2020高考文科数学

第1页（共19页）

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知集合

{|||3Axx

，

}xZ

，

{|||1Bxx

，

}xZ

，则

(AB)

A．



B．

{3

，2，2，

3}

C．

{2

，0，

2}

D．

{2

，

2}

2．4(1)(i

)

A．4B．4C．

4i

D．

4i

3．如图，将钢琴上的12个键依次记为

1

a

，

2

a

，，

12

a

．设

112ijk

．若

3kj

且

4ji

，则

i

a

，

j

a，

k

a

为原位大三和弦；若

4kj

且

3ji

，则称

i

a

，

j

a，

k

a

为原位

小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为

()

A．5B．8C．10D．15

4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，

由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已

知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志

愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率

不小于0.95，则至少需要志愿者

()

A．10名B．18名C．24名D．32名

5．已知单位向量

a

，

b

的夹角为

60

，则在下列向量中，与

b

垂直的是

()

A．

2ab

B．

2ab

C．

2ab

D．

2ab

6．记

n

S

为等比数列

{}

n

a

的前n项和．若

53

12aa

，

64

24aa

，则

(n

n

S

a



)

A．21nB．122nC．122nD．121n

7．执行如图的程序框图，若输入的

0k

，

0a

，则输出的

k

为

()

第2页（共19页）

A．2B．3C．4D．5

8．若过点

(2,1)

的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线

230xy

的距离为

()

A．

5

5

B．

25

5

C．

35

5

D．

45

5

9．设

O

为坐标原点，直线xa与双曲线22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab

的两条渐近线分别交于

D，E两点．若

ODE

的面积为8，则

C

的焦距的最小值为

()

A．4B．8C．16D．32

10．设函数3

3

1

()fxx

x



，则

()(fx)

A．是奇函数，且在

(0,)

单调递增

B．是奇函数，且在

(0,)

单调递减

C．是偶函数，且在

(0,)

单调递增

D．是偶函数，且在

(0,)

单调递减

11．已知

ABC

是面积为

93

4

的等边三角形，且其顶点都在球

O

的球面上．若球

O

的表面

积为

16，则

O

到平面

ABC

的距离为

()

A．3B．

3

2

C．1D．

3

2

12．若

2233xyxy

，则

()

A．

(1)0lnyx

B．

(1)0lnyx

C．

||0lnxy

D．

||0lnxy

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若

2

sin

3

x

，则

cos2x

．

14．记

n

S

为等差数列

{}

n

a

的前n项和．若

1

2a

，

26

2aa

，则

10

S

．

第3页（共19页）

15．若x，y满足约束条件

1,

1,

21,

xy

xy

xy

















则

2zxy

的最大值是．

16．设有下列四个命题：

1

p

：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

2

p

：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

3

p

：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

4

p

：若直线

l

平面



，直线

m

平面



，则

ml

．

则下述命题中所有真命题的序号是．

①

14

pp

②

12

pp

③

23

pp

④

34

pp

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

ABC

的内角A，B，

C

的对边分别为a，

b

，c，已知2

5

cos()cos

24

AA





．

（1）求A；

（2）若

3

3

bca

，证明：

ABC

是直角三角形．

18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为

调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单

随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据

(

i

x

，

)(1

i

yi

，2，，

20)

，其中

i

x

和

i

y

分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算

得20

1

60

i

i

x



，20

1

1200

i

i

y



，20

2

1

()80

i

i

xx



，20

2

1

()9000

i

i

yy



，20

1

()()800

ii

i

xxyy



．

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生

动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本

(

i

x

，

)(1

i

yi

，2，，

20)

的相关系数（精确到

0.01)

；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该

地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数1

22

11

()()

()()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

r

xxyy















，21.414．

19．（12分）已知椭圆22

1

22

:1(0)

xy

Cab

ab

的右焦点F与抛物线

2

C

的焦点重合，

1

C

的

中心与

2

C

的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交

1

C于A，B两点，交

2

C

于

C

，D两点，

且

4

||||

3

CDAB

．

第4页（共19页）

（1）求

1

C

的离心率；

（2）若

1

C

的四个顶点到

2

C

的准线距离之和为12，求

1

C

与

2

C

的标准方程．

20．（12分）如图，已知三棱柱

111

ABCABC

的底面是正三角形，侧面

11

BBCC

是矩形，M，

N

分别为

BC

，

11

BC

的中点，P为AM上一点．过

11

BC

和P的平面交AB于E，交

AC

于F．

（1）证明：

1

//AAMN

，且平面

1

AAMN

平面

11

EBCF

；

（2）设

O

为△

111

ABC

的中心．若

6AOAB

，

//AO

平面

11

EBCF

，且

3

MPN





，求四

棱锥

11

BEBCF

的体积．

21．（12分）已知函数

()21fxlnx

．

（1）若

()2fxxc

，求c的取值范围；

（2）设

0a

，讨论函数

()()

()

fxfa

gx

xa







的单调性．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一

题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）已知曲线

1

C

，

2

C

的参数方程分别为

2

1

2

4,

:(

4

xcos

C

ysin

















为参数），

2

1

,

:(

1

xt

t

Ct

yt

t



















为参数）．

（1）将

1

C

，

2

C

的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设

1

C

，

2

C

的交点为P，求圆

心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数2()|||21|fxxaxa

．

（1）当

2a

时，求不等式

()4fx

的解集；

（2）若

()4fx

，求a的取值范围．

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2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知集合

{|||3Axx

，

}xZ

，

{|||1Bxx

，

}xZ

，则(AB)

A．



B．

{3

，2，2，

3}

C．

{2

，0，

2}

D．

{2

，

2}

【思路分析】求出集合A，B，由此能求出AB．

【解析】

因为3,2,1,0,1,2AxxxZ

，

1,1BxxxZxx

或1,xxZ

，

所以2,2AB.

故选：

D.

【总结与归纳】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题．

2．4(1)(i

)

A．4B．4C．

4i

D．

4i

【思路分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4iiiii.

故选：

A.

【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．

3．如图，将钢琴上的12个键依次记为

1

a

，

2

a

，，

12

a

．设

112ijk

．若

3kj

且

4ji

，则

i

a

，

j

a，

k

a

为原位大三和弦；若

4kj

且

3ji

，则称

i

a

，

j

a，

k

a

为原位

小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为

()

A．5B．8C．10D．15

【思路分析】由原位大三和弦、原位小三和弦的定义，运用列举法，即可得到所求和．

【解析】

根据题意可知，原位大三和弦满足：

3,4kjji

．

第6页（共19页）

∴

1,5,8ijk

；

2,6,9ijk

；

3,7,10ijk

；

4,8,11ijk

；

5,9,12ijk

．

原位小三和弦满足：

4,3kjji

．

∴

1,4,8ijk

；

2,5,9ijk

；

3,6,10ijk

；

4,7,11ijk

；

5,8,12ijk

．

故个数之和为10．

故选：

C

．

【总结与归纳】本题是数列在实际问题中的运用，运用列举法是解题的关键，属于基础题．

4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，

由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已

知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志

愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率

不小于0.95，则至少需要志愿者

()

A．10名B．18名C．24名D．32名

【思路分析】由题意可得至少需要志愿者为

18

50





名．

【解析】方法一：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，

第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按1200份计算，

因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为

18

50





名，

故选：B．

方法二：

由题意，第二天新增订单数为50，设需要志愿者

x

名，

50

0.95

900

x



，17.1x,故需要志愿者18名

.

故选：

B

【总结与归纳】本题考查了等可能事件概率的实际应用，属于基础题．

5．已知单位向量

a

，

b

的夹角为

60

，则在下列向量中，与

b

垂直的是

()

A．2abB．2abC．2abD．2ab

【思路分析】利用平面向量的数量积为0，即可判断两向量是否垂直．

【解析】：单位向量

||||1ab

，

1

11cos60

2

ab

，

对于A，2

15

(2)22

22

abbabb

，所以

(2)ab

与

b

不垂直；

对于B，2

1

(2)2212

2

abbabb

，所以

(2)ab

与

b

不垂直；

第7页（共19页）

对于

C

，2

13

(2)22

22

abbabb

，所以

(2)ab

与

b

不垂直；

对于D，2

1

(2)2210

2

abbabb

，所以

(2)ab

与

b

垂直．

故选：D．

【总结与归纳】本题考查了判断两向量是否垂直的应用问题，是基础题．

6．记

n

S

为等比数列

{}

n

a

的前n项和．若

53

12aa

，

64

24aa

，则

(n

n

S

a



)

A．21nB．122nC．122nD．121n

【思路分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．

【解析】：设等比数列的公比为q，

53

12aa

，

6453

()aaqaa

，

2q

，

42

11

12aqaq

，

1

1212a

，

1

1a

，

12

21

12

n

n

n

S







，12n

n

a

，

1

1

21

22

2

n

n

n

n

n

S

a









，

故选：B．

【总结与归纳】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于基

础题．

7．执行如图的程序框图，若输入的

0k

，

0a

，则输出的

k

为

()

A．2B．3C．4D．5

第8页（共19页）

【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a的值并输出相

应变量

k

的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解析】：模拟程序的运行，可得

0k

，

0a

执行循环体，

1a

，

1k

执行循环体，

3a

，

2k

执行循环体，

7a

，

3k

执行循环体，

15a

，

4k

此时，满足判断框内的条件

10a

，退出循环，输出

k

的值为4．

故选：

C

．

【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便

得出正确的结论，是基础题．

8．若过点

(2,1)

的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线

230xy

的距离为

()

A．

5

5

B．

25

5

C．

35

5

D．

45

5

【思路分析】由已知设圆方程为222()()xayaa

，

(2,1)

代入，能求出圆的方程，再代

入点到直线的距离公式即可．

【解析】：

由于圆上的点2,1

在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为,aa，则圆的半径为

a

，

圆的标准方程为22

2xayaa.

由题意可得22

221aaa，

可得2650aa，解得

1a

或5a，

所以圆心的坐标为1,1

或5,5

，

圆心

(1,1)

到直线距离均为

1

2113

25

5

5

d



；

圆心

(5,5)

到直线的距离均为

2

2553

25

5

5

d





圆心到直线

230xy

的距离均为

2

25

5

5

d



；

所以，圆心到直线

230xy

的距离为

25

5

.

第9页（共19页）

故选：

B.

【总结与归纳】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的

值，是解题的关键，属于基础题．

9．设

O

为坐标原点，直线xa与双曲线22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab

的两条渐近线分别交于

D，E两点．若

ODE

的面积为8，则

C

的焦距的最小值为

()

A．4B．8C．16D．32

【思路分析】根据双曲线的渐近线方程求出点D，E的坐标，根据面积求出

8ab

，再根

据基本不等式即可求出．

【解析】方法一：由题意可得双曲线的渐近线方程为

b

yx

a



，

分别将xa，代入可得

yb

，

即

(,)Dab

，

(,)Eab

，

则

1

28

2ODE

Sabab





，

222216cabab，当且仅当22ab时取等号，

C

的焦距的最小值为

248

，

故选：B．

方法二：22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab





双曲线的渐近线方程是

b

yx

a



直线

xa

与双曲线

22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab



的两条渐近线分别交于D，E两点

不妨设D为在第一象限，E在第四象限

联立

xa

b

yx

a















，解得

xa

yb











故

(,)Dab

联立

xa

b

yx

a















，解得

xa

yb











故

(,)Eab

||2EDb



ODE面积为：

1

28

2ODE

Sabab

△

第10页（共19页）

双曲线

22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab





其焦距为2222222168cabab

当且仅当22ab取等号

C的焦距的最小值：8

故选：

B.

【总结与归纳】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．

10．设函数3

3

1

()fxx

x



，则

()(fx)

A．是奇函数，且在

(0,)

单调递增

B．是奇函数，且在

(0,)

单调递减

C．是偶函数，且在

(0,)

单调递增

D．是偶函数，且在

(0,)

单调递减

【思路分析】先检验

()fx

与

()fx

的关系即可判断奇偶性，然后结合幂函数的性质可判断

单调性．

【解析】：因为3

3

1

()fxx

x



，

则3

3

1

()()fxxfx

x



，即

()fx

为奇函数，

根据幂函数的性质可知，3yx

在

(0,)

为增函数，故

1

3

1

y

x



在

(0,)

为减函数，

2

3

1

y

x



在

(0,)

为增函数，

所以当

0x

时，3

3

1

()fxx

x



单调递增，

故选：A．

【总结与归纳】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．

11．已知

ABC

是面积为

93

4

的等边三角形，且其顶点都在球

O

的球面上．若球

O

的表面

积为

16，则

O

到平面

ABC

的距离为

()

A．3B．

3

2

C．1D．

3

2

【思路分析】画出图形，利用已知条件求三角形

ABC

的外接圆的半径，然后求解

1

OO

即可．

【解析】方法一：由题意可知图形如图：

ABC

是面积为

93

4

的等边三角形，可得

2

393

44

AB

，

3ABBCAC

，

可得：

1

23

33

32

AO

，

球

O

的表面积为

16，

第11页（共19页）

外接球的半径为：2416R

，解得2R，

所以

O

到平面

ABC

的距离为：431．

故选：

C

．

方法二：

设球O的半径为R，则2416R，解得：2R.

设ABC外接圆半径为

r

，边长为

a

，

ABC是面积为

93

4

的等边三角形，

2

1393

224

a，解得：3a，

2

2

229

93

3434

a

ra，



球心O到平面ABC的距离22431dRr.

故选：

C.

总结与归纳】本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题

的关键．

12．若

2233xyxy

，则

()

A．

(1)0lnyx

B．

(1)0lnyx

C．

||0lnxy

D．

||0lnxy

【思路分析】由2233xyxy，可得2323xxyy，令

()23xxfx

，则

()fx

在R

上单调递增，且

()()fxfy

，结合函数的单调性可得x，y的大小关系，结合选项即可判断．

【解析】：由

2233xyxy

，可得

2323xxyy

，

令

()23xxfx

，则

()fx

在R上单调递增，且

()()fxfy

，

所以

xy

，即

0yx

，

第12页（共19页）

由于

11yx

，故

(1)10lnyxln

，

故选：A．

【总结与归纳】本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若

2

sin

3

x

，则

cos2x

1

9

．

【思路分析】由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解．

【解析】：

2

sin

3

x

，22

21

cos212sin12()

39

xx

．故答案为：

1

9

．

【总结与归纳】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，

属于基础题．

14．记

n

S

为等差数列

{}

n

a

的前n项和．若

1

2a

，

26

2aa

，则

10

S

25．

【思路分析】由已知结合等差数的性质及求和公式即可直接求解．

【解析】：因为等差数列

{}

n

a

中，

1

2a

，

264

22aaa

，所以

4

1a

，

41

33daa

，即

1d

，则

101

109

1010(2)45125

2

Sad





．故答案为：25.

【总结与归纳】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础试题．

15．若x，y满足约束条件

1,

1,

21,

xy

xy

xy

















则

2zxy

的最大值是8．

【思路分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．

【解析】：作出不等式组对应的平面区域如图：由

2zxy

得

11

22

yxz

，

平移直线

11

22

yxz

由图象可知当直线

11

22

yxz

经过点A时，直线

11

22

yxz

的

截距最大，此时z最大，由

1

21

xy

xy











，解得

(2,3)A

，此时

2238z

，故答案为：8．

【总结与归纳】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

16．设有下列四个命题：

1

p

：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．

2

p

：过空间中任意三点有且仅有一个平面．

第13页（共19页）

3

p

：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．

4

p

：若直线

l

平面



，直线

m

平面



，则

ml

．

则下述命题中所有真命题的序号是①③④．

①

14

pp

②

12

pp

③

23

pp

④

34

pp

【思路分析】根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系对四个命题分别判断真假即可

得到答案．

【解析】：设有下列四个命题：

1

p

：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题

为真命题，

2

p

：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为

假命题，

3

p

：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，

4

p

：若直线

l

平面



，直线

m

平面



，则

ml

．由线面垂直的定义可知，此命题为真

命题；

由复合命题的真假可判断①

14

pp

为真命题，②

12

pp

为假命题，③

23

pp

为真命题，

④

34

pp

为真命题，

故真命题的序号是：①③④，

故答案为：①③④，

【总结与归纳】本题以命题的真假判断为载体，考查了空间中直线与直线，直线与平面的位

置关系，难度不大，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

ABC

的内角A，B，

C

的对边分别为a，

b

，c，已知2

5

cos()cos

24

AA





．

（1）求A；

（2）若

3

3

bca

，证明：

ABC

是直角三角形．

【思路分析】（1）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得

2

1

sincos0

4

AA

，解方程得

1

cos

2

A

，结合范围

(0,)A

，可求A的值；

（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求

1

sin()

32

B





，结合范围

(

33

B





，

)

3



，可求

2

B





，即可得证．

【解析】：（1）222

5

cos()cossincos1coscos

24

AAAAAA





，

2

1

coscos0

4

AA

，解得

1

cos

2

A

，

第14页（共19页）

(0,)A

，

3

A





；

（2）证明：

3

3

bca

，

3

A





，

由正弦定理可得

31

sinsinsin

32

BCA

，

231131

sinsin()sincossinsincossin()

3222232

BBBBBBBB





，

2

(0,)

3

B





，

(

33

B





，

)

3



，

36

B





，可得

2

B





，可得

ABC

是直角三角形，得证．

【总结与归纳】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转

化思想，考查了方程思想的应用，属于基础题．

18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为

调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单

随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据

(

i

x

，

)(1

i

yi

，2，，

20)

，其中

i

x

和

i

y

分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算

得20

1

60

i

i

x



，20

1

1200

i

i

y



，20

2

1

()80

i

i

xx



，20

2

1

()9000

i

i

yy



，20

1

()()800

ii

i

xxyy



．

（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生

动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本

(

i

x

，

)(1

i

yi

，2，，

20)

的相关系数（精确到

0.01)

；

（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该

地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数1

22

11

()()

()()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

r

xxyy















，21.414．

【思路分析】（1）由已知数据求得20个样区野生动物数量的平均数，乘以200得答案；

（2）由已知直接利用相关系数公式求解；

（3）由各地块间植物覆盖面积差异很大可知更合理的抽样方法是分层抽样．

【解析】：（1）由已知，20

1

1200

i

i

y



，

20

个样区野生动物数量的平均数为

20

1

1

120060

20i

i

y



，

该地区这种野生动物数量的估计值为

6020012000

；

（2）20

2

1

()80

i

i

xx



，20

2

1

()9000

i

i

yy



，20

1

()()800

ii

i

xxyy



，

第15页（共19页）

1

22

11

()()

80080022

0.94

3

8090006002

()()

n

ii

i

nn

ii

ii

xxyy

r

xxyy

















；

（3）更合理的抽样方法是分层抽样，根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地

块进行分层抽样．

理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各

地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样

的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该

地区这种野生动物数量更准确的估计．

【总结与归纳】本题考查简单的随机抽样，考查相关系数的求法，考查计算能力，是基础题．

19．（12分）已知椭圆22

1

22

:1(0)

xy

Cab

ab

的右焦点F与抛物线

2

C

的焦点重合，

1

C

的

中心与

2

C

的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交

1

C

于A，B两点，交

2

C

于

C

，D两点，

且

4

||||

3

CDAB

．

（1）求

1

C

的离心率；

（2）若

1

C

的四个顶点到

2

C

的准线距离之和为12，求

1

C

与

2

C

的标准方程．

【思路分析】（1）由题意设抛物线的方程，求出焦点坐标，再由题意求切线弦长

||CD

，

||AB

的值，再由

4

||||

3

CDAB

，可得a，

b

，c的关系，由椭圆中，a，

b

，c之间的关系求出

椭圆的离心率；

（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标，及抛物线的准线方程，进而求出4个顶点到准线

的距离，再由（1）的结论求出a，c的值，又由椭圆中a，

b

，c之间的关系求出a，

b

，

c的值，进而求出椭圆及抛物线的方程．

【解析】：（1）由题意设抛物线

2

C

的方程为：24ycx

，焦点坐标F为

(,0)c

，因为

ABx

轴，将xc代入抛物线的方程可得224yc

，所以

||2yc

，

所以弦长

||4CDc

，

将xc代入椭圆

1

C

的方程可得

24

22

22

(1)

cb

yb

aa

，所以

2

||

b

y

a

，

所以弦长2

2

2

||

b

AB

a

，

再由

4

||||

3

CDAB

，可得

242

4

3

b

c

a

，即222322()acbac

，

整理可得222320caca

，即22320ee

，

(0,1)e

，所以解得

1

2

e

，

所以

1

C

的离心率为

1

2

；

（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：

(,0)a

，

(0,)b

，

而抛物线的准线方程为：xc，

所以由题意可得

212cacac

，即

6ac

，而由（1）可得

1

2

c

a



，所以解得：

4a

，

2c

，所以22216412bac

，

第16页（共19页）

所以

1

C

的标准方程为：

22

1

1612

xy

，

2

C

的标准方程为：28yx

．

【总结与归纳】本题考查求椭圆，抛物线的方程，及直线与椭圆的综合，属于中档题．

20．（12分）如图，已知三棱柱

111

ABCABC

的底面是正三角形，侧面

11

BBCC

是矩形，M，

N

分别为

BC

，

11

BC

的中点，P为AM上一点．过

11

BC

和P的平面交AB于E，交

AC

于F．

（1）证明：

1

//AAMN

，且平面

1

AAMN

平面

11

EBCF

；

（2）设

O

为△

111

ABC

的中心．若

6AOAB

，

//AO

平面

11

EBCF

，且

3

MPN





，求四

棱锥

11

BEBCF

的体积．

【思路分析】（1）先求出线线平行，可得线线垂直，即可求线面垂直，最后可得面面垂直；

（2）利用体积转化法，可得

111111

1

3BEBCFMEBCFEBCF

VVSMN





，再分别求

MN

，

11

EBCF

S即可

求结论．

【解答】证明：（1）由题意知

111

////AABBCC

，

又侧面

11

BBCC

是矩形且M，

N

分别为

BC

，

11

BC

的中点，

1

//MNBB

，

1

BBBC

，

1

//MNAA

，

11

MNBC

，

又底面是正三角形，

AMBC

，

1111

ANBC

，

又MNAMM，

11

BC

平面

1

AAMN

，

11

BC

平面

11

EBCF

，

平面

1

AAMN

平面

11

EBCF

；

解：（2）

//AO

平面

11

EBCF

，

AO

平面

1

AAMN

，

平面

1

AAMN平面

11

EBCFNP

，

//AONP

，

//NOAP

，

6AONP

，3ONAP，

过M作

MHNP

，垂足为H，

平面

1

AAMN平面

11

EBCF，平面

1

AAMN平面

11

EBCFNP

，MH平面

1

AAMN，

MH平面

11

EBCF，

第17页（共19页）

3

MPN





，

sin3

3

MHMP





，



11

11

11

()(62)624

22EBCF

SBCEFNP

，



111111

1

24

3BEBCFMEBCFEBCF

VVSMN





．

【总结与归纳】本题考查了空间位置关系，线面平行，线面垂直，面面垂直，体积公式，考

查了运算能力和空间想象能力，属于中档题．

21．（12分）已知函数

()21fxlnx

．

（1）若

()2fxxc

，求c的取值范围；

（2）设

0a

，讨论函数

()()

()

fxfa

gx

xa







的单调性．

【思路分析】（1）

()2fxxc

等价于221lnxxc．设

()22hxlnxx

，利用导数求其最

大值，再由

1c

大于等于

()hx

的最大值，即可求得c的取值范围；

（2）

()()2()

()(0

fxfalnxlna

gxx

xaxa







，

xa

，

0)a

，可得

2

2

222

()

()

a

lnxlna

x

gx

xa







令

2

()222(0)

a

wxlnxlnax

x



，利用导数求得

()wxw

（a）

0

，即

()0gx

，可得

()gx

在

(0,)a

和

(,)a

上单调递减．

【解析】：（1）

()2fxxc

等价于221lnxxc．

设

()22hxlnxx

，

22(1)

()2(0)

x

hxx

xx





．

当

(0,1)x

时，

()0hx

，

()hx

单调递增，

当

(1,)x

时，

()0hx

，

()hx

单调递减，

()hx

在

1x

时取得极大值也就是最大值为

h

（1）2，

12c，即1c．

则c的取值范围为

[1

，

)

；

（2）

()()2()

()(0

fxfalnxlna

gxx

xaxa







，xa，

0)a

．

22

22

()22222

()

()()

a

xalnxlnalnxlna

xx

gx

xaxa







．

第18页（共19页）

令

2

()222(0)

a

wxlnxlnax

x



，

则

22

222()

()

aax

wx

xxx





，

令

()0wx

，解得

0xa

，令

()0wx

，解得

xa

，

()wx

在

(0,)a

上单调递增，在

(,)a

上单调递减．

()wxw

（a）

0

，即

()0gx

，

()gx

在

(0,)a

和

(,)a

上单调递减．

【总结与归纳】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查数

学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一

题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）已知曲线

1

C

，

2

C

的参数方程分别为

2

1

2

4,

:(

4

xcos

C

ysin

















为参数），

2

1

,

:(

1

xt

t

Ct

yt

t



















为参数）．

（1）将

1

C

，

2

C

的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设

1

C

，

2

C

的交点为P，求圆

心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．

【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间

进行转换．

（2）利用极径的应用和圆的方程的应用求出结果．

【解析】：（1）曲线

1

C

，参数方程为：

2

2

4,

(

4

xcos

ysin

















为参数），转换为直角坐标方程为：

40xy

，

所以

1

C

的普通方程为

4(04)xyx

．

曲线

2

C

的参数方程：

1

,

(

1

,

xt

t

t

yt

t



















①

②

为参数）．

所以①2②2整理得直角坐标方程为22

1

44

xy

，

所以

2

C

的普通方程为224xy

．

（2）由22

4

1

44

xy

xy















，整理得

4

1

xy

xy











，解得：

5

2

3

2

x

y



















，即

53

(,)

22

P

．

设圆的方程222()xayr

，

由于圆经过点P和原点，

第19页（共19页）

所以

22

222

53

()()

22

ar

ar















，解得

2

17

10

289

100

a

r



















，

故圆的方程为：22

17289

()

10100

xy

，即22

17

0

5

xyx

，转换为极坐标方程为

17

cos

5



．

【总结与归纳】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极

径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思

维能力，属于基础题型．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数2()|||21|fxxaxa

．

（1）当

2a

时，求不等式

()4fx

的解集；

（2）若

()4fx

，求a的取值范围．

【思路分析】（1）把

2a

代入函数解析式，写出分段函数，然后对x分类求解不等式，取

并集得答案；

（2）利用绝对值不等式的性质可得

2222()|||21||(21)||(1)|(1)fxxaxaxaxaaa

．由

()4fx

，得

2(1)4a

，求解二次不等式得答案．

【解析】：

（

1

）当2a时，43fxxx.

当3x时，43724fxxxx

，解得：

3

2

x≤

；

当34x时，4314fxxx

，无解；

当

4x

时，43274fxxxx

，解得：

11

2

x；

综上所述：4fx

的解集为

3

2

xx









或

11

2

x









.

（

2

）2

2222121211fxxaxaxaxaaaa

（当

且仅当221axa时取等号），

214a，解得：1a或3a，

a

的取值范围为,13,

.

【总结与归纳】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，考查绝对值

不等式的性质，是中档题．

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