旋转的描述【2】——等效旋转⽮量与四元数
⽬录
1. 定义
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欧拉旋转定理（Euler’s rotation theorem）表明，刚体（可视为直⾓坐标系）从⼀个⾓位置到另⼀个⾓位置的任意转动总能够等效于绕⼀固定轴的⼀次转动，当这⼀固定轴⽅向⽤单位⽮量表⽰时，转⾓与的乘机即为等效旋转⽮量，并且有和。
担保投资 四元数就是由四个元素构成的⼀种数，⼀般形式为
其中，都是实数，称为实部，称为虚部。可以观察到，当为0时，四元数退化为我们熟悉的复数，因此四元数也可视为复数的扩展，可称之为超复数。因四元数的虚部单位⽮量满⾜叉乘运算特点，例如其中表⽰四元数乘法），故可将四元数的叙述部分看成在三维空间的映像，反之，⼀个三维⽮量可以看作是零标量的四元数（此处的转化很关键）。
2. 推导
推导部分需要介绍等效旋转⽮量如何⽤来表⽰旋转，还会介绍罗德⾥格公式中的转化矩阵与⽅向余弦矩阵的关系，最后会介绍等效旋转⽮量和四元数的关系。
2.1. 等效旋转⽮量表⽰旋转——罗德⾥格公式
虽然严⽼师和秦⽼师推导罗德⾥格公式时都⽤了相似的图，过程也⽐较简洁，但不太好理解。于是我找来⽹上的图，看起来更直观些。 如图所⽰，⽮量绕着单位⽮量旋转了⾓，得到新的⽮量。容易知道，旋转后⽮量的模值保持不变，即。并且平⾏于⽮量的分量不变，只是垂直于⽮量的分量发⽣了旋转。
(1) 图中的三个公式⽐较容易得到，看图即可得到。值得⼀提的是，⽮量，和都在同⼀平⾯内。并且根据⽮量叉乘的定义以及为单位⽮量，容易证明有，即下⾯的圈是个圆。
(2) 将投影到和两个⽅向，结合前⾯⼏个模值相等的⽮量，有
(3) 因此有
u ϕu Φ=ϕu ϕ=Φ∣∣u =Φ/ϕQ =q +0q =v q +0q i +1q j +2q k
3q ,q ,q ,q 0123q 0q =v q i +1q j +2q k 3q ,q 23i ∘j =k （∘V k θV rot v V =∥rot ∥V ∥∥k V =∥rot V ∥k V ⊥k V V ⊥k V =∥⊥∥V =∥⊥rot ∥k ×V =∥∥k ×(k ×V )∥∥V ⊥rot V ⊥k ×v V =⊥rot V cosθ+⊥(k ×v )sinθ(1)
V rot =V +V ∥rot ⊥rot
=V +V cosθ+(k ×V )sinθ
∥⊥=k (k ⋅V )+(V −k (k ⋅V ))cosθ+k ×V sinθ
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=V cosθ+(1−cosθ)k (k ⋅V )+k ×V sinθ(2)
(4) 根据三重⽮量叉积公式，
令，，将其代⼊叉积公式 有
老西街其中，表⽰⽮量k构造的反对称阵。
(5) 将式代⼊式得
将上式中记为，则式可写为
如此便证明了罗德⾥格公式，通过此公式可以利⽤⼀个单位⽮量表⽰旋转⽅向，加上旋转⾓度就能描述空间中的刚体（直⾓坐标系）旋转。等效旋转⽮量与⽅向余弦矩阵有什么关系呢？
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2.2. 等效旋转⽮量与⽅向余弦矩阵的关系
=V cosθ+(1−cosθ)k (k ⋅V )+k ×V sinθ
=(cosθ⋅I +sinθ⋅k ×)V +(1−cosθ)k (k ⋅V )
(2)
V ×1(V ×2V )=3V (V ⋅21V )−3V (V ⋅31V )2V =1V =2k V =3V k (k ⋅V )=[I +(k ×)]V 2(3)
k ×(3)(2)V rot =V +V ∥rot ⊥rot
=(cosθ⋅I +sinθ⋅k ×)V +(1−cosθ)k (k ⋅V )
=(cosθ⋅I +sinθ⋅k ×)V +(1−cosθ)[I +(k ×)]V
2=[I +sinθ(k ×)+(1−cosθ)(k ×)]V 2(4)
[I +sinθ(k ×)+(1−cosθ)(k ×)]2D (4)V rot =DV (5)
⽅向余弦矩阵的定义中对旋转的描述是静态描述，描述的是旋转后的结果吗，即旋转后两个坐标系的相对⾓位置。⽽等效旋转⽮量对旋转的描述是动态描述，即绕着什么⽅向转，转了多少度，可以描述过程。
下⾯来证明两种⽅法的相通性，其桥梁为罗德⾥格公式。
假设旋转前，有⼀参考坐标系R在空间中保持不动，⽽动坐标系b与⽮量固联，随之转动。将式(5)投影到R系下有，
旋转之初，参考坐标系与动坐标系重合，记此时动坐标系为，则有
在旋转过程中，动坐标系b与⽮量固联，因此有
将式（7）、（8）代⼊式（6），有
由此可知，矩阵D即为⽮量在坐标系旋转前后的坐标变换阵，即为⽅向余弦矩阵，有
从此可见，⽅向余弦矩阵也包含旋转的过程信息，由于旋转的周期性，当转⾓在区间时，等效旋转⽮量与⽅向余弦矩阵存在⼀⼀对应关系。从这点来看，⼜可将⽅向余弦矩阵称为转动矩阵。后⾯在定义欧拉⾓时我们再推导初等转动矩阵。
2.3. 等效旋转⽮量与规范四元数的关系
模值为1的四元数称为规范四元数，规范四元数的三⾓表达式为
所代表的⼏何含义可以⽤等效旋转⽮量来解释，其中的即为等效旋转⽮量的旋转⾓度，即为其旋转轴的单位⽮量。由此可见，规范四元数包含了等效旋转⽮量的所有信息。
2.4. 规范四元数与⽅向余弦矩阵的关系
V V rot R =DV R (6)
b 0V =b 0V R (7)
V rot V =rot b V b 0(8)
V rot R =DV rot b (9)
D =C b n (10)
[0,2π)Q =cos +2ϕu sin 2ϕ
(11)
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为了避免与四元数的表⽰冲突，将公式（4）作稍稍改写，将旋转轴单位⽮量改写为，旋转⾓度改为，则式（4）中的⽅向余弦阵变为
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根据三⾓函数关系，有
结合式（11）定义的规范四元数三⾓表达式，将，带⼊式（13），有将
盐水洗脸有什么好处与坏处带⼊上式进⼀步展开可以得到四元数表⽰的⽅向余弦矩阵，在此不再展开，仅给出最后结果：
3. 总结
本⽂主要对秦永元《惯性导航》和严恭敏《捷联惯导算法与组合导航原理》中有关等效旋转⽮量和四元数的部分进⾏了整理，每个知识点都选取了两者中⽐较容易理解的⽅式，在推导罗德⾥格公式时⽤了⾃⼰喜欢的⽅式。
4. 参考⽂献
【1】秦永元《惯性导航》第⼆版P248-249
【2】严恭敏《捷联惯导算法与组合导航原理》P10-P11，P20k u θϕC b n =I +sinϕ(u ×)+(1−cosϕ)(u ×)2(12)
C b n =I +2sin cos (u ×)+2sin (u ×)2ϕ2ϕ22ϕ2(13)
cos =2ϕq 0u sin =2ϕ
q v C b n =I +2q (q ×)+2(q ×)0v v 2(14)
q =v q i +1q j +2q k 3
