习题二
2.1某人根据医嘱，每天需补充A、B羊绒衫加盟、C三种营养，A不少于80单位，B不少于150单位, C不少于180单位.此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分. 已知六种食物每百克
的营养成分含量及食物价格如表 2-22所示.（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费
最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有
A , B, C三种营养成分•试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂 商能获得最大利益，建立数学模型.
表 2-22
含量 营养成分 | 食物 | | *■ | * | 四 | 五 | 六 | 需要量 |
A | 13 | 25 | 炸河虾14 | 40 | 8 | 11 | > 80 |
B | 24 | 9 | 30 | 25 | 12 | 15 | > 150 |
C | 18 | 7 | 21 | 34 | 10 | 0 | > 180 |
食物单价（元/100g） | 0.5 | 0.4 | 0.8 | 0.9 | 0.3 | 0.2 | |
| | | | | | | | |
【解】（1）设Xj为每天第j种食物的用量，数学模型为
min Z = 0 5jl + Mx2 + 0 8z5 + 0 9巧 + 0 + 0 2^e
13xj +25xa +14 也 +4Q码 + 8码 +llx6 >80
24咼十 + 30z3 + 25z4 +12心十 15x6 > 150
1 跖 +7xa + 21x3 +34x4 +10巧 > 180
町、孟旷毛、兀r >0
(2)设，y为第i种单位营养的价格，则数学模型为
max w = SOjj 4-150y3 +180y5
13^+2472+18^ <0.5
25^+9^+?^ <0.4
14” +30兀 +21 乃 <0.8
=40^ + 25^+ 34y3 <0.9
8^+12^2 +10乃 <0.3
llyL + 15j5+ ^0.2
必必小工°
2. 2写出下列线性规划的对偶问题
min xv - 9” +6儿-纨+切 +10兀
划1 + 6旳-些+凡+旳之弋
职业生涯发展规划-2y^2y3 = 3
7i + »2—丹=6
_6”-旳+ 2乃二-7
对偶问题为：
2. 3考虑线性规划
nun Z 二 12五 +20x2
鼻1 + 4冷工4
Xj + 5xa > 2
2西 +3xa > 7
血,xa > 0
(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；
⑵通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解; ⑶利用公式C农村景色bB「1求原问题的最优解；
(4)利用互补松弛条件求原问题的最优解.
【解】(1)原问题的对偶问题为
”无约東：儿刘，>0,几兰6 ^>0不计其数的反义词max vp = 4y14- 2y2 + 7”乃+乃+ 2乃兰12
空伽+ 5旳+3必乞20
[yj^Qj = 12,3
容易看出原问题和对偶问题都有可行解，女口 X = (2, 1)、Y = (1 , 0, 1)，由定理2.4知都有
最优解。
(2)对偶问题最优单纯形表为
C(j) | 4 | 2 | 7 | 0 | 0 | R. H. S. |
Basis | C(i) | y1 | y2 | A | y4 | y5 |
y3 | 7 | 0 | -1/5 | 1 | 4/5 | -1/5 | 28/5 |
y1 | 4 | 1 | 7/5 | 0 | -3/5 | 2/5 | 4/5 |
C(j)-Z(j) | 0 | -11/5 | 0 | -16/5 | -1/5 | w=42.4 |
| | | | | | | |
对偶问题的最优解 Y = (4/5,0,28/5)赵州桥的简介，由定理2.6，原问题的最优解为 X=(16/5 ,1/5), Z= 42.4
(4)由y1、y不等于零知原问题第
三个约束是紧的，解等式珂+4有三秋桂子亏=4
2x} + 3x2 =7
得到原问题的最优解为 X=(16/5 , 1/5)。
2. firstjob4证明下列线性规划问题无最优解
min Z = xL - 2x2 - 2x3
2码+冷一 2心=3
< Jr】-2 勺 + 3x3 > 2 01內>0,^无约東
证明：首先看到该问题存在可行解，例如 x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为
max神=物+6
2^+^2<1
-2” +3y2 = -2
K之0 J无约東
由约束条件①②知 y1 < 0,由约束条件③当y2> 0知y1> 1，对偶问题无可行解，因此原问题 也无最优解(无界解)。
2. 5已知线性规划
+ 5x2 + 码 <5
5旺+ 6心+西兰6 3&+10光+忌三7 內2 0,花2 Q西无约東
