高中数学
专题12平面几何真题汇编与预赛典型例题
1．设等边△ABC的内切圆半径为2、圆心为I.若点P满足PI＝1，则△APB与△APC的面积之比的最大值为_________.
【答案】
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【解析】
如图所示，由PI＝1，知点P在单位圆上.
设∠BAP＝α.在上取一点，使得α取到最大值，此时，点应落在∠IAC内，且其为的切点.
由于，故，
， ①
其中，梦见被打.
由，知.
于是，.
故 ②
据式①、②知当P与重合时，的最大值为.2．如图，△ABC为锐角三角形，AB<AC，M为BC边的中点，点D和E分别为△ABC明天有什么考试的外接圆弧BAC产品设计大赛和弧BC的中点，F为△ABC的内切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NB⊥AB.
求证：若BN=EM表姐堂姐，则DF⊥FG.(答题时请将图画在答卷纸上)
【答案】证明见解析
【解析】由条件知，DE为△ABC外接圆的直径，DE⊥BC于M，AE⊥AD.
记I为△ABC的内心，则I在AE上，IF⊥AB.
由NB⊥AB可知：
∠NBE=∠ABE-∠ABN=(180°-∠ADE)-90°=90°-∠ADE=∠MEI.①
又根据内心的性质，有:
∠EBI=∠EBC+∠CBI=∠EAC+∠ABI=∠EAB+∠ABI=∠EIB，从而BE=EI.
结合BN=EM及①知，.
于是∠EMI=∠BNE=90°+∠BFE=180°-∠EFI，故E，F，I，M四点共圆.
进而可知∠AFM=90°+∠IFM=90°+∠IEM=∠AGM，从而A，F，G，M四点共圆。
再由∠DAG=∠DMG=90°知，A，G，M，D四点共圆，所以A，F，G，M，D按摩乳房五点共圆.
从而∠DFG=∠DAG=90°，即DF⊥FG.3．如图,在△ABC中,AB=AC,I为△ABC的内心。以AB为半径作,以IB为半径作,过点B、I的圆分别交于点P、Q(不同于点B).设IP与BQ交于点R.证明:.
【答案】见解析
【解析】
连结IB、IC、IQ、PB、PC.
由于点Q在上，故.
又四点共圆，则
故。
注意到，，且I为的内心。则
于是
又点P在的弧笔记本电脑怎么调亮度上，从而，
.
因此，。4．如图，在中，X、Y为直线BC上两点(X、B、C、Y顺次排列)，使得.设的外心分别为，直线与AB、AC分别交于点U、V.证明：为等腰三角形.
【答案】见解析
【解析】
证法1 如图所示，作的平分线，与BC交于点P.设的外接圆分别为胆固醇高吃什么好.
由内角平分线的性质知.
由条件得.
故
.
则点P对的幂相等.从而，点P在圆的根轴上.
于是，.这表明，点U、V关于直线AP对称.
因此，为等腰三角形.
