第36卷第1期2019年3月
经济数学
JOURNAL OF QUANTITATIVE ECONOMICS
Vol.36,No.1
Mar.2019
二维非稳态对流扩散边界控制问题的简化算法”
张国平，罗贤兵
（贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳550025）
摘要针对二维非稳态对流扩散边界控制问题计算量大的问题，提出了基于降阶模型的最优实时控制方法.利用POD（the Proper Orthogonal Decomposition）和奇异值分解以及Galerkin投够方法得到了
具有高精度离散形式的状态空间降阶模型.在所得的降阶状态空间模型中，利用离散时间线性二次调节
器方法设计出了最优控制器.对沆一扩散过程的控制模拟结果说明了所提方法的有效性和准确性.
关键词对流扩散边界控制问题；特征正交分解（POD）；奇异值分解；降维模型
中图分类号0242.1文献标识码A
大张声势A Reduced Algorithm for Two-Dimensional Unsteady
Convective-Diffusion Boundary Control Problems
ZHANG Guoping,LUO Xianbing
{School of Mathematics and Statistics,Guizhou University,Guiyang t Guizhou550025,China)
Abstract Boundary control of two-dimensional unsteady convection diffusion is a large-scale optimization problem,and an approach was prented for optimal control bad on reduced-order model,which was derived from a discrete-time low-order state-space model with high accuracy by using POD(the Proper Orthogonal Decomposition),singular value decomposition (SVD)and Galerkin projection.Optimal controllers were designed bad on the low-order state-space models using discrete-time linear quadratic regulator(LQR)techniques.The controlling simulation results in the convection-diffusion process illustrate the effectiveness and accuracy of the propod method.
Key words convection-diffusion boundary control problem；the Proper Orthogonal Decomposition(POD)；singular value decomposition；dimensionality reduction model
1引言
对流扩散方程所描述的最优控制问题山广泛应用于许多领域，如：大气污染控制问题，流体控制问题等，所以寻找稳定、高速实用的数值方法⑷，有着非常重要的实际意义.目前常用有限差分法⑷和有限元法⑷解决此类问题，然而一般情况下，大多数的差分格式和有限元格式计算量比较大，而且占用计算机内存多，特别是对于高阶的离散系统，其计算量将呈指数规律增长，计算成本将变得很大.因此，现在重要的问题是如何简化计算，减少计算时间和内存容量，并确保解具有足够的精确性.基于矩阵奇异值分解的特征正交方法（Proper Or
*收稿日期:2018-10-25
基金项目：国家自然科学基金项目资助（11461013）
作者简介：张国平（1994-），女，贵州遵义人•硕士研究生，研究方向：计算数学E-mail:zygpzhang®
92经济数学第36卷
thogonal Decomposition）能提供具有足够高精度而自由度又较小的低阶模型，简化计算，节省CPU和内存.
文中所介绍的特征正交分解方法旳主要是提供一种有效逼近大量数据的最优逼近方法，它的实质是在最小二乘意义下⑷找寻能代表已知数据的一组正交基.即一种求已知数据的最优逼近方法.此外，由于POD方法是在最小二乘意义下最优的，所以该方法有完全依赖数据而不对数据作任何先验假设的优点.在文献［7］中以对流-扩散-反应过程为例，设计了基于低阶模型的线性二次调节器的最优控制⑺，将离散空间模型的阶数大大地降低了，其仿真实现了最优反馈控制的实时应用，但是没有对二维对流扩散方程描述的系统实现最优控制.
本文将特征正交分解应用于二维非稳态对流扩散边界控制问题，在文献［7］的基础上将低阶模型与最优控制问题相结合提出了基于低阶模型的二维对流扩散边界控制问题.首先采用有限差分法计算出由瞬时对流扩散方程解集构成的瞬像（snapshots），再利用奇异值分解⑷和玖）D分解方法获得对流扩散瞬像的最优特征正交基，再与伽辽金投影方法结合将高阶的状态空间模型转化为精度较高的低阶模型，并结合线性二次调节器的最优控制方法，得出基于无约束的线性二次调节器的最优反馈控制的输入/输出.以二维对流扩散边界控制问题为例，结果表明在保证较高精度的优化结果的同时可大幅度提高求解速度.
2对流扩散最优控制模型降阶的算法
2.1最优控制问题描述
以二维对流扩散边界控制问题为例，考虑如下初边值问题：
dU.dU.dU rw’u./u
烹饪网帀+5+%矿D(狂+昕),
工€[0，兀];y E E[0,1],
y=0,17=u;y=兀，(7=0,(1)怎样跟女生聊天找话题
工=0，学=0或z=X，学=0,
dJC djC
、£=0,17=0.
式中2=0,U=“是输入变量，石=0是输出变量，“，5是反应器中流动速度，D为扩散系数.
在二维对流扩散方程条件下，目标函数丿有如下的最优控制问题描述
minj
U<1>
[y(t)—力了dt+
(2)
e2J［u（t）—U/J2dt.
其中J为最优控制的目标函数，力和吋分别为控制过程输出和输入的稳态值，e为过渡过程中控制动作的权重.
2.2对流扩散方程初边值问题的差分格式
为探讨其差分格式，将区间［0,k］等分为j等分，每一等分的长度为h，时间步长用r表示.网格点为（心，y,t”），召=ih,y,=jh,t…=nr,i,j= 1,2,,m-j-1,n=1,2,"'Nth=7t/m.
考虑最优控制问题（1）在"+1时刻的值，时间导数用向后差分格式，对流项采用迎风格式，扩散项采用中心差分格式.对式（1）离散整理得
U旷=A0U；+A i S h“+AQ?.屮+
+A4,（3）式中：
A。
A.
A2
a3
=1_丨5I+丨s I_4rD
_S_I S丨丄Dr
-一『~+刃
S—丨S丨丄Dr
r—+庐，
5+I5丨|Dr
r―2h—+庐’
S+I S I1Dr
r——十庐.
2h
令
x(.k)=(U f,2,U驚1.2，Uf,3,U<3，…,U：.3，匕昇1.3,…,Ui……,Uz.m,…，氏.”, B=\_At，儿，…，,0,…，0；…，0,…，0]t,
c=[0,0,…，1,0,0,…，1；…，0,0,…，1],
y(.k~)=U^i.j,j=2,3,…,m.
则式(3)可整理为如下的离散高阶模型：
皿+1)AxCk)+Bu(.k),英语论文网
j(^)=cx(k)(4)其中，
I A2
A4Ifn-i-1*•*•
J.J.Al卄1
-^m+1^^m+1+I/n+l
-
第1期张国平等：二维非稳态对流扩散边界控制问题的简化算法93
e k(m—1)(m+l)X(m—1)(m+1)
Ao+A3A i
a3A
。A\
••・A o4
A3A o+A]
e u(m+l)X(m4"l)
其中i”+i e卄"为单位矩阵.
2.3模型降阶
由以上有限差分方法计算所得的瞬像，可表示成（加一1）（/+1）Xd维矩阵U:
U<”-i><”+i>xa:=（"r U"2U"d）•（5）其中，
=（uy,2Uy,2…u昇i kUVjUy』…u昇1.3…5”…UM”）T,Z=1,2,…,d.
定义矩阵范数II•II z=sup I俨卜•则U
hHO H X II0
美女真写
的最优化问题为求①=9…,e八u
肚（m-1）（卄l）Xd，使得
八劲=||U-00T L7||2,2（6）取最小值.
其中，d《N，集合①={鸟，@,・••，◎}E 色（1>（卄”d定义为酎的所有标准正交基的集合.
对矩阵U（,”t心+"d作奇异值分解
⑻01
=ws"=w v T,w e
o o
R(m—l)(m+l)X(m—l)(m+l),ve ir"』其中w,v是正交矩阵,S>=diag{A1,A2,-,A>}e R;x>是对应于u的对角矩阵，且A t>A2>-^A;>0.由谱半径和II•II2“的关系知，若M<r，这里r为矩阵U的秩gS，则有以下等式成立：
入M+i=min||U—B||2,2=II U—U M II2,2«
rank(B)〈M
(7)
其中u M=，入=1,2,…,M）.血和（p,
i=1
分别为矩阵w和V的前M个列向量.
由式（6）和（7）可知，由B对U的最优表达是式（7）中定义的U M，则U m是在最优基中U的最优化表示.由特征向量的性质知，=W=（Q.@，…，物）（M《d）是最优化问题（6）的最优基.设U的d 个列向量“”，=d.定义投影算子P m：
P m（a1）=丫（¢,,/）0.
j=l
其中（•，•）表示向量的内积.由文献［5］有以下结果
II a1—P m3）||2M a/A（m+i>.（8）不等式（8）表明P M（a/）是a l的最优逼近，误差是
（M+1）■
以下将利用最优基构造简化差分格式.用伽辽
金投影方法将模型方程投影到P（）D基函数张成的降阶空间中，得到
xd）=®a4）,a仏）a©「乂仏）.（9）
将式（9）代入离散的高阶状态空间模型式（4），得到
@T®a（&+1）=0T A<Pa（^）+0r Bw（^）,
y（.k）=<xPa（^）,
其中，¢0=I，为单位矩阵，可得ad+1）=A”ad）+,y（人）=c’aQ）.（10）式中：A”==©TB.c”=c0.由式（1）知t=0,U=0，则通过迭代求解式（10）的M（M《（巾一1）（加+1））个方程便可得到a（kKk =1,2,…，N），利用最优基©可以得到方程（1）的近似解xd）~（Pa4）.此降维模型只需要求解十几个方程便可得到问题的近似解，而如果利用全阶模型，每次迭代需要求解（/»—1）（巾+1）个方程，从而降阶模型大大的降低了自由度，节省了计算机内存，加快了计算时间.
3求解最优控制问题
3.1全阶模型的最优控制
式（2）所描述的最优控制问题如果按照式（4）的离散化模型来表述，则可写为：
minj=£（事0?+沪血），
Q o
使得
+1）=Ax（k）+Bu（^）,y（.k）=cxCk）.
（11）假设（A,B）可控或可镇定,R为对称正定的常数阵,Q为对称正定的常数阵或为对称半正定常数阵，但（A，e.）可观测或可检测，式中，Q=ere.-要求寻找最优控制使最小.
对于上面的问题，
最优控制可以表示为
94经济数学第36卷
u(k')=—Lx(k),
式中.L为1X(m—1)(况+1)维的常数反馈增益阵，把时变阵换成常数阵，L可表示为
L=(K+B T KB)B T KA,K是由时间离散的黎卡提代数方程决定
-K+Q+A T KA-A t KB(R+
B T KB)'B T KB=0,
其中，2=C T C,H=£2,X=X—Xf,U=u—u f.
3.2降阶模型的最优控制
由上述全阶模型的无约束最优反馈控制问题可得，降阶模型的方程：
minj=^(a T Qa+u T Ru)；
«0
使得
a(.k+1)=Ard(k)+B r u(A),
$4)=cM")(12)基于线性二次调节器(LQR)的反馈控制器设计：
0⑷=-LaCk),L=CR+B^KB r Y'B^KA r,
其中,KK是由时间离散的黎卡提代数方程决定
-K+2+A；KA r-A；KB r(JR+
BjKBJ=0,
其中Q=c J cr,R=e2,a=a—a r.
4仿真结果
在MATLAB里编程进行仿真，所有计算均以内存8GB.CPU为3.60GH Z的计算机为平台.控制问题取反应器的浓度输出从稳态0.05过渡到稳态0.45，反应器中流动速度为s=也=0.8，扩散系数D为0.01,m=50,A j:==0.06284,AZ= 0.01.
在开环仿真(“(z)三o.l)中，用上述给出的参数，浓度的时空分布如图1所示.浓度在空间和时间上单调增加，浓度需要一段时间才能达到稳态值.当“=“/=0.1时开环控制的全阶模型的最优输出与降阶模型的最优输出如图2所示.可以得出它们的控制效果相同.
当不确定权值R分别取0.05,0.6,1时，闭环仿真所对应的最优输入如图3所示，与图3所对应的输出如图4所示，当R相同时，全阶模型(即式(11)的控制律)和降阶模型(即式(12)的控制律)的最优输入以及相对应的输出图像是完全重合的，可以得到，当控制权值R—样时，高阶模型与低阶模型控制效果相同；R越大，输入的调节值«(i)越小，输出的超调量y(t)越小，反之，越大；采用全阶模型和降阶模型的最优控制CPU耗时如表1所示，可知，在控制效果相同时，降阶模型很大程度上节省了计算时间；并与u=u f时的开环控制比较，闭环的最优反馈控制的快速性、精确性和稳定性更好.
图2开环全阶降阶最优输出图
图3
无约束过渡过程的最优输入
第1期
张国平等：二维非稳态对流扩散边界控制问题的简化算法95
打工不容易表1
R
全阶模型（〃s ）
降阶模型（r/s ）
0. 05309& 8 1.46340.6
4060.5
1.59871298& 4
1.3955
开环0.526920.054582
0.45
边的笔顺参考文献
0.35
0.30
0.200.15
0.100.05
評5
0.40100120
cad一键标注open loop control
--------LQR,r=2499,R=0.05★ LQR.r=13.R=0.05-------LQR.r=2499.R=0.6• LQR,n=13.R=0.6-----LQR.r=2499.R=1
LQR,r=13,R=1
图4 无约束过渡过程的最优输出
5结论
本文应用POD 方法提出了基于低阶模型的对
流扩散最优控制问题，基于该方法，从两个层次上
提高了计算和优化的效率，从以上仿真可以看出，
全阶模型在每个时间步上需要求解2499个方程, 但降阶模型在每个时间步上只需要求解13个方程，
而且，当空间步长变小时，全阶模型在每个时间步
上需要解的方程的个数将会增多，而降阶模型在每
个时间步上还只是求解13个方程，不但解决了对
流扩散离散系统计算量大的问题，并节省了计算机 内存和计算时间.在最优反馈控制中，基于高阶模 型的状态空间模型设计，所需要的计算内存和时间
都比较多，相对于低阶模型所需要的计算时间就要 少得多，且基于高、低阶模型具有相同的控制效果. 这些都体现了降阶模型的有效性和高效性.
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