實驗：亥姆霍茲線圈磁場(Magnetic fields of Helmholtz coil)
編者：國立清華大學物理系戴明鳳
編撰日期：99年01月20日
一、目的：
環形亥姆霍茲線圈對(Helmholtz coil pair)和螺旋線圈(solenoidal coil；又稱螺線管)常被用以提供實驗時所需的均勻磁場，本實驗探討環形亥姆霍茲線圈所產生的磁場在空間中的分佈和均勻度變化。
二、原理：
1. 何謂亥姆霍茲線圈？
亥姆霍茲線圈是為紀念德國物理學家赫門⋅梵⋅亥姆霍茲(Hermann von Helmholtz)而得名，亥姆霍茲線圈的基本結構如圖1所示，是由兩個結構、大小完全相同的環形線圈組合而成，兩線圈以共軸方式配對架設，並使兩線圈之中心點間的距離等於環形線圈的半徑R 。線圏內通入相同方向、相同大小的電流；如此可使兩環形線圈的中間區域內，獲得均勻的磁場(以下簡稱均場)。因由雙線圈所組成，故也稱為亥姆霍茲線圈對。
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平静的歌亥姆霍茲線圈(對)的結構要求：
1.兩個完全相同的環形線圈(線圈半徑
為R)
2.通過線圈圓心的兩垂直中心軸共軸
3.兩線圈的中心點距離＝線圈半徑，
可使磁場的不均勻度最小。
圖1 亥姆霍茲線圈對(Helmholtz coil pair)的結構圖，由兩個完全相同的環形磁性線圈共軸且對稱地座落在實驗空間的左右兩側，並使兩線圈之中心點間的距離等於環形線圈的半徑R 。
以下簡單探討單一線圈和雙線圈組所產生的磁場強度在空間中的變化。
2. 繞有N圈回路的單一場線圈
如圖2所示，對於由N圈回路線圈纏繞成半徑為R 的單一場線圈，在通過線圈中心之垂直軸上的磁場(on-axial magnetic field)為
x R x NIR B
2
32
2
2
0)
(2+=
μ (1)
上式中μ0 = 4π⨯10-7 T ⋅m/A = 1.26⨯10-6 T ⋅m/A 為真空或自由空間的導磁係數(permeability)， I 為線圈中流通的電流(以安培，A ，為單位)，x 為距線圈中心之垂直
距離(以公尺為單位)，ˆx
為軸向的單位向量。
圖2 半徑為R 的單一線圈
2. 環形亥姆霍茲線圈-雙個場線圈的組合體
如圖3，兩線圈以共軸方式組合後，則在軸向的磁場為來自每一線圈之個別磁場的總合。設兩線圈的中心點為原點(x = 0)，則在其軸線上，距原點 x 的軸向磁場大小為 x R x d NIR x R x d NIR B B B
23
清炖甲鱼汤222023222021)2(2)2(2⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=μμ
(a) (b)
圖3 (a)兩場線圈面對面平行架設，線圈兩中心點相距任意距離d 。(b)亥姆霍茲線圈示意
圖，特指兩線圈的兩中心點距離等於線圈半徑(即d = R )的雙線圈組合體。
春天你好
若兩線圈分開的距離 d 與線圈的半徑 R 相同時，稱之為亥姆霍茲線圈(對)，即如圖3(b)所示。此組合則可提供一均勻磁場的空間，即在兩線圈間的空間會產生一近似均勻的磁場。而在兩線圈中間處， x = 0，的磁場為
x R
NI B 12580μ=
亥姆霍茲線圈兩線圈中心空間處的磁場分佈有最佳的均勻度(即d2B/dx2 = 0，d2B/dx2可作為磁場強度在x方向不均勻度的指標)；但卻會使中心處和在線圈面上的磁場強度有約為6%的變化量(可經由測量d2B/dx2值而得)。若使d 略大於R 一些，雖可減低線圈面和兩線圈中心處之磁場強度的差異，但卻會使得中心區域附近之磁場強度的均勻度變差。見圖4和圖5所示。若擬推導磁場在空間中每一位置的函數變化關係，其理論計算過程是相當複雜，且必需使用到特殊函數--Besl 函數，此推導超過大一學生的數學能力。
是这样吗圖4 單線圈與Helmholtz線圈x軸磁場分布圖。
圖5 The magnitude of the magnetic field near the coil pair. Inside the central 'octopus' the field is within 1% of its central value B0. The five contours are for field magnitudes of 0.5B0, 0.8B0, 0.9B0, 0.95B0, and 0.99B0. (Taken from Wikipedia)
故當實驗中需要均勻磁場時，常使用環形亥姆霍茲線圈對提供實驗所需的均勻磁場。
在某些不希望地磁存在的情況下，也常運用此線圈所產生的磁場強度來抵消地磁，以提供一個磁場強度幾乎趨近零的空間。
3. 反亥姆霍茲線圈(Anti-Helmholtz coil)
將亥姆霍茲線圈兩線圈的電流反向，即成為反亥姆霍茲線圈，如圖6所示，其產生的磁場在兩線圈中間處為零，且對稱軸上磁場具有0.858 0I/a2的線性梯度。在冷原子的實驗中經常利用反亥姆霍茲線圈來產生磁光陷阱(MOT; magneto-optic trap)所需要的磁場分布，有興趣的同學可以參考物理系余怡德教授網頁。
圖6 反亥姆霍茲線圈(Anti-Helmholtz coil)
三、儀器
線圈基座、場線圈x(2)、主線圈、次線圈、跳線、齒條軌道座、小型基座、支撐桿x(2)、直流電源供應器、數位萬用電表、磁場感應器、轉動感應器、GLX手上型電腦。
本實驗所使用的兩個場線圈之N= 200圈，R= 10.5 cm。
四、實驗步驟
(1) 單一線圈的磁場測量
1.如圖7所示，將一個場線圈固定在線圈基座上。數位電表設在10 A的直流電流檔，並
將之與電源供應器的電流輸出端及線圈的兩電流輸入端，以串聯方式連接在一起(不經過線圈內部電阻)。以數位電表測量通過線圈的電流量。
A
世界和平日
+-
(a)示意圖(b) 儀器架設
圖7 單一線圈磁場測量的儀器架構圖：(a)示意圖和(b)儀器架設
2.如圖7 (b)所示，將磁場感應器與轉動感應器架設在齒條軌道座上，並使用支撐桿將
軌道固定在支架上。調整支撐桿的高度與位置，以使磁場感應器可水平地沿著通過線圈中心且垂直線圈面的中心軸前後移動。
3.將磁場感應器的輸出信號接到GLX電腦的端點1，轉動感應器的輸出信號接到端點
2。
猪男和什么属相最配4.根據表1，設定GLX電腦內讀取磁場和轉動感應器所需的參數。並設定圖表的X軸之
軸標為線位置(單位為公尺, m)，Y軸的軸標(Label)則為軸向磁場(單位為高斯，G) 表1 GLX電腦讀取轉動感應器和磁場感應器所需的參數設定
5.先將磁場感應器放置在距線圈中心大約5 cm處，按下感應器的TARE鍵。
6.開啟直流電源供應器，調整適當的端電壓，以使電源供應器可輸出固定電流到場線
圈內。場線圈可容許的最大電流量不得超過2 A，否則會燒毀線圈。
7.調整電源供應器的定電流輸出至約0.8 A，以數位電表讀取準確的電流值，並記錄
電流值。關掉直流電源供應器的開關。
8.開啟直流電源供應器，按下開始/結束按鈕，啟動磁場感測器記錄數據。
9.慢慢地移動感應器，使穿過線圈至離線圈中心約5 cm處，按下開始/結束按鈕，關
掉直流電源供應器的開關。
10.按F1/自動比例鍵。
个人买卖房屋协议11.按F3/工具>座標工具。按<；鍵或>鍵或使用游標去量測圖表上最高峰值及左右各適當
間隔兩點的位置及磁場數值，紀錄一系列的位置x與對應磁場B(x)的實驗數據組，建
