对偶格相关
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定义: 对⼀个满秩格L, 定义它的对偶格为
L* = {在R^n空间的向量y | 对于任意的格向量x, 内积(x,y)为整数}
不⼀定要求格满秩, ⼀般地, 定义
L* = {在格L张成的向量空间⾥的y|对于任意的格向量x, 内积(x,y)为整数}
例⼦:
(Z^n)* = Z^n
(kZ^n)* = (1/k)Z^n
下⾯说明对偶格确实构成格
加群 √
离散: 只需说明对偶格⾥⾯最短向量的长度>某个正数 或者 对偶格⾥任⼆不同向量之差的长度>某正数
事实上取x∈格-{0}, y1,y2∈对偶格(y1!=y2)，有length(y1-y2)>=1/length(x)(常数)
由转移定理也可以证明离散性, λ1(格)λn(对偶格)>=1, 知道有λ1(对偶格)>=1/λn(格), 对于对于任意⼀组线性⽆关向量x1,...,xn, 对偶格⾥的任意⾮零向量x, 存在i, 使得xi与x内积不为0, 由内积取绝对值的不等式1<=|(x,xi)|<=len(x)len(xi), 故有len(x)>=1/len(xi)
remark: 先说明⼀个事实, 如果⼀个对偶格的向量和格中的向量, 内积都是0的话, 那么这个向量只能是0向量，若这个对偶格向量y不为0, 那么
y/|y|^2应该在原格⾥⾯, 因为(y/|y|^2,y)=1, 但这时候这个整数值不为0, ⽭盾, 也就是说对于对偶格⾥任⼀⾮零向量y, 存在格中的向量, 使得(x,y)不为0.
如果格2是格1的稀疏化, 格1张成的向量空间与格2张成的向量空间相同, 那么就有格2的对偶格包含于格1的对偶格.
定义: 对于基B=(b1,b2,...,bn)∈R[m][n], 这个基的对偶基dual basis D=(d1,d2,...,dn)满⾜以下两条
食物中毒自救方法i. 两组基张成相同的向量空间
ii. trans(B)D=I iff (bi, dj)=δij
满⾜这两条的对偶基是唯⼀的, 由B可以得到D的表达式.
因为都是基, 所以存在⼀个可逆⽅阵M使得 BM=D, trans(B) BM=trans(B) D=I, 把M解出来, 得到D的表达式为B(trans(B)B)^(-1)
Claim 基张成的格的对偶格就是该基的对偶基张成的格
先证明对偶基张成的格包含于对偶格
秋天的雨图片只需证明对偶基包含于对偶格, 也就是说要去证明对偶基di与原格⾥的每⼀个向量内积为整数, 设x是原格⾥的任⼀向量, 于是有
x=a1b1+...+anbn, ai为整数, 于是确实有(x,di)为整数.
什么东西使人哭笑不得再证明对偶格包含于对偶基张成的格
也就去证明, 对偶格⾥的向量可以⽤对偶基整线性表出, 设y是对偶格⾥的任⼀向量, 则y按照对偶格的定义, 在基张成的向量空间span(B)⾥, ⼜对偶基和基张成了相同的向量空间, 所以y在spanD⾥, 所以y可以由D实线性表出, y=r1d1+...+rndn, 那么(y,di)=ri(di,bi)为整数, 所以实系数应为整系数.
Claim 对偶格的对偶=原格
降价英文证明：设出格基, 得到对偶基, 再算对偶格的对偶的格基, 得到原格基.
Claim det(对偶格)=1/det(格)
证明: ⽤格基算det(格)可得.
Claim (⽐转移定理强的⼀个结果)对于秩为n的格, λ1(格)λ1(对偶格)<=n.
证明: 由Minkowski's bound, 由λ1(格)<=sqrt(n)det(格)^(1/n), λ1(对偶格)<=sqrt(n)det(对偶格)^(1/n).水晶头
Claim 对于秩为n的格, 有λ1(格)λn(对偶格)>=1.
初一上册英语单词表证明: 设v是格⾥的最短向量. 取对偶格⾥的n个线性⽆关向量x1,...,xn, 存在i使得(xi,v)!=0. ⽽λn(对偶格)>=len(xi).
πi:R^n-><b1,b2,...,bi-1>的正交补空间
对于不满秩的情形, 应该以spanB为全空间
πi(bi)得到b1,...,bn的正交化
Claim B,D dual bas, then B'=(πi(bi), ..., πi(bn))与D'=(di,...,dn) are also dual bas.
证明: spanB'=span(πi(bi), ..., πi(bn))=span(b1,...,bi-1)的正交补空间
因为di,...,dn orthogonal to b1,...,bi-1 且线性⽆关
故spanD'=<b1,...,bi-1>的正交补空间
所以这两个基张成了相同的空间
任⼀j, k>=i, (dj, πi(bk))=(dj, bk-u(k,1)gs(b1)-...-u(k,i-1)gs(bi-1))=(dj,bk)=δjk
Remark: from i to n, 对于dual basis的后⾯部分, 也可以找出它相应的dual basis
Claim b1,..., bn, its dual basis d1, ..., dn, GS in order dn, dn-1,..,d1, get gs(dn)=dn,
gs(d_n-1)=d_n-1-u(n-1,n)gs(bn),
gs(d_n-2)=d_n-2-u(n-2,n)gs(n)-u(n-2,n-1)gs(d_n-1),
...,
gs(d1)=d1-u(1,n)gs(dn)-...-u(1,2)gs(d2)
then gs(di)=gs(bi)/len(bi)^2
Pf: induction on the number of basis
n=1,
伊丽莎白二世gs(d1) ∈ span(d2,...,dn)的正交补空间=span(b1)
Since span(di,...,dn) = span(b1,...,b_i-1)的正交补空间,
也即是说
di,...,dn与b1,b2,...,bi-1是正交的,
span(di,...,dn)⾥的元素和span(b1,...,b_i-1)⾥的元素是正交的,
(d, from i to n, b from 1 to i-1)
(gs(d1), b1)=(d1-u(1,n)gs(dn)-...-u(1,2)gs(d2),b1)
由span(d2,...,dn)⾥的元素和span(b1)都是正交的
故上式变为(d1, b1)=1. 设gs(d1)=tb1, 则t=1/len(b1)^2, 所以gs(d1)=gs(b1)/len(gs(b1))^2, the formula holds. Assume the claim holds for lattices of rank n-1 and let us prove for lattices of rank n.
