直线与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系知

识点及题型归纳(总9页)

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2

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳

知识点精讲

一、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交

二、直线与圆的位置关系判断

1.几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心(,)ab到直线0AxByC的距离，则

22

||AaBbC

d

AB







：

则dr直线与圆相交，交于两点,PQ，22||2PQrd；

dr直线与圆相切；

dr直线与圆相离

2.代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

由

222

0

()()

AxByC

xaybr











，消元得到一元二次方程20pxqxt，20pxqxt判别式为，

则：

则0直线与圆相交；

0直线与圆相切；

0直线与圆相离.

三、两圆位置关系的判断

是用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆

12

,OO的半径分别是,Rr，（不妨设Rr），且两圆的圆心距为d，则：

则dRr两圆相交；

dRr两圆外切；

RrdRr两圆相离

dRr两圆内切；

0dRr两圆内含（0d时两圆为同心圆）

四、关于圆的切线的几个重要结论

（1）过圆222xyr上一点

00

(,)Pxy的圆的切线方程为2

00

xxyyr

.

（2）过圆222()()xaybr上一点

00

(,)Pxy的圆的切线方程为

2

00

()()()()xaxaybybr

3

（3）过圆220xyDxEyF上一点

00

(,)Pxy的圆的切线方程为

00

00

0

22

xxyy

xxyyDEF





（4）求过圆222xyr外一点

00

(,)Pxy的圆的切线方程时，应注意理解：

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为

00

()yykxx，利用圆心

到切线的距离等于半径，列出关于k的方程，求出k值.若求出的k值有两个，则说明斜率不存在的情形

不符合题意；若求出的k值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意.

题型讲解

题型1直线与圆的相交关系

思路提示

研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长

2

l

、弦心距d和半径r之间形成的数量

关系222()

2

l

dr.

例已知圆O：225xy，直线l：cossin1(0)

2

xy



，设圆O上到直线l的距离等于1

的点的个数为k，则k=___________.

分析先求出圆心到直线的距离，在进行判断

解析因为圆心(0,0)到直线l的距离为1，又因为圆O的半径为5，故圆上有4个点符合条件.

评注若圆O上到直线l的距离等于2的点的个数为k，则2k；若3k，则圆O上到直线l的距离等

于51

变式1已知圆O：224xy，直线l：1

xy

ab

，设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数有两

个，则

22

11

ab

的取值范围___________.

例已知圆C：228120xyy，直线l：20axya，

（1）当直线l与圆C相交时，求实数a的取值范围;

（2）当直线l与圆C相交于,AB两点，且32AB，求直线l的方程.

分析根据点到直线距离等于半径来度量直线与圆相切问题；根据三长关系解决直线与圆相交问题.

解析（1）圆C：22(4)4xy，故圆心为(0,4)C，因为直线l与圆C相交，所以圆心为(0,4)C到

直线l的距离

2

|42|

2

1

a

d

a







，解得

3

4

a，故实数

a

的取值范围是

3

(,)

4



4

（2）由题意，直线l与圆C相交于,AB两点，且32AB，故有22

2

|42|

(2)()4

1

a

a







，化简可得

2870aa，即1a或7a，故所求直线的方程为20xy或7140xy.

评注在处理直线与圆的相交问题时经常用到三长关系，即半弦长，弦心距，半径长构成直角三角形的三

边.

变式1对任意的实数k，直线1ykx与圆222xy的位置关系一定是（）

A．相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心

变式2过点(1,2)的直线l被圆222210xyxy截得的弦长为2，则直线l的斜率为

__________.

变式3已知直线l经过点(1,3)P且与圆224xy相交，截得弦长为23，求直线l的方程.

例过点(1,1)P的直线l与圆22:(2)(3)9Cxy相交于,AB两点，则||AB的最小值为（）

A.23B.4C.25D.5

解析设圆心(2,3)C到直线l的距离d，由弦长公式222||229ABrdd可知当距离最大d

时，弦长||AB最小.又22||(21)(31)5dCP，当直线lCP时取等号，故

max

5d.所

以22

max

||22954ABrd.故选B

评注过圆内一定点的所有弦中，过此点的直径为最长弦，过此点且垂直于该直径的弦为最短弦.

变式1过点(11,2)A做圆22241640xyxy的弦，其中弦长为整数的共有（）

A.16条B.17条C.32条D.34条

例已知圆的方程为22680xyxy.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边

形ABCD的面积为（）

A.106B.206C.306D.406

解析22680xyxy可化为22(3)(4)25xy，故圆心坐标(3,4)，半径为5，点(3,5)在圆

内，因为AC最长，所以AC为直径，即||10AC，BD最短，且BD过点(3,5)，所以

22||225[(33)(54)]46BD，所以

1

||||206

2

SACBD，故选B

变式1如图所示，已知AC,BD为圆O：224xy的两条相互垂直的弦，垂足为(1,2)M，则四边

形ABCD的面积的最大值为__________.

5

例（2012北京海淀高三期末理13改编）已知圆22:(1)2Cxy，过点(1,0)M的直线l交圆C于

,AB两点，若0CACB（C为圆心），则直线l的方程为__________.

解析设直线:(1)lykx，即:l0kxyk

则圆心到直线l的距离为

2

|2|

1

k

d

k





.又0CACB，故CACB，即△ABC是等腰三角形，

2

C



.

所以

2

2|2|

sin21

42

1

k

dr

k







即

3

3

k，故直线l：310xy或310xy

变式1已知O为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M的直线l与圆221xy交于,PQ两点.若

1

2

OPOQ，求直线l的方程.

变式2已知圆C：22(1)(6)25xy上的两点,PQ关于直线l:8ykx对称，且0OPOQ

（O为坐标原点），求直线PQ的方程

题型2直线与圆的相切关系

思路提示

若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，切线的几何性质为：圆心和切点的连线垂直于切

线.

例求经过点(1,7)与圆2225xy相切的直线方程.

分析将点(1,7)代入圆方程得221(7)5025，知点(1,7)是圆外一点，故只需求切线的斜率或再

求切线上另一点坐标.

解析解法一：依题意，直线的斜率存在，设所求切线斜率为k，则所求直线方程为7(1)ykx，整

理成一般式为70kxyk.由圆的切线的性质，可得

2

|007|

5

1+k

k

，化简得

3127120kk，解得

4

3

k或

3

4

k.

故所求切线方程为：43250xy或34250xy.

6

解法二：依题意，直线的斜率存在，设所求切线方程为

00

25xxyy（

00

(,)xy是切点），将坐标

(1,7)代入后得

00

725xy，由

00

00

22

725

25

xy

xy















，解得0

0

4

3

x

y











或0

0

3

4

x

y











.

故所求切线方程为：43250xy或34250xy.

评注已知圆外一点，求圆的切线方程一般有三种方法：①设切点，用切线公式法；②设切线斜率，用判

别式法：③设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆半径.一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两

种方法中，应注意斜率不存在的情况.

变式1已知圆22:(1)(2)4Cxy，求过点(1,5)P的圆的切线方程.

变式2直线l(2)2ykx与圆22:220Cxyxy相切，则的一个方向向量为（）

A.(2,2)B.(1,1)C.(3,2)D.

1

(1,)

2

例自点(3,3)A发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆

224470xyxy相切，求入射光线l所在直线的方程.

分析利用对称性解决此类反射问题.根据光学特征，对称性的使用既可以使用点的对称，也可以使用圆

的对称.

解析已知圆22(2)(2)1xy关于

x

轴的对称圆'C的方程为22(2)(2)1xy，可设光线所

在直线方程为3(3)ykx，所以直线l与圆'C相切，圆心'(2,2)C到直线l的距离

2

|55|

1

1

k

d

k







，解得

4

3

k或

3

4

k.

所以光线所在的直线l方程为4330xy或3430xy.

变式1自点(3,3)A发出的光线l射到

x

轴上，被

x

轴反射，其反射光线'l所在直线与圆

224470xyxy相切，求反射光线'l所在直线的方程.

题型3直线与圆的相离关系

思路提示

关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问

题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题.

例（1）直线:1lyx的点到圆22:4240Cxyxy上的点的距离最小值是____________.

（2）由直线1yx上的点向圆22(3)(2)1xy引切线，则切线长的最小值为（）

A.17B.32C.19D.25

7

分析过直线1yx上任意一点向圆22(3)(2)1xy引切线PQ，即可得到

222

1111

||||||||1PQOQPQOPOQOP，那么，当切线长PQ取最小值时，即

1

OP取最小

值.

解析（1）圆C可化为22(2)(1)1xy，故圆心(2,1)C到直线1yx的距离

22

|211|

22

11

d







，则所求距离最小值为221dr

（3）过

1

O作

1

OH垂直于直线1yx于点H，过H作HR相切圆

1

O与R，连接

1

OR，则切线长的

最小值为||HR，圆心(3,2)到直线10xy的距离

22

|321|

32

11

d







，||17HR，

故选A.

变式1已知点P是直线40(0)kxyk上一动点，,PAPB是圆22:20Cxyy的两切线，

,AB是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）

A.3B.

21

2

C.22D.2

变式2已知圆22:1Oxy和定点(2,1)A，由圆O外一点(,)Pab向圆O引切线PQ，切点为Q，且

满足||||PQPA.

（1）求实数,ab间满足的等量关系；

（2）求线段PQ长的最小值.

题型4圆与圆的位置关系

思路提示

已知两圆半径分别为

12

,rr，两圆的圆心距为d，则：

（1）两圆外离

12

rrd；

（2）两圆外切

12

rrd；

（3）两圆相交

1212

||rrdrr；

（4）两圆内切

12

||rrd；

8

（5）两圆内含

12

||rrd；

两圆外切和内切较为重要，这两种位置关系常与椭圆和双曲线的定义综合考查.

例圆22

1

:20Oxy和圆22

2

:40Oxyy的位置关系是（）

A.外离B.相交C.外切D.内切

分析判断圆心距与两圆半径的关系

解析由圆22

1

:20Oxy得

1

(0,0)O，

1

2r，

圆22

2

:40Oxyy得

2

(0,2)O，

2

2r，

121212

||||2rrOOrr，两圆相交，故选B.

变式1在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150xyx，若直线2ykx上至少存在

一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_________.

变式2在平面直角坐标系xOy中，点(0,3)A，直线l：24yx，设圆C的半径为1，圆心在l上，

（1）若圆心C也在直线1yx上，过点A作圆C的切线，求切线方程；

（2）使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_________.

例已知两圆222610xyxy和2210120xyxym

（1）

m

取何值时两圆外切.

（2）

m

取何值时两圆外切，此时公切线方程是什么

（3）求45m时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长度.

分析把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d，判断d与Rr，Rr的关系，再用圆的几

何性质分别解决（2）（3）问.

解析两圆的标准方程分别为22(1)(3)11xy，

22(5)(6)61,(61)xymm，

圆心分别为(1,3),(5,6)MN，半径分别为11和61m，

（1）当两圆外切时，22(51)(63)1161m，解得251011m

（2）当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心距5，故只有61115m，

解得，两圆方程222610xyxy与2210120xyxym，相减得

8612510110xy代入，得43135110xy.

9

（3）两圆的公共弦所在直线方程为

2222(261)(101245)0xyxyxyxy，即43230xy，所以公共弦长为

22

22

|43323|

2(11)()27

43







.

评注应注意两圆位置关系由圆心距和两圆半径的和与差的大小关系来确定.

变式1若圆224xy与圆22260(0)xyaya，公共弦的长为23，则a___________.

变式2设两圆

12

,CC都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆的圆心距离

12

||CC（）

A.4B.42C.8D.82

有效训练题

1.已知点(,)Pab在圆C：224xy内（异于圆心），则直线10axby与圆C的位置关系是

（）

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

2.已知ab，且2sincos0

4

aa



，2sincos0

4

bb



，则连接2(,)aa，2(,)bb两点的

直线与单位圆的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

3.设,mnR，若直线(1)(1)20mxny与圆22(1)(1)1xy相切，则mn的取值范围

是（）

A.13,13







B.,1313,







C.222,222







D.,222222,







4.若直线1

xy

ab

经过点(cos,sin)M，则（）

A.221abB.221ab

C.

22

11

1

ab

D.

22

11

1

ab



5.过点(1,1)P的直线，将圆形区域22{(,)|4}xyxy分两部分，使得这两部分的面积之差最大，该直

线的方程为（）

A.20xyB.10y

C.0xyD.340xy

6.若直线10xy与圆22()2xay有公共点，则实数

a

取值范围是（）

10

A.3,1B.1,3

C.3,1D.,31,

7.设,mnR，若直线10mxny与x轴相交于点A，与y轴相交于B，且l与圆224xy相交

所得弦的长为2，O为坐标原点，则△ABC面积的最小值为___________

8.过点(4,0)作直线l与圆2224200xyxy交于,AB两点，如果||8AB，则l的方程为

__________.

9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150xyx，若直线2ykx上至少存在一点，

使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则的最大值是_______.

10.已知点(3,1)M，直线40axy及圆22(1)(2)4xy.

（1）求过点M的圆的切线方程；

（2）若直线40axy与圆相切，求a的值

（3）若直线40axy与圆相交于,AB两点，且AB弦的长为23，求a的值

11.已知圆M的方程为22(2)1xy（M为圆心），直线的方程为20xy，点P在直线l

上，，过点P作圆M的切线,PAPB，切点为,AB.

（1）若060APB，试求点的坐标；

（2）若点P的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于,CD两点，当2CD，求直线CD的方程；

（3）求证：经过,,APM三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

11

12.已知圆C过点(1,1)P，且与圆222:(2)(2)(0)Mxyrr关于直线20xy对称.

（1）求圆C的方程；

（2）设Q为圆C上的一个动点，求PQMQ的最小值.（M为圆M的圆心）；

（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于,AB，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标

原点，试判断直线OP和AB是否平行请说明理由.