第21卷第6期北华大学学报(自然科学版)Vol.21No.62020年11月
JOURNAL OF BEIHUA UNIVERSITY(Natural Science)
Nov.2020
文章编号:1009-4822(2020)06-0701-07DOI :10.11713/j.issn.1009-4822.2020.06.001
离散SEIS 传染病模型动力学研究
周㊀盼，热木孜亚㊃热布哈提，王建鹏
(新疆医科大学医学工程技术学院，新疆乌鲁木齐㊀830011)
摘要：通过非标准差分方法得到离散SEIS 传染病模型，利用迭代法证明了模型解的正性和有界性，基于基本再生数证明了无病平衡点和地方病平衡点的存在唯一性，利用线性化方法证明了无病平衡点的局部稳定性，通过数值模拟给出地方病平衡点的稳定性结果.利用拉定超立方抽样方法对模型参数进行敏感性分析，根据参数对基本再生数R 0的敏感度，通过控制敏感参数给出一些疾病的防控策略.关键词：基本再生数；非标准差分方法；局部稳定性；拉定超立方抽样中图分类号:O175.1
文献标志码:A
收稿日期:2020-08-22
基金项目：新疆维吾尔自治区自然科学基金项目(2020D01C178).
作者简介：周㊀盼(1991 )，女，讲师，主要从事传染病动力学模型研究,E-mail:；通信作者：王建鹏(1990 )，男，讲
折纸玩具简单好玩师，主要从事传染病动力学模型研究,E-mail:
Dynamical Study on Discrete SEIS Epidemic Model
ZHOU Pan,RAMZIYA Rifhat,WANG Jianpeng
(College of Medical Engineering and Technology ,Xinjiang Medical University ,Urumqi 830011,China )
Abstract :A discrete SEIS transmission model was obtained through the non-standard finite difference method.The positive and boundedness of the model solutions are proved by the iterative method,the existence and uniqueness of the dia-free equilibrium and the endemic equilibrium are proved bad on the basic regeneration number,and the local stability of the dia-free equilib
rium is proved by the linearization method,its stability is given by numerical simulation.Latin Hypercube Sampling method was ud to analyze the nsitivity of model parameters.According to the nsitivity of parameters to basic reproductive number R 0,some control strategies are given by controlling nsitive parameters.
Key words :basic reproductive number;non-standard finite difference method;local stability;Latin Hyper-cube Sampling
随着社会的不断进步与发展，传染病成为威胁人类生存和繁衍的 隐形杀手 .近年来，许多专家和学者致力于防控传染病传播工作，并提出了很多疾病防控方面的建设性意见.随着数理科学的不断发展，将数学应用到传染病预防和控制中已凸显成效.数学工作者已经借助微分方程理论㊁差分方程理论㊁概率论等知识做了大量的疾病防控研究工作[1-3].
众所周知，高维连续模型能更好地刻画事物的发展状态，而高维连续模型的精确解求解确是非常困难的，但现实生活要求我们给出连续模型解或者模型解的性质.因此，研究连续模型对应离散模型的数值解就显得至关重要.通过研究数值解性质可以得到一些精确解的性质，从而为更好地阐述事物的发展状态提供理论依据.通常，将连续模型离散化的方法有欧拉差分法和Runge-Kutta 方法等.随着科学的进步,Micken 提出新的离散方法 非标准差分方法[4-5]，该方法可以减少连续模型离散化后信息的丢失.
1㊀数学模型
在文献[6]考虑了病人在潜伏期和染病期都有传染性，研究了一类具有饱和发生率的SEIS 连续时间
传染病模型:
d S d t =A -β1S N I -β2S N E -dS +γ1
E ,
d E d t =β1S N I +β2S
N E -(α+γ1+d )E ,d I
d t =αE -(γ2+d +δ)I.ìî
í受以上工作的启发，本文仅考虑病人在染病期具有传染性，且发生率是标准发生率的情形.应用
Micken 非标准差分方法建立具有标准发生率的离散SEIS 传染病模型如下:
S (t +1)-S (t )φ(h )谷草转氨酶高
=A -βS (t +1)I (t )-dS (t +1)+γ1E (t +1)+γ2
I (t +1),
E (t +1)-E (t )
φ(h )=βS (t +1)I (t )-(α+γ1+d )E (t +1),
I (t +1)-I (t )
φ(h )
=αE (t +1)-(d +γ2+δ)I (t +1),
N (t )=S (t )+E (t )+I (t ),
ìîí
(1)
其中，函数φ(h )是一个分母函数[7]，定义如下:
φ(h )=
e dh -1
d
.在标准离散格式中用分母函数φ(h )(0<φ(h )<1)代替标准分母函数h ，其中φ(h )=h +ο(h 2),h 是数值计算的时间步长.
特别地，取φ(h )=h =1，得到如下离散模型:
S (t +1)-S (t )=A -βS (t +1)I (t )-dS (t +1)+γ1E (t +1)+γ2I (t +1),E (t +1)-E (t )=βS (t +1)I (t )-(α+γ1+d )E (t +1),I (t +1)-I (t )=αE (t +1)-(d +γ2+δ)I (t +1),N (t )=S (t )+E (t )+I (t ),
ìîí
(2)
其中:A 表示t 时刻输入人口常数;β表示疾病的传播率;d 表示自然死亡率;γ1表示病毒携带者的治愈率;γ2表示患病者的治愈率;α表示潜伏期人群转为感染者的转移率;δ表示感染者患病的死亡率.本文就模型(2)展开研究，模型(1)的研究可类似进行.
2㊀模型分析
依据实际疾病传播背景，假定模型(2)的任意解满足如下的初始条件
S (0)>0,㊀E (0)ȡ0,㊀I (0)ȡ0.
(3)
定义模型(2)的基本再生数:
R 0=
αβA
d (γ1+d +α)(γ2+d +δ)
草木灰是什么肥.
首先，对于模型(2)解的正性㊁有界性和平衡点的存在性，有下述引理:
引理1㊀假设(S (t ),E (t ),I (t ))是模型(2)具有初始条件(3)的任意解，当t >0时，则(S (t ),E (t ),I (t ))是正的且一致有界.
证明：由于(S (t ),E (t ),I (t ))是模型(2)具有初始条件(3)的解，则模型(2)等价于下述形式:
207北华大学学报(自然科学版)第21卷
S (t +1)=(S (t )+A )(1+γ2+d +δ)(1+γ1+d +α)+E (t )[γ1(1+γ2+d +δ)+αγ2]+γ2I (t )(1+γ1+d +α)(1+d )(1+γ2+d +δ)(1+γ1+d +α)+βI (t )(γ2(1+d )+(1+d +δ)(1+d +α)),
E (t +1)=E (t )+βS (t +1)I (t )
1+γ1+d +α
,
I (t +1)=
(1+γ1+d +α)I (t )+αE (t )+αβS (t +1)I (t )
(1+γ2+d +δ)(1+γ1+d +α),
N (t )=S (t )+E (t )+I (t ).
ì
îí(4)
当t =0时，方程组(4)变成如下形式:
S (1)=(S (0)+A )(1+γ2+d +δ)(1+γ1+d +α)+E (0)[γ1(1+γ2+d +δ)+αγ2]+γ2I (0)(1+γ1+d +α)(1+d )(1+γ2+d +δ)(1+γ1+d +α)+βI (0)(γ2(1+d )+(1+d +δ)(1+d +α))>0,
E (1)=E (0)+βS (1)I (0)
1+γ1+d +α
ȡ0,
I (1)=(1+γ1+d +α)I (0)+αE (0)+αβS (1)I (0)
(1+γ2+d +δ)(1+γ1+d +α)
ȡ0.
ì
î
í类似的方法依次递推得，对于t >0有
S (t )>0,㊀E (t )ȡ0,㊀I (t )ȡ0.
这说明系统(2)的解(S (t ),E (t ),I (t ))是存在唯一的正解.
下面，给出有界性的证明.由模型(2)的第4式有宝船厂遗址公园
N (t +1)=
N (t )+A -δI (t +1)
1+d
,
利用放缩法可得
N (t )ɤ
N (0)+A (1+d )t
+A d ˑ1-1(1+d )t -1éë
ùû.对上式两边同时取上极限得
limsup t ң¥
N (t )ɤ
A d
.即模型(2)的任意解(S (t ),E (t ),I (t ))是一致有界的.证毕.
注1㊀定义如下集合
B =(S (t ),E (t ),I (t )):0<S (t )ɤA d ,0ɤE (t )ɤA d ,0ɤI (t )ɤA
d
{}
.
由引理1证明知，对于系统(2)，集合B 是一个正不变集.
引理2㊀(ⅰ)当R 0<1时，模型(2)有无病平衡点W
A d ,0,0æèö
ø
.
(ⅱ)当R 0>1时，模型(2)存在唯一的地方病平衡点W 1(S ∗,E ∗,I ∗).证明：由模型(2)可得
A -βS ∗I ∗-dS ∗+γ1E ∗+γ2I ∗
=0,βS ∗I ∗-(α+γ1+d )E ∗
=0,αE ∗-(δ+γ2+d )I ∗
=0.
ìîí(5)
显然，方程组(5)有一个解A d ,0,0æèöø.因此，当R 0<1时，模型(2)有一个无病平衡点W A d ,0,0æèö
ø
.由方程
组(5)中的第3式得
E ∗=
δ+γ2+d α
I ∗
，把E ∗代入方程组(5)的第2式得
3
07第6期
周㊀盼，等：离散SEIS 传染病模型动力学研究
S ∗=(α+γ1+d )(γ2+d +δ)
αβ
ʂ0.
将S ∗和E ∗代入方程组(5)的第1式得
I ∗=
d (γ1+d +α)(γ2+d +δ)(R 0-1)
αβd +δ()+dβ(γ2+d +δ)
.
因此，当R 0>1时，模型(2)存在唯一的地方病平衡点W 1(S ∗,E ∗,I ∗).证毕.对于模型(2)平衡点的稳定性，我们有下述结果:
定理1㊀对于模型(2)在初始条件(3)下，下述事实成立:
(ⅰ)若R 0<1，则无病平衡点W A d ,0,0æèö
ø是局部渐近稳定的;
(ⅱ)若R 0>1，则无病平衡点W A d ,0,0æèö
ø
简历自我评价精简是不稳定的.
证明：令X (t )=S (t )-A
d
,Y (t )=E (t ),Z (t )=I (t )，则模型(2)的线性化方程组如下:
X (t +1)-X (t )=-βA d
Z (t )-dX (t +1)+γ1Y (t +1)+γ2
Z (t +1),
Y (t +1)-Y (t )=βA d
Z (t )-(γ1
+d +α)Y (t +1),
Z (t +1)-Z (t )=αY (t +1)-(γ2+d +δ)Z (t +1).ìîí通过计算可得X (t +1)=
1
1+d X (t )+βA -(1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ)+γ1(1+γ2+d +δ)+γ2α[]+dγ2(1+γ1+d +α)d 1+d ()(1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ)Z (t )+㊀㊀
γ1(1+δ+γ2+d )+γ2α
1+d ()(1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ)
Y (t ),
Y (t +1)=
βA d (1+γ1+d +α)Z (t )+1
1+γ1+d +αY (t ),
Z (t +1)=11+γ2+d +δ+αβA d (1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ)æèöøZ (t )+α(1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ)Y (t ).
ì
î
í
上述线性化方程组的系数矩阵如下:
C =
1
1+d γ1(1+γ2+d +δ)+γ2α
1+d ()(1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ)
L
01
(1+γ1+d +α)
βA
d (1+γ1+d +α)
α
(1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ)
M
éë
ù
û
,
蛇盘疮吃什么药其中
L =
βA -(1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ)+γ1(1+γ2+d +δ)+γ2α[]+dγ2(1+γ1+d +α)
控制面板的作用是d 1+d ()(1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ)
,
M =11+γ2+d +δ+αβA
d (1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ).
则系数矩阵C 的特征方程为
φ(λ
)
λ2-11+δ+γ2+d +11+α+γ1+d +αβA d (1+α+γ1+d )(1+δ+γ2+d )æèöø
λ
+1(1+α+γ1+d )(1+δ+γ2+d )λ-11+d æè
ö
丁宁发球ø.
407北华大学学报(自然科学版)第21卷
令φ(λ)=0，得λ1=1
1+d
，并且λ2㊁λ3由f (λ
)
λ2-a 1λ+a 2=0
确定，其中
a 1=
11+γ2+d +δ+11+γ1+d +α+αβA
d (1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ)
,
a 2=1
(1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ).
由于
f (1)=1-a 1+a 2=d (γ1+d +α)(γ2+d +δ)(1-R 0)
d (1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ)
,
f (0)=a 2=
1
(1+γ1+d +α)(1+γ2+d +δ)
>0,
即当R 0<1时,f (1)>0，可知λ1<1,λ2<1,λ3<1，则无病平衡点W A d ,0,0æèö
ø
是局部渐近稳定
的；若R 0>1,λ2㊁λ3有一个值大于1，则无病平衡点W
A d ,0,0æèö
ø
是不稳定的.证毕.
由于系统(2)在地方病平衡点W 1(S ∗,E ∗,I ∗)处的线性化方程较为复杂，不便于理论计算，因此，下
面给出一个地方病平衡点W 1(S ∗,E ∗,I ∗)稳定性的猜想，并通过数值模拟验证猜想的正确性.
猜想1㊀
对于模型(2)，若R 0>1，则地方病平衡点W 1(S ∗,E ∗,I ∗)是局部渐近稳定的.
3㊀数值模拟
取参数A =4,β=0.8,γ1=0.225,d =0.5,δ=0.3,γ2=0.001,α=0.14.通过计算得到模型(2)的基本
再生数R 0=2.3304>1.因此，模型(2)存在唯一的地方病平衡点(S ∗,E ∗,I ∗)=(5.15,5.35,0.94)，由图
1可以看出W 1(S ∗,E ∗,I ∗)是局部渐近稳定的
.
图1
具有初始值(S (0),E (0),I (0))=(10,8,5),(4,15,17)和(1,1,1)的解轨线(S (t ),E (t ),I (t ))
Fig.1The trajectories of solution (S (t ),E (t ),I (t ))with initial values
(S (0),E (0),I (0))=(10,8,5),(4,15,17)and (1,1,1)
5
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