资金管理的数学：博弈v.s.交易
文/By:牧清华
我陆续介绍Vince的最佳化比例 (Optimal f)、槓杆空间模型 (Leverage Space Model, LSM)...等较多数学内容的文章，这些模型，无非都在讲一件事：
礼貌问候语
发展交易策略的本质，就是机率与赔率所衍生的各种变化，决定下注比例 f。
由于之前以介绍过这些理论，现在我们可以把"这件事"说得更清楚点。
博弈的本质：固定机率、固定赔率
博弈本质很简单，以轮盘比大小为例，就是18/37的胜率，1的赔率(输1枚 or 赢1 1= 2枚)。
注意到18/37是因为共有37个数字(0,1~18,19~36)。以机率而言，平均37次会出现18次小，18次大。但这不是绝对，会有误差。根据二项式分配其实误差还不小，只是随着下注次数越来越多，输赢的比率越会接近18/37，这是统计学的大数法则告诉我们的。
然而，胜率18/37并不代表每玩37次就会赢18次。我们可以做个模拟，玩轮盘1000次，每100次计算一次胜率，则某一次模拟的胜率曲线变化如下：
可观察到1000次的轮盘赌局裡，每37笔观察一次胜率，曾经有胜率低到20%以下，也有胜
率高达60%以上。
为了方便说明，我们拿铜板赌局为例：假设胜率50%，赔率为2的赌局。这样的赌局就像一个盒子裡装有两颗球，一颗是-1，一颗是 2，而铜板赌局每次的损益都是从这盒子裡抽出这两颗球。
(-1,2) => 取样
(-1,2) => 取样
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话筒支架(-1,2) => 取样
清蒸桂鱼(-1,2) => 取样
我们可以说，(-1,2)就是这个博奕游戏"唯一"的损益分佈，即使实务上胜率的呈现可能有很大的范围变化 (例如上例20%~60%)，但机率分佈就是固定的，已轮盘来说固定的损益分佈就是
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(18个1，19个-1) or 写成
(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)
注意到上面的1和-1的排列顺序无关，盒子裡的球是乱的，所以就是18/37的机率会抽到1，19/37的机率会抽到-1。
悉尼气候
也是因为有固定的损益分佈，所以Kelly可以用"固定的"下注比例让资产成长最大化。可惜，这样的手法，在交易上就没这么美妙，而Ralph Vince就试图解决这个问题。
交易策略的损益分佈，存在与否都是个问题!?
对一个交易策略来说，它在某段时间的损益是很多不同的正负数字所组成的，不像赌局只有一个正数跟一个负数。下面是某一个策略的前100笔损益。基本上这样观察很难看出任何规则，更不用说是否存在着损益分佈!?
但Ralph Vince试图这样去分析：
把这个策略最初的100笔损益数字(如上图)，看做是100颗球放在一个盒子裡。而这策略未来的损益分佈，就是从这100颗球裡抽取抽来。
如果真是这样，那么就存在最佳下注比例方式，也就是Ralph Vince所发展的Optimal f计算，细节请参考Here!
Ralph Vince的做法已经将Kelly公式更贴近交易的损益分佈，但我想敏锐的读者必定已经察觉，这样的做法只是比赌局的损益更接近交易的损益，与实际还是有段距离。
一个策略的损益分佈，肯定不具有固定的胜率与赔率，也就是整个市场的价格行为会随着时空环境不同而有所改变，连带着影响策略所衍生出的损益分佈。
而这也正是Kelly或是Optimal f下注方法最为人所诟病的地方。一旦拿过去的损益分佈当做未来损益分佈的样本。如果预估正确那很好；如果预估不正确，那Optimal f下注方式往往会造成过大的资金比例下注，而造成一次性的巨大损失。
也正因如此，随后陆续有人提出各种资金管理方法。
1. 固定分数法(Fixed Fraction)：这也是最基本的管控办法，将每次可容忍的风险比例固定(例如总资金的5%)，再除上策略的最大损失去计算每次的交易口数。
2. 固定资金比例(Fixed Ratio)法：Ryan Jone 于1999年提出，有兴趣的读者可参考Trading Game这本书!
3. 安全f值法(Secure Fraction)：由 Leo J. Zamansky于1998年所提出，可参考link。
4. 变动比例法：也就是着名的资金管理大师 Van Tharp博士所提出R-multiple概念，其着作Definite Guide to Position Sizing更是Position Sizing必读的经典。周郑
当然，也有人将上述不同的资金管理办法做各种组合，例如结合固定分数与固定比例(link)。
各家的资金管理方法百花争鸣，各有巧妙；就像武林上各家门派，各种武功，互有长短。
但无论如何，都是为了交易策略胜率与赔率的"不确定性" (或着说策略的稳固性) 因应而生。所有的资金管理办法，都在试图降低策略机率与损益的不确定性，拉高策略损益分布的稳固性。
如果交易策略损益分布是稳固的，那数学公式就可最佳化；但通常绩效都不够稳固，所以也有人针对策略绩效指标做研究，例如MAR指数改写成更稳固的4R指数(Robust Risk/Reward Ratio)、或用固定的加码策略看能否拉高风报比去衡量(语亭大最推荐)。
因次我们做个小结论：
如果你对策略的胜率赔率很有把握，例如在某个信心水准之上，那无疑地用Vince's Optimal f方法，会是最好的选择。对赌局来说就是如此，长期下来有"绝对把握"的胜率跟赔率，造就了凯利赌徒(Kelly Trader)。
可是如果你用的交易策略损益分布，不稳固性很大，那你要用更保守的资金管理办法去执行。
即使是Vince本人，也下这样的结论：『如果你想长期交易，就需要使用一种更加谨慎、风险更小的资金管理办法；而如果你只想大赚一笔，使用凯利公式或是最佳化f去执行。』
话说，也正是因为有"不稳固性"这种变数，交易才如此迷人；不然，就只是一个具有正期望值的传统赌局，没啥挑战!!
张惠妹
