有限差分法
有限差分法（Finite Differential Method, FDM）
什么是有限差分法
持久有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空间点值的差分形式的方法。
按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格结(节)点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，以求出溶质在各网格结(节)点上不同时刻的浓度。
有限差分法的基本步骤
（1）剖分渗流区，确定离散点。将所研究的水动力弥散区域按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。
（2）建立水动力弥散问题的差分方程组。篮球赛作文
（3）求解差分方程组。采用各种迭代法，如点逐次超松驰方法(SOR)、线逐次超松驰方法(LSOR)、迭代的交替方向隐式方法(IADI)及强隐式方法(SID)等。
(1)
现在分别对时间（从0时刻到到期日）和股票价格（S m ax)为可达到的足够高的股票价格）进行分割，即\triangle S=S_{max}/M,\triangle T/N，这样就分别有N+1个时间段和M+1个股票价格，建立如图(所示的坐标方格，将定解区域网格化，坐标方格上的点（i,j）对应时刻
和股票价格，用变量f i,j表示（i,j）点的期权价格。
2.建立差分格式
（1）内含的有限差分方法
其步骤可分为以下几步：
(1)求前向差分近似:(2) 后向差分格式：(3)
将(2),(3)式平均可更加对称地求出的近似，即
(4)
联欢会小游戏(2)求用前向差分近似：
(5)
(3)求
健康的英语怎么说(6)
(4)将(4),(5),(6)式代入(1)式可得到内含有限差分公式：
a j f i,j− 1 +
b j f i,j−
c j f i,j + 1 = f i + 1,j(7)
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其中：
i=0,1,…，N-1。j=0,1…，M-1
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针对看跌期权和看涨期权可分别求出方程的边界条件：
看跌期权：
看涨期权：
(5)利用边界条件和(7)式可以给出M-1个联立方程组：
a j f N− 1,j− 1 +
b j f N− 1,j +
c j f N− 1,j + 1j=1,2…，M-1
求解这M-1个联立方程组即可以求出期权价格，但对美式看跌期权时我们必须考虑其提前执行的情况。
内含有限差分法的优点是它很有效，当和都趋于0时，它总是收敛于微分方程组的解，即收敛性较好，但缺点是必须求解M-1个联立方程，计算较复杂。
2.外推的有限差分方法
外推的有限差分方法可以克服内含有限差分法的缺点，但是其假设条件是在股票价格相同时，i时刻与i+1时刻的f对S的一阶、二阶偏导数相同，因此(4),(5),(6)式分别变为：
(8)
(9)
(10)
将(8),(9),(10)分别代入(1)可得到外推有限差分方程：
(7) *
画眼影
外推的有限差分方法可更好地用于计算期权价值，但收敛性更差。
3.其他有限差分法
一是Hopscotch法，即交叉使用内含和外推法计算节点的期权价值，也称“跳格子法”。二是Grank-Nicholson法，求内含和外推法的平均值，即将(7)和(7) * 平均求得期权价值。使用有限差分法有时可置换变量，如令Z=ln S而不以S为标的变量，使计算更有效。
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有限差分法与期权定价模型的联系
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用模型得到的是精确解，而用有限差分法得到的是近似解，但两种方法的计算结果是接近的。
其中可解释为时间间隔内股票价格变化概率是从降到
是保持在不变，是从升到概率。
