第55卷第3期2021年6月
Vol.55 No.3
Jun.2o21
华中师范大学学报(自然科学版)
JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY (Nat Si )
DOI ：10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2021. 03. 007 文章编号：1000-1190(2021)03-0371-05
时间尺度上奇异变质量可控非完整系统的
Noether 对称性
方蕊，朱建青!
(苏州科技大学数学科学学院，江苏苏州215009)
摘要：研究时间尺度上奇异变质量可控非完整系统的Noether 对称性与守恒量.首先以时间尺
度上的Hamilton 原理为基础，建立时间尺度上奇异变质量可控非完整系统的运动方程，然后依据
Hamilton 作用量在无限小变换下的不变性，给出该系统Noether 广义准对称性的判据和Noether
广义准对称
的 量, 明研究 的应用.
关键词：时间尺度；奇异变质量系统；可控非完整约束；对称性；守恒量
中图分类号：O316 文献标志码：A 开放科学(资源服务)标志码(OSID)：
时间尺度是测度链的一种，可以将差分系统与 微分系统统一起来进行研究，避免了对于同一问题
的 研究，使得力学系统的研究 具有普遍 性.目前， 度理
学、物理学
到了广泛应用(14.在力学系统中，利用对称性 岀守恒量是一个比较重要的研究方向，主要通过
Noether 对称性、Lie 对称性和Mei 对称性来寻求
守恒量[51(] & 2008 年,Bartosiewicz 和 Torres 给出 了
度上Noether 定理的一种证明方法(13);
2011年，Bartosiewicz 和Torres 等给出了时间尺
度上Noether 定理的另一种证明方法[14]..，关 于时间尺度上对称性的研究 了一系列重要成
，如：非
非保守系统的Noether 对称性(15)、
相空间中非Chetaev 型非完整系统的Noether 对
称(16)、Lagrange 系统的Mei 对称性(17)、基于非
标准Lagrange 函数的动力学系统的Noether 对称
性(
18)、Hergoltz 型 Hamilton 系统的 Noether 对称 (
19)、
Chetaev 型非 系统的Lie 对称
(0)、二阶线性可控力学系统的Noether 对称
(1)及 非保守力学系统的Noether 对称 22).
航天技术与工业的不断发展，变质量系统
大病医疗救助申请的研究日益重要.通常情况下喷气飞机、火箭、航天 器等都是变质量系统.近年来，一些学者对于变质 量系统的对称
了研究并取得了一些成(3(4].2007年，夏丽莉研究了变质量非完整可控
力学系统的统一对称性[(5];2014年，徐超研究了 奇异变质量非完整系统的对称性与守恒量「(6);
2019 年， 研究了
度上变 量系 的
称性理论[(7] ; 2020年，阙朝月研究了时间尺度上 变质量非完整系统的Lie 对称性与守恒量匚8.本 文
度上研究奇异变质量可控非 系统的 Noether 称 与 量， 出 系 Noether
称 的 和 量，
的 用
明&
1
度上奇异变质量可控非完系统的运动
假设力学系统的位形由％个广义坐标q s (K —
1,2,…，”)确定,m , ( — 1,2 ,…，N )和A m ，分别是
第i 个质点在t 时刻的质量和在时刻t + A t 质点分
点并入"的
量，设 度上质点
的质量为
m i — m i (t ,q ?,q ?) (i — 1,2,…,N ). (1)
系统受g 个双面理想非Chetaev 型非完整约束
#ii ( t ,q ；, qK , ) — 0 ! — 1,2，…，g ；
s * 1,2 ,…,%;r * 1,2 ,…,b ) ,
(2)
约束(2)包含控制参数外，系统的运动受参数外控
制.非
约束(2)：
移上的限制为
#!(q S — 0.
(3)
度上的 Lagrange 函数为
收稿日期:2020-10-09.
基金项目：国家自然科学基金项目(11572212,11972241)；江苏省研究生科研与实践创新计划项目(KYCX19_2014). !通信联系人. E-mail ： zjq@mail. usts. edu.
cn.
72
华中师范大学学报(自然科学版)第55卷
L — L (£%：(£)%?(£))•
(4)
变质量系统在时间尺度上的Haiiton 原理为
[((Q — Q (q 0 — P s (q K )' = 0,
(5)
J 1
且满足如下的交换关系和端点条件
'((q ) — q , (q )0 — q ,
(6)q (#) |#=1 —(q ( #) I — — o ,
(7)
其中,Q — T —3,Q ： — Q ； (# %0
为非势广义力，
P k 为广义反推力
0L ) d q K dq k
)
—0%
(5)
则将该系统称为时间尺度上奇异变质量可控非完系.
因为系统是奇异的，所以仅能解出系统一部分
的 速度% 为
P K = R ^+mr 煜-昇・r ^ —
q 5 — "s (t , q , q K , 60,, 6^ )(s = 1,2 ,, / , / ,0 *'*%) ,
(16)
则有(—'个关系
!k (#, q K , q K , 60,6,6 ) — 0
(—1,2 ,, / % — ')•
(17)
'(丄疋・r 5△八 2 a 「
其中r ,r 是第i 个质点的矢径和速度，且有
△m i %R , = ——F,,
△#
F 是微粒相对于质点自身的相对速度•
由(5)式可得红薯粉蒸肉
(8)
2时间尺度上奇异变质量可控非完整
系统的Noether 对称性与守恒量
— Q (q K — P (q 0)'
「(診広— q (q K —Q (
q K —
P (q K — *#!
(q K
)
'
1 先(。
K
—
q — CBs — Ps — *#! )
△・(
q
J
j (L — Q s — P s — *#!
) △，(q s )5 + △
△
q — Q s — P s — *#山花红紫树高低
!^) 'r )X
(、(q$)5 +
'
0,
(10)
其中，*卩为约束乘子.由(10)式，根据
Dubois-Reymond 引理可得
q — 91 (0Q — Q ；+P +#J 7
const .
(11)
对(11)两边求△导数，可得
△ d L —d L = Q — p — * 左冠—q — q ^+p k +*#
k ,
(1()
令
*#!，(13)(14)
厶
则方程(12)可表示为-L = Q ；—P +「
方程(14)为时间尺度上变质量可控非完整系统的
运动方程•
如果
在时间尺度上Hamilton 作用量为
S(.q s (*)') — [2L ( , q K , qK )#.
(18)
丿#1
引入无限小变换群
#* — # — —o ( , q s , q K ),
q K — q s — —s (t ,q s ,q K ),
( — 1,2 ,…,%),
(19
其中s 为无限小参数,—和—为生成元.
定义1 如果作用量(18)在无限小变换(19)
下为广义准对称不变量，即当且仅当对于任意的区
间(”，门5 (1, 2 )，始终成立
9"L ( , q K , q K )'t —
9 *L#t* , q s ** , q, * )△*#* —
9 ('(△
；) — (Q , — P , — 8s )(g K )
# ,
(20)
变 (19) Noether 意 下为 称变
其中g (# , q s , q , 6k ,
)为规范函数,
N 为全变分.
1
于 小 变 (19 ) 的 生
成元—和—存在规范函数G ( , q K , q K , 60,)使其
满足系 的 Noether 式
L —K —X (1>(L )—,() L —K —冬6—0 —
q d 6r
6严0 — (Q s — P s —A s )— — q —s )+g k — 0
(21
和限制条件
(S
— q K —0) = 0 ,
(22)
其中
X <1) = — 0 —— 4：—怎一 q K —K )\k , (3)
则将这种不变性称作时间尺度上奇异变质量可控
第3期方 蕊等：时间尺度上奇异变质量可控非完整系统的Noether 对称性
73非完整系统的Noether 广义准对称性.
定理1 对时间尺度上奇异变质量可控非完
整系统，如果变换(19)的生成元—和—使得广义
Noether 等式(21)和限制条件(22)成立，则系统的
量为
—(.Q +P s +A S )\ 詁0#
—Q +
+
0—s +
const (
证明
△
△
(24)
+
++
△
W0 +
;
+時-Q+
t + 006-0 +06°
(,Q S + P 5 + As) \ —0 =
酬—器曲-曲)t +\—+
C.Q S + P s + As)— +
-—0 - X ⑴(L) —
0—_00—_06r ——
CQs + P s + A s ')(— — \°—0) + 0—0 + °；0—0 +0650 (Q s +P s +A s )
5—0 =
\— + 0—0 +\ —-的)-X ()(Q ) = 0.
(25
推论1 当时间尺度t = O ，非完整约束为
Chetaev 型且系统非奇异时，根据(21)式可以得到
相应经典的广义Noether 等式]—0]
Q — + X (1) (L ) + 6—0 + J /- 6—0 +
0r O 6r CQs + P s + As) (— — q —0)+； = 0 , 根据(24 )式可得到相应的守恒量为[20]
I = L —0 +|^(——\—0) + G = const . (27)
(26)
例1 设时间尺度为
T = *% ： +P } U *}.
(28)
系统的Lagrange 函数为
L =
)2 + mq 5 ,
含的拼音(29)
其中m = >0厂>0 = const .微粒的绝对速度为
零，即
u =― r 5 ,
娃娃菜泡菜
(30)
非势广义力不存在•所受的非完整约束为
# = q 5 — 6() = 0 ,
(31)
假设(31)为非Chetaev 型约束，虚位移的限制方程
为人中短的男人
— (q 2 = 0.
根据题意可知
P 1 = P 2 = 0(
由(12)式可得
(,mq 5 )5 = *、> =——*.
由(29)、(31)、(34)式解出
* = mq 5 — 6 ()(mq 1)人= q 5 +6()
可得
A 1 =—A 2
>q 5 — 6O (#)()
q 5 + 6° (# )
32)33
34
35)
36)
由(21)、(22)式可得
L —0 + °5( — — q 1—0) +
( — — q 2—0) +
A 1 ( — — q 5 — ) + A — ( — — q ° —0 ) + = 0 , (37)
—01 —q 150—00 — —02 —q 250—00 ) = 0, 38
由(37)、(38)式可解得系统的生成元为
—=0,i = 1,2 = 1,G = 0.
(39)由定理1可得守恒量为
I = mq 1 + m = const .
(40)
2
设 度为
T = *%: +P } U *}.
(41)
系 的 Lagrange 函 数为
L = ( ( q 0)2 + ( q — )2) +mq 1q ° +
( q ° — q °)2 ,
(42)
其中,m = >0 e -# ，其中>0 , a 均为常数，且微粒的绝
速度为零,
u =― r 0 , (43)
非 力为
Q 1 = q 1 +q 3, Q ； = q 0 +q 3,Q ； = q 0, (44)受非 Chetaev 型的非
约 为
# = q 1 — 6 ( t)q — + q ° = 0 , (45)
移的 制方程为
3
74华中师范大学学报（自然科学版）第55卷
(q0—(q0—0.(46)由题可知
P1—P(*P3—0%(47)由(12)式，有
(.mq1)5+(W3)5—m(q1—q：)—q1+q3+*%
)5+m(q1—q：)—q1+q3一*%
——q3%(48)由(42)、(45)、(48)式，有
**—m(q1—q：)+
(0()—1)(q+q f)+6!))mq5)(49)
1+6()'
可得
A1*一8(*—m(q一q：)+
(0(t"—1)(q5+q f)+6(t)()(5。)
根据(21)、(22)式可得
―5+m(q—q：)——m(q1一q：)—+mq—+ (mq5+)(W—q!—5)+(——q(—)+
(Q i+81)(0—q0-0)+(Q2+8()(0-q250—00)+ Q3(&—q5—0)+G5—0%51) -—q——(0—q5-"—0%52)联立方程（51）和（52），可得到如下解
——0——1,——1——0%
G—2t q5—2q1+2q3—2q0.53)由定理1可得系统的守恒量为
I—mq1+mq（++2tq1—2q1+
2#q35—2q03*const.54）4结论
本文对时间尺度上奇异变质量可控非完整系统的Noether对称性和其相应的守恒量进行了研究.文章基于时间尺度上系统的Hamilton原理%导出系统的运动方程，得到了系统的广义Noether 等式和Noether广义准对称性的判据，进而给出守恒量并进行证明.由于时间尺度具有任意性，因此本文结果具有普遍性.本文研究结果可拓展到时间度上控变量系的Mei称的研究中.
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