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第 22 卷 第 3 期 湖南理工学院学报(自然科学版)
Vol.22 No.3 2009 年 9 月
Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences)
Sep. 2009
共形平坦的黎曼流形
李潇寰 1, 郭瑞芝 2
(1. 株洲职业技术学院, 湖南 株洲 412001; 2. 湖南师范大学数学系, 长沙 410081)
摘 要: 研究了共形平坦的黎曼流形( M n , g ) (n ≥ 4) , 建立了一个关于紧致流形的 Simons 型的积分不等式. 如果 ( M n , g ) 是共形平坦的, 且它的 Ricci 曲率满足一定的条件, 利用该积分不等式给出( M n ,g)的在等距群下的分类.
关键词: 共形平坦的黎曼流形; Ricci 曲率; Weyl 张量
中图分类号: O186.12 文献标识码: A 文章编号: 1672-5298(2009)03-0019-04
Conformally Flat Riemannian Manifolds
LI Xiao-huan 1, GUO Rui-zhi 2
(1. Zhuzhou Professional Technology College, Zhuzhou 412001 China;
2. Department of Mathematics, Hunan Normal University Hunan Changsha 410081, China)
Abstract : In this paper, conformally flat Riemannian manifolds (M n , g ) is investigated and a Simons integral inequality is established. If (M n , g ) is compact. If ( M n , g ) is conformally flat and Ricci curvature satisfy some conditions, the classification of the isometric group of (M n , g ) is obtained by using the integral inequality.
高中数学教材Key words : conformally flat manifolds; Ricci curvature; Weyl tensor
wps怎么设置自动保存引言
黎曼流形称为共形平坦的, 如果流形的度量共形类中有一个平坦的度量. 明显所有的曲面是共形
平坦的, 对于维数大于或等于 3 的共形黎曼流形, 它是共形平坦的充要条件是他的 Wely 张量为零(W=0). 如果黎曼流形点点都不共形平坦, 则它的共形变换群同构于度量共形类中某度量的等距群, 因此只有在 共形平坦的黎曼流形上, 其共形变换群才有可能比某等距群大. 因此在等距意义下弄清楚共形平坦的黎 曼流形是很有意义的问题. 这类黎曼流形受到许多几何学家的关注, 见文 [1~4, 8].
本文研究共形平坦的黎曼流形在一定 Ricci 曲率的条件的分类问题. 我们的主要结果是:
性质 1 设 M 是一黎曼流形, 它的 Ricci 曲率平行, 则 M n 是共形平坦当且仅当 M n 局部等距于下面黎 曼流形之一:
(ⅰ) M (c ); (ⅱ) M (c ) ⨯ M (-c ); (ⅲ) M (c ) ⨯ R 1.
定理 1 设 M n (n ≥ 4) 是紧致定向的共形平坦黎曼流形, 并且它的数量曲率为常数. 如果它的 Ricci 是 非负的, 则 M n 是局部等距于 M n (c ) 或 M n -1 (c ) ⨯ S 1 , c > 0 .
定理 2 设 M n (n ≥ 4) 是紧致定向的共形平坦黎曼流形，如果它的 Ricci 曲率非负, 并且数量曲率满足
r 2 - ∑i j R ij = a (cons tan
t ), 则 M n 是局部等距于 M n (c ) 或 M (c ) ⨯ S 1 , c > 0 . 从这些结果可以部分看出共形平坦流形与常曲率流形有多大差距.
1 共形平坦流形
设( M n , g )是一个 n -维黎曼流形, n
Φ : M n → M n 是共形变换, 则在 M n 上有函数 ρ 满足 g = Φ * g = e 2 ρ g . - ρ
设{e 1 ,⋅⋅⋅e n } 是 (M , g ) 上的局部单位正交标架场, {ω1 ,⋅⋅⋅,ωn } 是它的对偶标架场. 则{ωi = e e i : i = 1,⋅⋅⋅, n } 是
收稿日期: 2009-03-08
作者简介: 李潇寰(1971− ), 男, 湖南邵阳人, 硕士, 株洲职业技术学院讲师. 主要研究方向: 微分几何
ijkl
ij ,k
2
20
湖南理工学院学报(自然科学版)
第 22 卷
(M n
, g ) 上的局部单位正交标架场, {ω*
= e ρ
ω } 是他的对偶标架场, 这样我们有
i i
d ωi = ∑ωij ∧ ω j , ωij = ω ji , d ω = - ω ∧ ω + ∧ , ∧ = 1 R ω ∧ ω
ij
∑
ik kj ij
ij 2 ∑ ij kl k
i
j
k
kl i ∑
ij
j
∑ j j
i
∑
ij
j
d ω
*
= -e
ρ
ω ∧ ω + e
ρ
ρ ω ∧ ω = - ω*
∧ ω*
其中 ω
*
= ω + ρ ω + ρ ω j
j
j
. 由此我们得到创业团队介绍
ij
ij
j i
i j ij ij
∑
j k j i
k
∑
i
i k
k
j
∑
k i j ∧ *
= ∧ - (ρ k - ρ ρ ) ω ∧ ω -
(ρ k - ρ ρ ) ω ∧ ω -
ρ 2 ω ∧ ω (1)
k
k
k
其中 ρ jk 是 ρ 的 Hessian 分量, 定义为
∑ ρ jk
ω
k
= d ρ j - ∑ ρk ωkj
k
k
在( M n
,
g ) (n ≥ 4) 上的 Wely 张量 C 定义为 C = R - 1 {R δ - R δ + δ R - δ R } +
r (δ δ - δ δ ) (2)
ijkl ijkl n -1 ik jl jk il ik jl jk il (n -1)(n - 2) ik jl
jk il
在 3-维黎曼流形 (M 3 , g ) 上, Wely 张量定义为任宏伟
C = 1 (R - R ) - 1 (δ r - δ r )
由(1), 我们有 e 2 ρ C *
= C .
ijk n - 2 ij ⋅k ik ⋅ j
2(n -1)(n - 2) ij k ik j
ijkl
ijkl
性质 2 黎曼流形( M n , g )是共形平坦的充分必要条件是: 当 n ≥ 4 时, C ijkl = 0 , 当 n = 3 时, C ijk = 0 . ij
ij
∑
k ikjk
∑
i ii
在黎曼流形( M n
, g )上, Ricci 曲率 R 定义为 R =
变张量定义为 ∑ R ij ,k ωk = dR ij + ∑ R ik ωk + ∑ R kj ωk .
k
k
k
R . 数率曲率 r 定义为 r =
R , Ricci 曲率的协
黎曼流形( M n
, g )的 Ricci 曲率(Ricci 张量)称为平行的, 如果 R = 0. Ricci 曲率称为非负的, 如果它 的每一个特征值非负. 文[5]证明了下面
的
定理 3 设 M n = M S 1
⨯⋅⋅⋅⨯ M s k
是 k 个黎曼流形黎曼的直积. 如果 M n 共形平坦的, 则 M n 等距下面黎曼
1 k
流形之一:
1
1
(ⅰ) 平坦黎曼流形，即它的曲率张量为零( R ijkl = 0 ); (ⅱ) 维黎曼流形, M (c )是常曲率黎曼流形, 其截面曲率为 c .
文[1]证明了下面有意思的结果:
M (c ) ⨯ R ; (ⅲ) M 1 (c ) ⨯ M 2 (-c ) . 其中 R 是 1- 性质 3 紧致单连通的黎曼流形( M n , g )是共形平坦的, 则它共形微分同胚于 S n (1) .
2 主要定理的证明
性质 4[7] 设( M n , g )是一黎曼流形, 它的 Ricci 曲率平行, 则 M n 局部等距于流形
M n = M α0
⨯ M α1
⨯⋅⋅⋅⨯ M α
k
其中 M α0
是平坦黎曼流形 (0 ≤ α 于 2.
≤ n ), M αt
(t = 1,⋅⋅⋅, k ) 是不可约的非平坦的 Einstein 流形, 其维数大于或等
这样, 由定理 3 和性质 4 我们得到
性质 5 设 M n 黎曼流形之一:
是一黎曼流形, 它的 Ricci 曲率平行, 则 M n 是共形平坦当且仅当 M n 局部等距于下面 (ⅰ) M (c ); (ⅱ) M (c ) ⨯ M (-c ); (ⅲ) M (c ) ⨯ R 1.
下面的定理 4 是性质 3 的一种推广.
定理 4 设( M n , g )是一紧致的共形平坦黎曼流形, 如果 r 2
> (n -1)
∑
ij
R ij
, 且它的数量曲率 r 非负,
i 2
2 i
2 2
∞
n
, 2
2 2 第
3 期 李潇寰等: 共形平坦的黎曼流形 21
则要么 M n 是常曲率黎曼流形, 要么它的单连通覆盖空间共形微分同胚于单位球面 S n (1) .
证明 注意到下面常用的不等式:
设 n +1 个实数 a 1 ,⋅⋅⋅, a n , b 满足 (∑ a i ) 2
> (n -1)∑ a 2
+ b , 则对任意 s ≠ t , 2a a > b 成立 . s t n -1
i
i
ij
i ij ,
∑
i j
ij
在( M n
, g )上取局部单位正交标架场使得 R = λ δ
这样 r 2 > (n -1)
R
2
等价于
(∑ λi ) > (n -1)∑ λ i
i
i
n
由上面的不等式, 有 λi > 0, ∀i . 既然 M 是紧致的, 存在实数 ε > 0 , 使得 λi > ε > 0, ∀i . 由 Bonnet-Myers 定
理, M n 有有限基本群. 设 (M ˜ n , g ˜) 是 M n 的单连通覆盖, 故 M
˜ n 是紧致的, 从性质 3, M ˜ n 是共形微分同胚 于单位球面 S n (1) . 性质 6 设 M n 是紧致定向黎曼流形, φ = ∑ ij
⎫ij ω ⊗ ω j 是一对称张量，在
C ∞ (M n ) 定义算子 f = ∑φi j f i j , ∀f ∈ C (M )
则算子是自伴的当且仅且
∑φ
ij
, j = 0, ∀i , ij
其中φij ,k 定义为
由 Bianchi 恒等式, 我们有
∑φ
ij ,k
ωk = d φij + ∑φkj ωki + ∑φik ωkj .
k
k
∑ R ij , j = ∑ R ikjk , j = ∑ R jkik , j
kj kj
= -∑ R jkkj ,i - ∑ R jkji ,k = r i - ∑ R jijk , k = r i - ∑ R ik , k
kj
kj
kj
k
其中 r i = e i (r ) . 这样
R = 1 r ,
∀i .
∑
ij j
i
j
对任意的 f ∈ C ∞
(M n ), 我们定义算子 f =
( r δ - R ) f , 既然 R = r , 所以算子是自伴的.
∑ ij ij ij ij ∑ ij , j 1 i
j
下面假定( M n , g )( n ≥ 4 )是紧致的共形平坦黎曼流形, 取局部单位正交标架场使得 R = λ δ , 在此标 架下, 对任意的 f ∈ C ∞
(M n
), , 我们有, ⊗f = ∑ i f ii
. 我们在此标架下计算 r . 由(2)式, 有 ij
i ij
r i i = 2∑ m R im ,mi = 2∑ m (R im ,im + ∑ t R tm R timi + ∑ t R i t R tmmi ) =
2
[(R
-
1 (δ r - δ r )), +
R R +
R R
] =
∑
m
ii , m
2(n - 1)
ii m
im i m
∑
t tm timi
∑
t it tmmi
2
R
- 1 (
δ r - r ) + 2
R R + 2
R R
=
∑
m ii ,mm
n -1 ∑ m ii mm
ii
∑
mt tm timi
∑
mt it tmmi
2⊗λ - 1 δ ⊗r + 1 r + 2
λ R + 2
λ R
i
n -1 ii
这样
n -1 ii
∑
m i immi
∑
m m mimi
r = 2(n -1) ⊗λ - 1 δ ⊗r + 2(n -1)
(λ - λ )R
ii n - 2 i n - 2 ii n - 2
∑
m m
i mimi
r = ∑ ij ( r ij - R ij )r ij = ∑ i r r ii - ∑ i λi r ii =
r ⊗r -
λ [ 2(n -1) ⊗λ - 1 δ ⊗r + 2(n -1)
(λ - λ )R ] =
2
∑ i i n - 2 i n - 2 ii n - 2 ∑ m m i mimi n r ⊗r - 2(n -1)
λ ⊗λ + 2(n -1)
[λ (λ - λ )(λ + λ - r )] = 2(n - 2) n - 2 ∑ i i i (n - 2)2 ∑ mi i i m m i n -1
n
⊗r 2 - n -1 ⊗λ 2 + 2(n -1)
∇
λ 2
r 2 +
2 λ (λ - λ )(λ - λ ) 4(n - 2) n - 2 ∑ i i
n - 2
∑
i
i
(n - 2)2 ∑ ijk , j <k i i j i k
i
2 2
22
湖南理工学院学报(自然科学版) 第 22 卷
于是我们得到
r =
n ⊗r 2 - n -1 ⊗λ 2 + 2(n -1)
2 ∇λ
- r 2 + 2 λ (λ - λ )(λ - λ ) (3)
4(n - 2) n - 2 ∑ i n - 2 ∑ i (n - 2)2 ∑
i i j i k
i
i
其中 ∇r 是 r 的梯度.
雷锋的品质ijk , j < k
如果 M n 的 Ricci 曲率非 负 , 可 以假定 0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ ⋅⋅⋅ ≤ λn , 则当 i < j < k 或
j < k < i ,
λi (λi - λj )(λi - λk ) ≥ 0 , 因此当 j < i < k 时, 有 λ (λ - λ )(λ - λ ) + λ (λ
-
λ )(λ
- λ ) = (λ - λ )2 (λ + λ - λ ) ≥ 0
i
i
j
i
k
2020年1月14日k
k
j
k
i
i
k
k
i
j
这样我们有下面引理. 引理 1 如果 M n 的 Ricci 曲率非负, 则在上面局部标架场下, 有
∑ ijk , j < k
λi
(λi
- λ j
)
无热胆饮水机(λ
i
- λk ) ≥ 0
引理 2 如果 M n
的 Ricci 曲率和数量曲率满足 r 2 - ∑i j
R ij = a (常数), 并且 M n 的 Ricci 曲率非负, 则 ∑|| ∇λ ||
2
≥ || ∇r ||
2
i
定理 5 设 M n (n ≥ 4) 是紧致定向的共形平坦黎曼流形, 并且它的数量曲率为常数. 如果它的 Ricci 是 非负的, 则 M n 是局部等距于 M n (c ) 或 M n -1 (c ) ⨯ S 1 , c > 0 .
证明 对公式(3)两边积分, 我们得到
2(n -1) 2
|| ∇λ
+
2 λ (λ - λ )(λ - λ ) = 0
(4)
n - 2
⎰M
施工组织设计
∑
i
||
⎰M (n - 2)2 ∑ i i j i k
i
ijk , j < k
由于 M n
的 Ricci 曲率非负, 由引理 1, 有
∑ ijk , j < k
λi
(λi
- λ j
)(λ
i
-
λk ) ≥ 0
n
由公式(4)我们得到|| ∇λi ||= 0, ∀i , 这样
M 的 Ricci 张量平行, 由性质 5 我们完成证明. 定理 6 设 M n (n ≥ 4) 是紧致定向的共形平坦黎曼流形, 如果它的 Ricci 曲率非负, 并且数量曲率满足
4(n -1) || ∇R ||2 ≥ n || ∇r ||2
则 M n 是局部等距于 M n (c ) 或 M n -1 (c ) ⨯ S 1 , c > 0, 其中|| R ||2 = ∑ij
R ij .
定理 6 的证明类似于定理 5, 利用公式(3)而推出 M n 的 Ricci 张量平行, 从而得到证明.
定理 7 设 M n (n ≥ 4) 是紧致定向的共形平坦黎曼流形, 如果它的 Ricci 曲率非负, 并且数量曲率满足 r - ∑ij R ij = a (常数), 则 M 是局部等距于 M (c ) 或 M (c ) ⨯ S , c > 0 . 2 2 n n 1
证明 利用引理和公式(3), 类似定理 5 的证明过程(在此从略).
参考文献
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