9.2 课后习题详解
一、问答题
1. 列出影响期权价格的6个因素。
List the six factors affecting stock option prices.
答：影响股票期权价格的六个因素是：当前股票价格、执行价格、无风险利率、波动率、期权期限和股息。具体可参见本章复习笔记。
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2. 一个无股息股票的看涨期权的期限为4个月，执行价格为25美元，股票的当前价格为28美元，无风险利率为每年8％，期权的下限为多少?
What is a lower bound for the price of a four-month call option on a non-dividend-paying stock when the stock price is $28, the strike price is $25, and the risk-free interest rate is 8% per annum?
答：根据无股息股票的看涨期权价格下限的公式：S0－Ke-rT。
，K=25，r=8%，T=0.3333，则：
其中，S0=28
3. 一个无股息股票的看跌期权的期限为1个月，执行价格为15美元，当前股票价格为12美元，无风险利率为每年6％时，期权的下限为多少?
What is a lower bound for the price of a one-month European put option on a non-dividend-paying stock when the stock price is $12, the strike price is $15, and the risk-free interest rate is 6% per annum?
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答：根据无股息股票的看跌期权价格下限的公式：Ke-rT－S0。
K=15，r=6%，T=0.08333，则：
其中，S0=12，
4. 列举两个原因来说明为什么无股息股票的美式看涨期权不应被提前行使。第一个原
因应涉及货币时间价值；第二个原因在利率为0时也应成立。
Give two reasons why the early exerci of an American call option on a non-
dividend-paying stock is not optimal. The first reason should involve the time
value of money. The cond reason should apply even if interest rates are zero.
答：原因如下：
（1）推迟执行期权可以推迟对执行价格的支付，这意味着期权持有者可以在更长的
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时间内获取执行价格带来的利息。
（2）推迟执行期权还可以为防止到期日时股票价格跌至执行价格之下提供保险。
例如，假设期权持有者拥有数量为K的现金且利率为零，提前执行意味着到期日时期权持有者的头寸价值为S T，而推迟执行期权意味着期权持有者的头寸在到期日的价值为max(K，S T)。
具体可参见本章复习笔记。
5. “提前行使美式看跌期权是在货币的时间价值与看跌期权的保险价值之间的权衡”，
解释这一观点。
“The early exerci of an American put is a tradeoff between the time value
of money and the insurance value of a put." Explain this statement.
答：（1）当同时持有美式看跌期权和标的股票时，美式看跌期权提供了一份保险。它保证股票可以以执行价格K出售。即如果股票价格下跌到K以下，期权买方有权以价格K将股票出售给期权卖方；如果股票价格上升到K以上，期权买方可以选择不执行期权，损失为期权费。
（2）但是，如果看跌期权被提前执行，这一保险就失效了。期权持有者可以立刻获得执行价格，并可以赚取自执行期权之刻起到期权到期日为止之间的利息。
投资者需权衡货币的时间价值和期权的保险价值来做出是否提前执行期权的决策。
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6.解释为什么一个支付股息股票美式看涨期权的价值至少等于其内在价值。这对欧式看涨期权也成立吗?解释你的答案。
Explain why an American call option is always worth at least as much as its intrinsic value. Is the same true of a European call option? Explain your answer.
答：（1）原因如下：
①美式看涨期权可以在任何时刻被执行。如果它被执行了，持有者可以获得内在价值。
②美式看涨期权赋予了投资者选择的权利，投资者可以选择等待，而等待是有价值的。
由此可以知道美式看涨期权的价值必定不低于其内在价值。
（2）欧式看涨期权的价值可能会低于其内在价值。例如，一只股票将在期权有效期内发放高额股息，由于股息的影响，股票价格将下跌。而欧式期权只能在股息发放后执行，其价值就可能低于当前其内在价值。
7. 一个无股息的股票的价格为19美元，这一股票上一个3个月期的欧式看涨期权的执行价格为20美元，期权的价格为1美元，无风险利率为每年4％，这个股票上3个月期限执行价格为20美元的看跌期权价格为多少?
The price of a non-dividend paying stock is $19 and the price of a three-month European call option on the stock with a strike price of $20 is $1. The risk-free rate is 4% per annum. What is the price of a three-month European put option with a strike price of $20?
时薪怎么算答：本题中，c =1，T =0.25，S 0=19
，K
=20及r =0.04，根据看跌-看涨平价关系式，有：
可得：
所以，欧式看跌期权价格为1.80美元。
8. 解释为什么对于欧式期权看跌一看涨平价关系的讨论对于美式期权不适用。
Explain why the arguments leading to put-call parity for European options cannot be ud to give a similar result for American options.
答：原因如下：
（1）当期权不能提前执行，在时间T ，价值相同的两个资产组合在较早的时候的价值也是相同的。这是看涨看跌期权平价关系建立的基础。欧式期权正是属于这种情况，如果不符合平价关系，套利行为会使该关系重新成立。
（2）当期权提前执行是可能的时候，该结论不成立。这是因为即使假定
P＋S>C＋Ke－rT，也不一定会出现套利机会。虽然投资者可以买入看涨期权，卖空看跌期权，并且卖空股票，由于不能确定看跌是否会得到执行，投资者无法确定结果。套利行为不能使期权价格回归平价关系。
9. 一个无股息股票的欧式看涨期权的期限为6个月，执行价格为75美元，股票当前价格为80美元，无风险利率为每年10％时，期权价格的下限为多少?
What is a lower bound for the price of a six-month call option on a non-dividend-paying stock when the stock price is $80, the strike price is $75, and the risk-free interest rate is 10% per annum?
答：根据无股息股票的看涨期权价格下限的公式：S0－Ke-rT。
其中，S0=80，K=75，r=10%，T=0.5，则：
80-75e-0.1×0.5=8.66(美元)
所以，该看涨期权的价格下限是8.66美元。
10. 一个无股息股票上欧式看跌期权的期限为2个月，执行价格为65美元，股票当前价格为58美元，无风险利率为每年5％时，期权价格的下限为多少?
What is a lower bound for the price of a two-month European put option on a non-dividend-paying stock when the stock price is $58, the strike price is $65, and the risk-free interest rate is 5% per annum？
答：根据无股息股票的欧式看跌期权价格下限的公式：Ke-rT－S0。
其中，S0=58，K=65，r=5%，T=0.1667，则：
65e-0.05×2／12-58=6.46(美元)
地球的奥秘所以，该看跌期权的价格下限是6.46美元。
三九天11. 一个期限为4个月，支付股息的股票的欧式看涨期权的价格为5美元，期权执行价格为60美元，股票当前价格为64美元，股票预计在一个月时将支付0.8美元的股息，对于所有期限的无风险利率均为12％，这时对于套利者而言存在什么样的套利机会?
A four-month European call option on a dividend-paying stock is currently lling for $5. The stock price is $64, the strike price is $60, and a dividend of $0.80 is expected in one month. The risk-free interest rate is 12% per annum for all maturities. What opportunities are there for an arbitrageur?
答：执行价格的现值为60e-0.12×4/12=57.65(美元)。股息的现值为0.80e-
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0.12×1/12=0.79(美元)。因为5<64-57.65-0.79，所以并不满足式(9.5)。套利者应该买入期权同时做空股票，此时获得64-5=59(美元)。套利者将其中的0.79美元以12％的利率投资1个月，于1个月后偿还0.80美元的股息。剩余的58.21美元以12％的利率投资4个月。这样不管发生什么都可以实现利润。
如果在4个月后股票价格低于60美元，套利者损失了5美元的期权费但股票的空头头寸却是获利的。当股票价格为64美元时，套利者卖空股票同时须偿还的股息现值为0.79美元。当股票价格小于等于60美元时，套利者平掉其持有的股票空头头寸。因为60美元的现值是57.65美元，因此以现值形式表示，空头头寸至少可获利64-57.65-
0.79=5.56(美元)。从而套利者盈利的现值至少为5.56-5.00=0.56(美元)。
如果在期权到期时股票价格大于60美元，期权将被执行。套利者在4个月后以60美元价格买入股票并平掉其空头头寸。购买股票所支付60美元的现值为57.65美元，同样
