Kelvin-Voigt黏弹性介质地震波场数值模拟与衰减特征怎样去皱
严红勇;刘洋
【摘 要】利用高阶交错网格有限差分模拟Kelvin-Voigt黏弹性介质中传播的地震波,同时将完全匹配层吸收边界条件引入到其边界处理中.数值模拟结果表明,完全匹配层吸收边界效果好,高阶有限差分能模拟得到的黏弹性介质波场精度较高.对模拟的黏弹性波场进行分析,表明介质的粘滞性使地震反射波的能量变弱,高频衰减明显,并比低频衰减得快,主频向低频方向移动,有效频带变窄,即降低了地震波的分辨率；并且反射转换波比反射纵波要衰减得快；而且还随着传播距离的增加,其峰值频率也逐渐降低.通过数值模拟分析具有不同的粘滞系数介质对地震波的吸收和衰减,结果表明随着粘滞系数的增大,地下介质对地震波的吸收衰减更明显.%This paper us finite difference algorithm of high-order staggered-grid simulate Kelvin-Voigt viscoelaslic media of ismic waves and meanwhile introduces the perfectly matched layer(PML) absorbing boundary condition into its boundary. Numerical simulation demonstrates that the effect of this algorithm of absorbing boundary is very good and the wavefield of viscoelastic media obtained from high-order finite difference is relatively accura
te. An analysis of viscoelastic wavefield simulation shows that the energy of the reflected wave becomes weaker,the attenuation of the high frequency wave is much more apparent in comparison with that of the low frequency wave,the main frequency becomes clor to the low frequency,and the effective bandwidth is narrower,which all induce low resolution of ismic wave according to the simulation of viscoelastic wavefields. Besides,the attenuation of PS-wave is much more rapid in comparison with that of PP-wave and the peak frequency becomes lower gradually with the increa of the propagating distance. It is also shown that the absorption and attenuation are more apparent with the increa of viscosity coefficient by analysis of the absorption and attenuation of ismic wave in different viscosity coefficient media.
【期刊名称】《物探与化探》
【年(卷),期】2012(036)005
【总页数】7页(P806-812)
【关键词】黏弹性;交错网格;有限差分;完全匹配层;衰减
【作 者】严红勇;刘洋
【作者单位】中国石油大学油气资源与探测国家重点实验室,北京102249;中国石油大学CNPC物探重点实验室,北京102249;中国石油大学油气资源与探测国家重点实验室,北京102249;中国石油大学CNPC物探重点实验室,北京102249
【正文语种】中 文
【中图分类】P631.4a的意思
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cornflakes>田弘正目前，在讨论地震波传播理论时，绝大部分情况下是把地震波看作弹性波。事实上，大地介质是属于非完全弹性介质，它是具有粘滞性的黏弹性体。地震波在地下介质中传播时很容易被吸收，其振幅发生衰减，波形发生畸变，影响了地震资料的分辨率。通过对黏弹性介质中的地震波场进行数值模拟，来研究和分析地震波传播过程中的衰减特征，对指导改进地震资料的分辨率具有重要意义。
自Stocks首次研究黏弹性介质及其地震波的传播以来，相关的理论和应用研究得到了长足的发展，目前出现了许多描述黏弹性介质的数学模型，主要包括Kelvin-Voigt模型、Maxwe
ll模型、标准线性模型等［1］。刘瑞珣等指出，用Kelvin-Voig模型描述地下介质既简便又较为符合地下实际情况［2］。数值模拟是研究地震波在地下介质中传播规律的一种有效方式。不少学者对黏弹性波正演数值模拟进行了研究，主要代表学者有Carcione和Robertsson等，他们采用的是伪谱法或低阶有限差分对黏弹性波场进行模拟，然后在时间域对模拟的地震波波形的衰减特征进行了简单的分析［3-7］。然而，他们很少对地震波衰减在频率域内的表现特征进行分析。
黏弹性波正演数值模拟可采用的方法有伪谱法、有限差分法、有限元法、边界元法等，其中交错网格有限差分法计算速度快，方便灵活，不受模型的限制。为了提高交错网格的模拟精度，裴正林推导出了交错网格一阶空间导数的任意偶数阶精度展开式和相应差分系数计算式，并将此运用到求解一阶应力—速度弹性波方程中［8］。笔者将此任意偶数阶精度交错网格差分格式用于求解一阶速度—应力Kelvin-Voig黏弹性波动方程，利用交错网格高阶有限差分来模拟黏弹性介质中的波场，并引入完全匹配层吸收边界来处理边界条件。然后，在模型数值模拟的结果基础上，分别在时间域和频率域内具体分析了黏弹性介质对地震波的吸收与衰减特征。
1 方法原理
台式1.1 一阶速度—应力黏弹性波动方程
在二维非均匀各向同性黏弹性介质（Kelvin-Voigt模型）中，用速度—应力表示的一阶黏弹性波动方程组为
其中，t为时间变量，vx、vz分别为质点振动速度在x、z方向的分量，τxx、τzz分别为在x、z方向的正应力，τzx为切应力，ρ为密度，λ和μ为拉梅系数，λ′和μ′为粘滞系数，v p为纵波速度，v s为横波速度，Q p为纵波品质因子，Q s为横波品质因子，ω为圆频率。
1.2 交错网格任意偶数阶精度有限差分
设函数u（x）连续，且有2N+1阶导数，则交错网格一阶导数2N阶精度差分近似式可以表示为［9］心照不宣是什么意思
其中：x是实变量；x0是一实数；Δx为空间步长；m=1，…，n；cm 为差分系数。根据裴正林的推导［8］：当N=1时，c1=1；当N=2时，c1=9／8，c2=-1／24；当N＞2时，有
1.3 黏弹性波方程完全匹配层吸收边界
根据完全匹配层（perfectly matched layer，简称PML）吸收边界条件的基本原理，采用时间域变量分裂的方法，对一阶速度—应力黏弹性波动方程进行波场变量分离，得到应用于黏弹性波动方程的PML吸收边界条件。在二维空间的条件下，每一个波场变量可分为如下两部分［10］
式中，上标x和z代表该项只与相应的空间导数有关。根据黏弹性波动方程组（1），可以分裂得到黏弹性介质中弹性波动方程带有衰减因子的PML吸收边界的方程组（6），这里函数d（x）和d（z）是与x和y方向有关的衰减因子。衰减因子d（x）和d（z）计算方法很多，笔者采用Collino和Chrysoula（2001）提出的一种随内域截断边界与PML界面距离为指数关系的衰减函数［11］。在时间导数上用二阶中心差分、空间导数上按照任意偶数阶精度交错网格有限差分格式来求解方程组（6）中的每一个方程。
采用交错网格差分技术，利用式（2）中求解一阶导数的方法，在数值模拟计算区域内对方程组（1）进行求解，在PML吸收层区域内对方程组（6）进行求解，可以实现一阶速度—应力黏弹性波动方程数值任意偶数阶精度的模拟：
2 数值模拟与分析
2.1 均匀介质模型
为了验证PML吸收边界的有效性，设计了一个1 600 m×1 600 m的均匀介质模型，空间采样间隔Δx=Δz=8m，时间步长为1ms。模型介质的v p=3 000 m/s，v s=1 800 m/s，ρ=2 300 kg/m3，Q p=80，Q s=60。震源位于模型的中心（800 m、800 m），震源子波采用Ricker子波，主频为30 Hz。
图1 加PM L边界吸收时的波场快照a—水平分量；b—垂直分量
图2 不加边界吸收和加PML边界吸收时的质点振动记录a—水平分量；b—垂直分量
在数值模拟过程中采用十二阶空间差分精度、二阶时间差分精度的交错网格有限差分格式模拟，并分别在不考虑吸收边界和PML吸收边界条件下输出波场快照和记录介质中某一点的振动过程，对吸收效果进行分析。图1是加PML吸收边界后的三个波场快照的水平分量和垂直分量，从左到右对应的时间为170、340和510 ms。从图1可以看出，PML能很好地吸收来自边界的强反射。图2是记录质点（280、600 m）的振动记录。从图可以看出，加PML后，该点基本接收不到来自边界的反射。图1和图2说明采用PML边界能较好地消除边
界反射。数值模拟试验表明，PML吸收边界条件吸收效果不仅与匹配层厚度有关，还与衰减因子的取值有直接关系。一般情况下，匹配层厚度越大、衰减因子相对越小，PML吸收边界条件吸收效果越好。大的衰减因子虽然会使入射地震波较快地被吸收，但同时也会产生反射，因此选择合适的匹配层厚度和合适的衰减因子对PML吸收边界条件很重要。猪吃饭
2.2 层状介质模型
为了分析黏弹性介质中的吸收和衰减现象，笔者设计了一个2 400 m×2 400 m的网格模型，网格的大小为8 m。时间采样间隔为1 ms，震源坐标为（1 200 m，300 m），震源子波采用Ricker子波，主频为30 Hz，其他参数如表1所示。
