混沌谱

第２２卷第５．期 云南师范大学学报、，０１．２２ Ｎｏ．５ ２００２年９月 Ｊ

ｏｕｒｎ￣ｏｆ ＹｕｎｎａｎＮｄｒ￣．，４ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｓｅｐ．２００２

Ｌｏｒｅｎｚ映射符号动力学的研究

闵，琦， 张青友

（蒙自师范高等专科学校物理系，云南蒙自６６１１００）

摘要：Ｌｏｒｅｎｚ映射是实际物理系统的抽象几何模型，其符号动力学的研究对于深入了解非线性物

理系统的动力学演化机制有很强的指导意义。文章给出了建立Ｌｏｒｅｎｚ映射符号动力学的方法，并在此

基础上论述了Ｌｏｒｅｎｚ映射符号序列所具有的性质。

关键词：Ｌｏｒｅｎｚ映射；符号动力学；星花积；拓扑熵；第一类熵不变式；第二类熵不变式。

中图分类号：０３２２ 文献标识码：Ａ 文章编号： １ｏ０７—９７９３（２００２）０５－－２２－－０６

在实际的数学物理研究中，几乎所有的物理系统的数学模型都是非线性的，而且往往用一系列的常

微分方程来描述［１ ］。研究这些模型所描述的系统时，如果有混沌现象的出现，人们自然希望对系统的分

岔及混沌谱能有一个整体的了解，即：在固定的或者变化着的参数下稳定与不稳定周期轨道，以及一系

列周期制度极限下的混沌吸引子的类型等。然而，到目前为止，人们发现用单纯的分析或者数值方法去

达到这一目的可不是一件容易的事，甚至是不可能的［３］。因为从分析的角度看，它只是反映了描述系统

的平面系统常微分方程长期演化后的极限环数目的增减情况［４］，而混沌行为有可能只出现在三个以上

自治常微分方程所描述的系统中，这自然带来了比在平面系统中计算极限环数目更为艰难的问题。其

次，就数值方法而言，人们根本无法判断在给定的参数范围内某一长度的周期轨道是否已全部被发现，

以及在固定参数下混沌吸引子中有没有短的不稳定周期轨道被遗漏，更不用说数值方法本身所具有的

巨大困难。

令人高兴的是，符号动力学，作为一种粗粒化的描述手段，为理解实际的耗散物理系统的非线性动

力学的整体和拓扑性质提供了一个有力的工具［５］。符号动力系统是形式上最简单的一种动力系统，它是

实际动力系统的一种高度概括和抽象。一方面，当基于传统的无穷小分析的微分理论难于施展时，基于

粗粒化的符号动力学仍能发挥作用；另一方面，一般数值方法行不通的地方，符号动力学有可能提供定

性的分析手段。这是因为对真实耗散物理系统的混沌行为的研究，从某种程度上讲可以简化为对描述该

系统的非线性数学模型的Ｐｏｉｎｃａｒ￣截面性质的研究［６ ］。比较有实际价值的系统是三维的，该系统的

Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面是二维的。由于耗散的存在，其上的Ｐｏｉｎｃａｒｅ映射的两个Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数至少有一个小于

零；如果有混沌行为，两个Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数中，还必须有一个大干零。由于一维映射分岔序列在临界点附

近具有的标度律对于三维和三维以上的系统均适用，所以研究正指数所指的一维方向上的映射就显得

非常重要和富有意义［ 。一维连续映射符号动力学的进展及应用雄辩地证明了这一点［８ 。。。

但值得注意的是，大部分的物理系统的Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面所对应的映射，只可能简化为含一个或一个以

上间断点的非连续映射［ｕ叫引。鉴于此，我们不得不去重新寻找有别于连续映射的新的代数规则。更为困

难的是，这些映射往往还不只是一维。幸运的是，从描述实际物理系统的Ｌｏｒｅｎｚ方程组出发，可以得到

一个简化了的Ｌｏｒｅｎｚ几何模型，它是含有一个间断点的一维非连续映射。它的出现和研究为我们理解

实际的物理系统的混沌行为提供了一个很好的切入点。

收稿日期：２ｏ０２—０３—２５

作者简介：闵琦（１９７２一），男，云南省个旧市人，讲师，理学硕士，主要从事非线性复杂系统的研究．

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第５期 闵琦等：Ｌｏｒｅｎｚ映射符号动力学的研究 ・２３・

１ Ｌｏｒｅｎｚ映射及其符号动力学的建立

隹曼’ ㈩

其中 ｚ、 、 ∈尺；参数 ，ｒ，６∈Ｒ＋。这就是著名的Ｌｏｒｅｎｚ方程 引。从这组常微分方程出发，经多次数

射ｆ：［一１，１］一［一１，１］，即Ｌｏｒｅｎｚ映射 ：

一

ｆ（ｘ 一 ｆＬ（ｘ， ，ｕＤ，

，三 ㈤

Ｃ Ｃ

Ｘ Ｄ Ｄ Ｘｊ＜ＸＬ Ｄ ｘ Ｒ

（６） ）． （ｄ）

图１ Ｌｏｒｅｎｚ映射所具有的四种情形

Ｆｉｇ．１ Ｆｏｕｒ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｌｏｒｅｎｚ ｍａｐｓ

与单峰连续映射有一上升枝和一下降枝截然不同，Ｌｏｒｅｎｚ映射有两条单调上升枝。按照符号动力学的

惯例 １，分别被标注为Ｌ（ｘ＜０的部分）和Ｒ（ｘ＞０的部分）；两条单调枝之间为一间断点，标记为：

ｌｉｍ厂Ｌ（ｚ）一Ｃ，ｌｉｍ ＪＲ（ｚ）一Ｄ． （４）

ｒ＿－Ｏ— Ｏ＋

由于这一间断点的存在，使得Ｌｏｒｅｎｚ映射符号动力学行为远比一维单峰连续映射复杂。对于Ｌｏｒｅｎｚ映

射，与不含间断点的一维连续单峰映射类似，任给一个轨道点ｚ，根据其所在单调枝对其赋予符号：

ｆＲ ｚ＞０ ＩＬ

ｚ＜０

（５）

对间断点则特别地赋予符号

７ 一

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・２４・ 云南师范大学学报（自然科学版） 第２２卷

（ｚ）一Ｉ ｒ、 （６）

、 Ｚ—’Ｕ

这样，任意一点ｚ。∈［一１，１］，根据（３）进行迭代时，可得到一条数值轨道

Ｘｏ，ｚｌ，Ｘ２，… （７）

根据，（５）、（６）两式的规定，可以把（７）式转化为一个符号序列

ｚ… …， ∈｛Ｒ，Ｌ，Ｃ，Ｄ｝ （８）

特别地，把从Ｃ和Ｄ出发得到的两个符号序列称为揉序列，记为

（Ｃｘｌｚ２…Ｘｉ…，ＤｙｌＹｚ＂＂Ｙｊ…）， 五， ∈｛Ｒ，Ｌ｝ （９）

如果揉序列为一周期揉序列时，（９）式可进一步写为

Ｗ一（ＣｘｌＸ２￣＂Ｘｍ，ＤｙｌＹ２… ） （１Ｏ）

（１Ｏ）式表示的是一个周期为ｍ＋１＋ ＋１的揉序列。这里，应注意的是，有时我们把 称之为词。

根据Ｍｉｌｎｏｒ－－Ｔｈｕｒｓｔｏｎ揉理论，对于一维单峰连续映射的转折点Ｃ进行揉操作时，Ｃ点可以向左右

两边揉，即Ｃ点可以揉为Ｌ也可以揉为尺；但对于Ｌｏｒｅｎｚ映射，因Ｃ，Ｄ为间断点，根据（４）式，Ｃ点只能

向左揉为Ｌ’而Ｄ点只能向右揉为尺。其次，由于Ｌｏｒｅｎｚ映射只有两条单调上升支，所以其符号序列不象

连续映射一样有奇偶（＋１、一１）性。其符号序列的排序规则很简单，任给两个符号序列，它们的大小排

序为

观…＜ …＜ …＜ … （１１）

这里，∑为两个符号序列的公共字头。（１１）式与这些符号序列所对应的实数在数轴上的实数序一致。

对于任给的揉符号序列，如Ｗ一（Ｃｘ ．２７２… ， Ｙ２… ），以 表示 的后继序列， 表

示 的后继序列，则Ｌｏｒｅｎｚ映射的可允条件可写为

（Ｃｘｌｘ２…ｘｍ，Ｄｙｌｙ２…ｙｎ）≤（ｘｌＸ２ ｏ．．ｘｍＣ）， （１２）

（Ｃｘｌｘ２…ｘ ，Ｄ ｌｙ２…Ｙ ）≥（ｙｌｙ２…Ｙ Ｄ）． （１３）

满足（１２）、（１３）式的揉符号序列，称为可允词或可允揉序列。多个可允词可以对应一条真实的轨道，但一

条真实的轨道只可能对应一个可允词。

１．３ Ｌｏｒｅｎｚ映射的星花积

一维单峰映射符号动力学中的星花积（＊）概念是于１９７８年由得瑞达（Ｂ．Ｄｅｒｒｉｄａ）等人首先提出

的［１引，星花积又称为星花合成律或ＤＧＰ积。它描述了一维单峰映射的两个符号序列构造成一个复合序

列的一般规则，是研究单峰映射普适性的有力工具。对于Ｌｏｒｅｎｚ映射，由于含有间断点Ｃ和Ｄ，它的可

允符号序列的星花积构造规则比一维连续映射要复杂。它可以分为等长和不等长两种。前一种称作对

偶星花积，它包括上花积和下花积［８］。下面我们用Ｌｏｒｅｎｚ映射符号序列的一般形式来分别说明这两种

星花积的构造方法，在此我们只给出它们的简化形式。任给两个Ｌｏｒｅｎｚ映射的可允揉符号序列

Ｗ一（Ｃｘ１Ｘ２ ｏ，， …ＺＭ，Ｄｙｌ ２… …ＹＮ），

Ｚ一（Ｃｅ１ｅ２＂＇ｅｉ…ｅＩ，Ｄｆ１ｆ２．・・ｆ …ｆＪ、）．

其中 ， ，ｅｉ， ∈（Ｌ，尺），（ ，ｍ，ｉ，Ｊ∈Ｚ＋）。

令Ｘ—ｚｌｚ２…嚣…Ｘｌ，Ｙ—Ｙｌ ２…ＹＪ… ，则 可以简化为

Ｗ一（ＣＸ，Ｄｙ）．

等长星花积的意思是说揉序列Ｗ和ｚ通过星花积复合后所得到的复合序列 ＊ｚ的长度ＩＩ ＊ｚ 等

于前后两序列 和ｚ的长度之积ＩＩ Ｉｌ・Ｉｌ ｚ Ｉｌ。上花积（一）和下花积（一）的构造分别为

—Ｚ一（ＣＸＲＹｅｌＥｌｅ２Ｅ２…ｅｉＥｉ…ｅｉＥｉ，Ｄｙ［ ＦｌＡＦｚ＇＂ｆｊＦｊ… ＦＪ）． （１４）

—Ｚ一（ＤＹＬＸｅｌＥｌｅ２Ｅ２…ｅｉＥｉ…ｅｉＥｉ，ＣＸＲＸ Ｆｌｆ２Ｆ２＂＂ Ｆｊ… ＦＪ）． （１５）

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第５期 闵琦等：Ｌｏｒｅｎｚ映射符号动力学的研究 ・２５・

不等长指的是揉序列 和ｚ通过星花积复合后所得到的复合序列 ＊ｚ的长度ＩＩ ＊ｚ ｌｌ不再等于前

后两个序列 和ｚ的长度之积ｌ ｌｌ・ＩＩ ｚ ｌｌ。揉序列 和ｚ通过不等长花积复合后所得到的复合序

列为

≠ｚ一（ＣＸｅ１Ｅ１ｅ２Ｅｚ＇＂ｅｉＥｉ…ｅｉＥ１，ＤＹｆｌＦ１／ Ｆ２…／ …厂ＪＦｊ）． （１６）

其中，（１４）式和（１５）、（１６）式中的ｅｉ、Ｅｉ、 、Ｆ 为Ｌ和尺的组合，可根据揉理论得到［１ 。值得注意的是，通

过星花积复合后所得到的复合序列均满足可允条件。从上面可以看出，不等长花积 ≠Ｚ和上花积

—ｚ、下花积 —ｚ一样，也可以分块构造，只是分出的块的长度各不相同，有长度为ＩＩ Ｌｘ ｌｌ和ｌｌ ＲＹ ｌｌ

的两种块，但块的总数仍为ＩＩ Ｚ ｌｌ。Ｌｏｒｅｎｚ映射的左枝在Ｃ点被截断，右枝在Ｄ点被截断，而左右两枝都

连续，所以可以认为Ｃ点和Ｄ点是退化了的Ｌ和尺，它们应遵守同样的变换（揉）规则。从以上星花积的

构造就可以看出这一点。星花积是一种逆重整化程序，它是表达符号动力学中普适性的核心规则，其特

点是能够将连续的轨道分割为抽象的符号系统。Ｌｏｒｅｎｚ映射星花积的作用归纳起来大致有如下几

点：［ｓ－＂］一是星花积为我们刻画分岔图的自相似结构提供了一种强有力的工具， 、 ｚ通过星花积复

合在一起组成复合序列 ＊ ， 刻画了分岔图中 ＊ ｚ所描述的结构的粗粒部分，而细粒部分由

来描述；或者说，星花积把 和 所分别代表的分岔图形压缩到了一起，压缩后的图形由 ＊

来描述。二是如前所述，星花积可以让我们把一个较长的可允序列分解成两个较短的可允序列，以及把

两个较短的可允序列复合成一个较长的可允序列。其次星花积为我们下面将要讨论的第一，第二类熵不

变式提供了基础，如果没有星花积，第一，第二类熵不变式就根本无从谈起。

１．４ Ｌｏｒｅｎｚ映射的拓扑熵

拓扑熵是由Ｒ．Ａｄｌｅｒ等人于１９６５年引进，为研究拓扑共轭不变量运应而生的。它是至今发现的唯

一非负的拓扑共轭不变量。现已经成为了刻划动力系统拓扑性质的重要指标。每一个紧致的动力系统

都有一个确定的拓扑熵，它反映了连续作用在底空间上引起的运动混乱程度的一种度量。我们的研究发

现：迭代时，Ｌｏｒｅｎｚ映射间断点的增长规律和连续映射的转折点的增长规律完全相似，并且它们对各自

映射单调枝数目的增长所起的作用一样；虽然用揉理论计算Ｌｏｒｅｎｚ映射的拓扑熵时，含间断点的

Ｌｏｒｅｎｚ映射揉多项式的写法与连续映射的写法有所不同，但其代数实质是一致的。有兴趣的读者可参

看文献Ｅ１８］。

１．５ Ｌｏｒｅｎｚ映射第一类及第二类熵不变式

通向混沌的过程，我们可以从两个方面来研究，一是标度，二是拓扑。在标度方面，就单峰连续映射

而言，Ｆｅｉｇｅｎｂａｕｍ利用重整化群理论首先得到了通过倍周期分岔通向混沌的分岔收敛速率，它最终趋

近于一个常数１．４０１１５５１８９０９２０５…，被称之为Ｆｅｉｇｅｎｂａｕｍ常数。建立在符号序列的星花积基础上的第

一类熵不变式的发现，为我们研究符号序列本身的复杂性以及从拓扑的角度发现和分析通向混沌的道

路提供了可能。而第二类熵不变式的发现，为我们分解复杂复合序列以及寻找新的星花积找到了一条

可行的路子。研究表明 引，对于含间断点的Ｌｏｒｅｎｚ映射，任给两个可允揉序列 和Ｚ，则 和Ｚ绎星花

积复合后所得到的复合序列的拓扑熵ｈ（Ｗ＊Ｚ）满足下式［８］： ．

ｆｈ（ ）ｈ（ ）≠０ ｈ（Ｗ＊ｚ） ｍａｘ｛ｈ（ ），＾（ｚ）／ｌｌ ｌ１）一｛＾ ｚ）／ｌｌ ｌｌ ＾（ ） ０ （ ７）

（１７）即为第一类熵不变式。我们的研究工作得出［１叼

ｈ（ａ（Ｗ＊Ｚ））一＾（ Ｚ）） （１８）

（１８）式称之为Ｌｏｒｅｎｚ映射的第二类熵不变式。

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・２６・ 云南师范大学学报（自然科学版） 第２２卷

２讨论

Ｌｏｒｅｎｚ映射作为一维映射的重要组成部分，一维连续映射符号动力学的研究方法、思路以及所取

得的结论对其符号动力学的研究具有很好的借鉴作用，Ｌｏｒｅｎｚ映射对偶星花积、第一类和第一类熵不

变式的发现，很好地说明了这一点。但同时我们也应该看到，由于间断点的引入，以及Ｌｏｒｅｎｚ映射不再

象一维连续映射那样只有一个参数，而是具有两个参数，这样Ｌｏｒｅｎｚ映射符号动力学的研究就要比一

维连续映射符号动力学的研究复杂，出现了一些与一维连续映射，尤其是一维单峰连续映射不同的地

方，如下星花积以及不等长星花积的出现等。作为动力系统几何描述的Ｌｏｒｅｎｚ映射符号动力学，具有对

实际动力系统提供粗粒化描述的本领，可以看成是微分方程定性理论的强有力的辅助手段，它的研究为

我们认识实际的物理系统，特别是描述大气运动变化规律的Ｌｏｒｅｎｚ方程，提供了一定的理论依据和指

导，并为我们研究符号序列本身的复杂性提供了新的途径。尽管如此，我们也应看到，符号动力学也具有

其自身的弱点，如它并不能告诉我们在参数空间的什么地方会出现什么样的周期等，其次，Ｌｏｒｅｎｚ映射

只是Ｌｏｒｅｎｚ方程高度抽象化了的几何模型，它是否能正确反映真实Ｌｏｒｅｎｚ系统的物理实质仍有待研

究Ｅ２ｏ］。

致 谢：本文所涉及到的大部分工作是在陈中轩教授、彭守礼教授的指导下完成的，在此向他们表

示感谢。

参考文献：

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［８］．Ｓ．一Ｌ．Ｐｅｎｇ ａｎｄ Ｌ．一ｍ．Ｄｕ，Ｄｕａｌ ｓｔａｒ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｓｙｍｂｏｌｉｃ＂ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ Ｌｏ￣ｎｚ ｍａｐｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓａｌＴ虻ｅｎｔｒｏｐｙＤ］．

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［１０ｌ Ｋ．－－Ｆ．Ｃａｏ，Ｒ．－－Ｌ．Ｌｉｕ ａｎｄ Ｓ．－－Ｌ．Ｐｅｎｇ，Ａ ｎｅｗ ｕｎｉｖｅｒｓａｌｉｔｙ ｆｏｒ ｆｒａｃｔａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ Ｆｅｉｇｅｎｂａｕｍ－－ｔｙｐｅ ａｔｔｒａｃ－

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［１１］Ｅ．Ａ．Ｊａｃｋｓｏｎ，ＰｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅｓｏｆＮｏｎｌｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃｓ［Ｍ］．ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｐｒｅｓｓ，Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ，１９８９，１：７８，１４２．

［１２］Ｂ．－－Ｌ．Ｉ－ｌａｏ，ｗ．一ｗ．Ｚｈｅｎｇ，Ａｐｐｈｅａ Ｓｙｍｂｏｌｉｃ Ｄｙｎａｍｉｃｓ ａｎｄ Ｃｈａｏｓ，Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｃｈａｏｓ［Ｍ］．Ｗｏｒｌｄ Ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃ，

Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ，１９９８，ｖｏ１．７．

［１３］Ｅ．Ｎ．Ｌｏｒｅｎｚ，Ｊ．Ａｔｏｍｓ．Ｓｅｉ．２０，ｖｏ１．１３０，１９８２．

［１４］Ｊ．Ｇｕｅｋｅｎｈｅｉｍｅｒ，Ｒ．Ｆ．Ｗｉｌｌｉａｍｓ，Ｐｕｂ１．Ｍａｔｈ．ＩＨＥＳ，ｖｏ１．５０，Ｐ．３０７，１９７６．

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［１７］闵琦，张青友．Ｌｏｒｅｎｚ映射的星花积Ｄ］．蒙自师专学报，２００１，（３）：１．

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第５期 闵琦等：Ｌｏｒｅｎｚ映射符号动力学的研究 ・２７・

［－１８］闵琦，陈中轩．洛伦兹映射拓扑熵计算的一点技巧［Ｊ］．云南大学学报，２００１，（２３）：７３．

［１９］闵琦．Ｌｏｒｅｎｚ映射第二类熵不变式的证明［Ｊ］．待发表．

Ｅ２ｏ］ｓ．Ｓｍａｌｅ，Ｐｈｙｓｉｃａ Ｄ，ｖｏ１．５１，Ｐ．２６７，１９９１．

Ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ ｓｙｍｂｏｌ ｉｃ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ Ｌｏｒｅｎｚ ｍａｐ

ＭＩＮ Ｑｉ， ＺＨＡＮＧ Ｑｉｎｇ－ｙｏｕ

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｍｅｎｇｚｉ Ｔｅｔｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｍｅｎｇｚｉ ６６１ １００）

ＡＩ￣ＰＲＡＣＴ Ｌｏｒｅｎｚ ｍａｐ ｉｓ ａｎ ａｂｓｔｒａｃｔ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｒｅａｌ ｐｈｙｓｉｃｓ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ Ｗｈｉｃｈ

ｃａｎ ｄｅｅｐｅｎ ｏｕｒ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｏｆ ｓｏｍｅ ｏｆ ｎｏｎ－－ｌｉｎｅａｒ ｐｈｙｓｉｃｓ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，

ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｍｂｏ￣ｃ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ Ｌｏｒｅｎｚ ｍａｐ ｉｓ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ，ａＳ ｗｅｌｌ ａｓ，ｔｈｅ ｃｈａｒ—

ａｃｔｅｒｓ ０ｆ ｔｈｅ ｓｙｍｂｏｌｉｃ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ Ｌｏｒｅｎｚ ｍａｐ ａｒｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．

ＫＥＹ ＷＯＲＤＳ Ｌｏｒｅｎｚ ｍａｐ；ｓｙｍｂｏｌｉｃ ｄｙｎａｍｉｃｓ；ｓｔａｒ ｐｒｏｄｕｃｔ：ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｅｎｔｒｏｐｙ；ｆｉｒｓｔ ａｎｄ ｓｅｃｏｎｄ ｅｎ－

ｔｒｏｐｙ ｉｎｖａｒｉａｎｔ

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