高等数学对中学数学教学的指导作用
摘要：随着新课程改革的不断进步，中学数学中所涉及的高等数学的知识在高考中所占的比重越来越大，所以，作为一名中学教师，必须认真学习高等数学，用更高的数学知识武装自己，才能更加深刻地理解中学数学教材．这也是提高中学数学教学质量、实施素质教育的条件之一．指导学生学习高等数学与中学数学之间的内在联系，并将高等数学的思想方法渗透到中学数学中去是有重要的现实意义的．本文主论述的高等数学中的方法有微积分法、极限思想方法、概率与统计方法，并以大量详实的中学数学的范例为依据，尤其是近几年来的高考试题，充分说明了高等数学在解决中学数学的相关问题上具有的指导作用．
关键词：高等数学；中学数学；数学思想；数学方法
A Guide of Advanced Mathematics to High School
Mathematics T eaching
Abstract:With the reform of new cour, the knowledge of advanced mathematics in high school mathematics covers larger and larger percentage in College Entrance Examination, so, being a mathematics teacher in high school, we must learn advanced mathematics hard in order to equip our
lves with more advanced knowledge in mathematics and understand high school mathematical books. This is also one of the conditions to improve the teaching quality of high school mathematics and imply the Quality Education. It is of great significance to guide the students to learn the internal relation between advanced mathematics and high school mathematics, and to permeate the high school mathematics with the thought of advanced mathematics. This paper mainly discuss the following methods in advanced mathematics: calculus method, extreme limit though method, probabilistic method, mathematics modeling method, with lots of detailed examples in high school mathematics teaching, which are mainly examples from College Entrance Examination in recent years, tho examples prove that advanced mathematics are a good guide in solving related problems of high school mathematics.
Key words:advanced mathematics; high school; mathematical thought; mathematical method
目录
1、引言 (1)
2、中学数学与高等数学的关系 (1)
2．1 中学数学与高等数学的概念界定 (1)
2．1．1 中学数学 (1)
2．1．2 高等数学 (1)
2．2 中学数学与高等数学的关系 (1)
2．3 数学思想在中学数学教育中的地位与作用 (2)
3、高等数学方法在中学数学中的应用 (2)
3．1微积分方法的应用 (2)
3．1．1 求函数的极值、最值 (2)
3．1．2 求函数的单调区间 (3)
3．1．3 求曲边图形的面积 (4)
3．1．4 利用微积分证明代数式 (5)
3．2 极限思想方法的应用 (5)
土的名字3．2．1 利用极限解决数列问题 (5)
3．2．2 双曲线的渐近线 (6)
3．2．3 利用重要极限证明不等式 (7)
3．3 概率论的应用 (7)
双鱼座的性格3．3．1 概率的应用 (7)
3．3．2统计的应用 (8)
4、结束语 (8)
参考文献 (10)
谢辞 (11)
1 引言
随着中学教材的改革和创新，中学数学的内容也在不断变化和发展，与原有中学数学教材相比，新教
材在编写思想和内容选择等发面，有了很大的进步．新编高中教材更新了内容，删减了传统初等数学中部分较难的内容，新增了向量、简易逻辑、概率统计、极限和微积分初步等知识；与此同时，随着全国中学生数学竞赛和国际数学奥林匹克（IMO）竞赛水平的不断提高，高等数学的思想和方法越来越普遍和深入地应用于中学数学中．提高学生的综合素质，数学思想方法是教学的核心，实施素质教育必须加强数学思想方法的教学，对数学思想方法的研究，特别是对高等数学思想方法在中学数学教学中作用的研究就显得尤为重要和迫切]2[．
2 中学数学与高等数学的关系
2．1 中学数学与高等数学的概念界定
2．1．1 中学数学
中学时代所学的数学基本上是17世纪中叶以前的数学，它主要研究常量的运算和固定不变图形的性质．中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：表层知识和深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法[3]．
2．1．2 高等数学
高等数学是以变量及变量之间的依赖关系—函数作为研究对象的，主要是由极限论、微分学、积分学、级数理论、解析几何、微分方程等六部分组成的一个有机统一体．其中极限论是基础；微分、积分是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质；级数理论是研究解析函数的主要手段；解析几何为微积分的研究提供了解析工具，为揭示函数的性质提供了直观模型；微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分有机的联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系．
2．2 中学数学与高等数学的关系
中学数学的内容，是常量数学和变量数学的初步知识，是高等数学的基础，是高等数学中许多概念和理论的原型和特例所在．因此，从高等数学观点来看中学数学，首先就要把高等数学中的某些概念和理论与中学数学里相应的原型和特例联系起来．这样，就不仅能够加深对高等数学的理解，而且能使我们准确把握中学数学的本质和关键．总之，要力求将高等数学思想方法全面渗入中学数学，寻找高等数学与中学数学的结合点[4]．这样有利于提高教学质量和教学水平，拓展学生的解
新时代新青年题思路，提高解题能力．分层作业
2．3 数学思想在中学数学教育中的地位与作用
数学思想是在数学的发展史中形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例）以及数学方法的本质性的认识，来源于数学的基础知识和基本方法，它在中学数学教学内容的组织上起着核心的总领作用，是教材体系的灵魂．数学思想和数学方法密不可分，数学思想是其相应数学方法的精神和理论基础，而数学方法则是实施数学思想的技术手段和表现形式[5]．在中学数学教学中加强数学思想方法教学可以带来以下几点收益，首先，可以有效地帮助学生形成正确的数学观念和优秀的数学精神，是在中学数学教学中落实素质教育的有效途径；其次，可以提高中学的教学质量和教学水平；最后，有利于培养学生的创新能力和数学应用能力．
3 高等数学方法在中学数学中的应用
中学时代数学中常用的高等数学方法有极限法、求导法、微分法、积分法、行列式法、向量法、概率法等，下面以中学中常见的问题为例来说明高等数学方法在中学数学中的应用．
3．1 微积分方法的应用
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，它是建立在实数、函数和极限的基础上的，微积分是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一
[6]． 3．1．1 求函数的极值、最值
利用导数求函数的极大（小）值，求函数在连续区间[]b a ，上的最大（小）值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，从而使问题变得简单化．
例1 已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-．
（Ⅰ）试求常数a ，b ，c 的值；
（Ⅱ）试判断1x =±是函数的极小值还是极大值，并说明理由．
解 （Ⅰ）由题得，2
()32f x ax bx c '=++，因为1x =±是函数()f x 的极值点，所以1x =±是方程()0f x '=的两根，即2320ax b c ++=的两根． (1)0f '=，320a b c ++=， （1）
(1)0f '-=，320a b c -+=， （2）
又(1)1f =-，所以 1a b c ++=-， （3） 由（1）（2）（3）解得，12a =，0b =，32
c =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，313()22f x x x =-，所以2333()(1)(1)222
想象作文f x x x x '=-=+-． 当1x <-或1x >时，()0f x '>；当11x -<<；时，()0f x '<．
所以，函数()f x 在()1,-∞-和()+∞,1上是增函数；在()1,1-上是减函数．
即，当1x =-时，函数取得极大值(1)1f -=；当1x =时，函数取得极小值(1)1f =-． 注1 利用导数这一工具，我们就很容易的解决了一元三次函数的极值问题．
例2 （2005年陕西卷）用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转090角，再焊接而成（如图）．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
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解 设容器高为x cm ，容器的体积为()V x 3cm ，则
32()(902)(482)42764320V x x x x x x x =--=-+ (024)x <<，梦到蛆
求()V x 的导数，得
2()12552432012(10)(36)V x x x x x '=-+=--，
令()0V x '=，解得，110x =，236x =（舍去）．
当010x <<；时，()0V x '>，那么()V x 为增函数；
当1024x <<；时，()0V x '<，那么()V x 为减函数．
因此，在定义域()24,0内，函数()V x 只有当x =10时取得最大值，其最大值为
3(10)10(9020)(4820)19600()V cm =⨯-⨯-=．
注2 从这道高考试题，我们可以看出，帐篷的体积函数是一个一元三次函数，如果用除导数之外的其他方法，就会非常困难．应用导数这一工具，则显得非常容易．
3．1．2 求函数的单调区间
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