两带电导体球之间的静电作用问题是带电物体相互作用的一种最简单情况。当两球体上的电荷一定时 ,两球体上的电荷分布要满足静电场方程和相应的边值条件 ,因此两球体之间的静电作用呈现复杂的规律性。早期电磁学文献 [1]给出了半径相等的两个导体球在不同距离下的平衡电荷比。本文在精确求解的基础上讨论两导体球静电作用的一般规律。
1 双球系统的电象法精确解
设图 1所示双球系统球心 o1、o2相距为 D,球半径分别为 a、b,且有 a > b;两球面电势分别为 U 1、 U 2。
按照静电学中电象法的处理方法 [2 ,3 ],可以在大球面内沿 o1 o2方向放置一系列点电荷 Qi( i
=1 ,2 ,3 , .)和在小球面内沿 o2 o1方向放置一系列点电荷 qi ( i =1 , 2 , 3 , .),使两个球面上的电势为 U 1、U 2 ,此时两球面外空间电场与诸点电荷合电场等效 ,使有关静电学问题得到解决。这些点电荷的配置要满足球面反演的几何条件 ,我们将这些电荷称为镜象电荷。
设大球面内镜象电荷 Qi沿 o1 o2与 o1相距为 Ri ,小球面内镜象电荷 qi沿 o2 o1与 o2相距为 ri (见图 1)。电荷 qi +1是电荷 Qi相对小球球面图 1 双球系统示意图的镜象 ,而电荷 Qi +1是电荷 qi相对大球球面的镜象 ,有 :
ri +1 (D-Ri) =b2 Ri+1 (D-ri) =a 2 (1)诸 Qi、qi当 i→∞时将趋于大、小球面内位置 R ∞和 r ∞处一点 ,满足方程 :
r ∞(D-R ∞) =b2 R ∞(D-r ∞) =a 2 (2)式
(2)等价于下列二次方程 :
2
(R ∞/ a) 2 -2 (R ∞/ a)( D2 +a -b2)/ (2 Da) + 1 = 0
(3)
(r ∞/ b) 2 -2 (r ∞/ b)( D2 +b2 -a 2)/ (2 Db) + 1 = 0 令 :
收稿日期 :1998-03-01
Ξ作者简介 :莫克威 (1941 —),男 ,长沙交通学院教授 .
12
chα = (D2 +a 2 -b2)/ (2 Da) chβ = (D2 +b2 -a 2)/ (2 Db) (4)式 (3)解为 : R ∞ =ae -α
(5)
r ∞ =be -β 由式 (4)有 shα/a = shβ/b = sh (α+β)/ D,令 δ=α+β,则有下述表示系统几何结构的参数方程 : shα/a = shβ/b = shδ/D (6) 由 (5)式表示形式 ,我们取以双曲正弦函数表示的位置5个月胎儿 Ri、ri
为如下表达式 :大球面内 i为奇数时拜年的拜
Ri = ash〔(i
i为偶数时 =ash〔( i/ 2 -1)δ + β〕 i= 2 ,4 ,6 , .
sh ( δi/ 2) 小球面内 i为奇数时
ri= bsh〔(i -1)δ/ 2〕 i= 1 ,3 ,5 , .
sh〔(i -1)δ/ 2 + β〕i为偶数时
ri = bsh〔( i/ 2 -1)δ + α〕 i= 2 ,4 ,6 , .
sh ( δ奶油的功效和作用i/ 2)可以验证 ,上述 Ri、ri满足 (1)和 (5)式要求。按电象法要求鱼饵配方大全 ,诸电荷之比为 Qi/ qi +1 = -b/ ri +1 , qi/ Qi +1 = -a/ Ri +1 ,而 Q1 =4πε0 aU 1 ,q1= 4πε0 bU 2 ,可得各镜象电荷大小。大球面内 ,奇数序号电荷与 Q1同号 ,它们为 :
shβ
Qi = Q1 sh〔(i -1)δ/ 2 + β〕 i= 1 ,3 ,5 , .
偶数序号电荷与 q1异号 ,它们为 :
Qi=-q1 sh ( shδi α / 2) i= 2 ,4 ,6 , .
小球面内 ,奇数序号电荷与 q1同号 ,它们为 : qi= q1shα/ sh〔(i -1)δ/ 2 + α〕 i= 1 ,3 ,5 , .
偶数序号电荷与 Q1异号 ,它们为 : qi=-Q1shβ/ sh (iδ/ 2) i= 2 ,4 ,6 , . 至此 ,通过电象法求得产生等效电场的诸电荷 Qi、qi的位置和电量。它们组成了一组精确解。
2 双球系统静电作用的一般规律
治咳嗽的好方法由上述结果可得大、小球面上的总电荷 Q和 q:
∞∞ ∞
shβ shα
Q= Qi= 4πε0 aU 1 -4πε0 bU2
sh (nδ + β) sh (nδ)
i= 1 n= 0 n= 1
6∞∞6 ∞6
shα shβ
q= qi= 4πε0 aU 2 -4πε0 aU 2
sh (nδ + α) sh (nδ)
i= 1 n= 0 n= 1
Q、q亦可通过电容系数与 6 U1、U2联系起来 6 : 6 Q=C11 U 1 +C12 U 2
(7)
q= C22 U 22 +C21 U 1 =C22 U 22 +C12 U 1 故有 :
紫薯燕麦粥的做法∞ shβ ∞ 1C11 = 4πε= 4πε0 a+ 4πε0 ashβ 6
0 a 6 sh (nδ + β) sh (nδ + β) ∞ shα ∞ 1C22 = 4πε= 4πε0 b+ 4πε0 bshα 6
n= 0 n= 1
(8)0 b 6 sh (nδ + α) sh (nδ + α)
n= 0 n= 1
∞
1
C12 =-4πε0 ashβ 6 sh (nδ)
n= 1
系统的静电能量为 :
111
W= QU1 + qU 2 =C11 U12
222
(9)
1 P11 Q
2
其中 P11、P22、P12
为电势系数 ,钻跨它们与电容系数关系为
: C11 -C12
,P22 = ,P12 =(10)
C2 C2 C2
C11 C22 -12 C11 C22 -12 C11 C22 -12 两球之间的静电作用力为 : d W 1 Q2d P11 d P12 12d P22
F=-=--Qq -(11)
2 q
d D 2d D d D d D 可以证明 (过程略 ):
dd PD11 ～ D15 , dd PD22 ～ D15 , dd PD12 ～ -D12
当 Q >0、q >0时 ,( 11)式中系数为 Q2、q 2的项代表引力 ,而 Qq系数项则为斥力 ,引力项和斥力项都随距离 D增大而减小 ,但引力项减小相对斥力项减小要快 ,我们有下述双球静电作用的一般规律 :
1
)若两导电球在某一距离上作用力为斥力 ,那么增大两球距离时的作用力也一定是斥力 ,而减小两球距离至某一距离值时 ,两球作用力为零 ,我们定义此距离值为平衡距离 ,对应的两球电荷比为平衡电荷比 ;
2
)若两导电球在某一距离上作用力为引力 ,那么减小两球距离时的作用力保持为引力 ,若增大两球距离 ,当距离为某一值时作用力为零 ,这一距离值即为平衡距离 ,对应电荷比为平衡电荷比 ;
3
)
对于给定半径的两个导体球 ,当平衡距离一定时 ,存在两个平衡电荷比 ,它们分别对应于它们其中一球处于高电势时作用力为零情况 ;
4
)对于给定半径和给定电荷比的两个导体球 ,总存在一个确定的平衡距离 ,在此距离上两球作用力为零。
3 双球系统在不同带电情形下的静电作用力分析
两导体球之中有一个电荷为零或两导体球带上异种电荷时 ,由 (11)式可知 ,此时有 Q =0或 q =0 ;或 Q >0 ,q <0 ;或 Q <0 ,q >0 ,两球之间静电作用力总是引力。由于引力各项皆随着距离 D增大而单调减小 ,总的引力作用也应随着 D增大而单调减小。
两导体球带同种电荷 ,两球相距甚远时应与点电荷作用近似 ,为斥力作用 ;两球相距很近时一般应为引力作用。 两球相接触时 ,有长生界好看吗 U 1= U 2 ,此时的电荷比满足 Q/ q = (C11 + C12)/ (C22 + C12),由于引力项衰减比斥力项衰减快 ,当两球之间距离增大时 ,两球之间一直保持斥力作用。
由 (11)式知 ,引力项与斥力项在两球相互作用中所起的作用决定于 Q、q的相对大小。在一定距离 D和一定半径 a、b下 , d P11/ d D, d P22/ d D和 d P12/ d D的值是一定的 ,令 (11)式等于零 ,得到一个以电荷比 Q/ q为变量的二次方程 ,解出的两个根对应于两球作用力为零时的电荷比 ,称它们为平衡电荷比。表 1中列出了一些典型情形的平衡电荷比 ,其计算过程从略。
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当两球电荷比 Q/ q给定时 ,与上述计算过程相似 ,也可求出不同半径比 a/ b之下的平衡距离 D。表 2中给出了当 Q = q时不同半径比之下的平衡距离 D。其他情形需另行计算。表 1 一些情形的平衡电荷比 Q/ q
半径比 距离比两球半径之和 D/ (a + b) a/ b1. 11. 32. 03. 05. 0
-2 -3-3
0. 2944 0. 1469 3. 445 ×10 9. 660 ×10 2. 030 ×10
1. 0
3. 397 6. 809 29. 03 103. 5 492. 5
-2
-2 -3
0. 4771 0. 2285 5. 120 ×10 1. 607 ×10
1. 3 5. 605 11. 01
0. 9605 0. 433 6
4. 870 ×10 -3
2. 0 13. 67
1 676
-2 -3
0. 1328 3. 444 ×10 6. 985 ×10
3. 0
249. 5 855. 0 3 985
-2 -3
3. 476 1. 207 0. 1935 4. 839 ×10 9. 660 ×10
5. 0
122. 2 229. 2 854. 9 2903 1. 348 ×104
当两球电荷比 Q/ q介于平衡电荷比之间时 ,表 2 不同半径比 a/ b时的平衡距离 D
两球之间作用力为斥力 ,否则为引力作用 ;当电荷比
Q/ q一定时 ,两球距离恰好等于对应半径比 a/ b 半径比 a/ b D/ ( a + b)
的平衡距离时作用力为零。距离大于平衡距离时为 1. 0 —
斥力作用 ;距离小于平衡距离时为引力作用。平衡 1. 3 2. 0 1. 015 1. 092
距离是两种性质作用力的距离分界点。 3. 0 1. 225
当两球之间作用力为斥力时 ,斥力作用不一定 5. 0 1. 350
