是自然数a的9倍，所以三个数字之和能被9整除，那么第一个数

字是9-1-4=4.

于是a＝414那么＝46.

总结：本例题考查的是利用互化法则迅速的将分数化为循环小数（并没有用除法）.

例5.从1~9中选出三个互不相同的数字填入到循环小数的三个方框中，得到一个大于

但小于的数，那么满足要求的填法有种.

[答疑编号5721020105]

【答案】166

【解答】，

由

知三位数大于等于143且小于等于428

“华杯赛”专题讲座

第3页

首位数字为1时，满足要求的三位数有6+5′7=41个；

首位数字为2或3时，满足要求的三位数有2′8′7=112个；

首位数字为4时，满足要求的三位数有7+6=13个，

共41+112+13=166个.

例6.计算：

[答疑编号5721020106]

【答案】

【解答】

原式

例7.小王在计算与一个数a的乘积时，将误看成1.23，使乘积比正确结果减少了0.6，

那么正确结果是多少？

[答疑编号5721020107]

【答案】222

【解答】

解法一：由已知，，

即，

化简得，

于是，

所以，正确结果为：

解法二：由

得，

“华杯赛”专题讲座

第4页

化简得，

于是，

所以，正确结果为：

例8.已知有两个小于1的纯循环小数，循环节分别为两位和三位，相加后得，那么

这两个纯循环小数是.

[答疑编号5721020201]

【答案】和

【解答】设两位的循环节是ab，三位的循环节是cde，那么有如下竖式成立：

ababab

+cdecde

1836289

可得两个小数是和.

总结：如果将循环小数化为分数，那么将得到比较复杂的不定方程，而将问题转化为数字谜问

题，就好解决多了.

例9.规定表示大于a且有b位循环节的最小纯循环小数，例如：，.

（1）那么考察算式的计算结果，其小数点后的第六位数字是.

（2）计算：.（结果用假分数表示）

[答疑编号5721020202]

【答案】（1）1

（2）

【解答】

（1），所求第六位数字是1.

“华杯赛”专题讲座

第5页

（2）原式

例10.我们把由数字0和7组成的小数叫做“奇异数”，例如、都是“奇异数”.

如果我们将1写成若干个“奇异数”的和，最少要写成多少个？

[答疑编号5721020203]

【答案】8

【解答】注意到每个奇异数除以7的结果，其各位数字都是0或1，将这样的数称为“更奇异

数”，那么题目要求就变为将写成一些“更奇异数”的和.

如果在小数形式相加时有进位，那么加数的个数至少有10个；

如果没有进位，注意到，数字8至少是由8个1相加而得，所以至少有8个加数.

注：你能给出和为1的8个“奇异数”的例子吗？