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不饱和度理论的数学解释
谈言微中目录
不饱和度的定义 (2)
定理1（饱和条件） (2)
定理2 (3)
定理3（延伸定理） (4)
定理4（合并公式） (7)
小结 (7)
回到有机化学 (7)
苯环的不饱和度计算 (8)
附录 (8)
证明中可能用到的知识 (8)
不饱和度的定义
设共有N 个原子的有机物中，i D 表示有机物分子中第i 个原子共用电子的数量。则该有机物分子的不饱和度Ω为
1
11(2)2N i i D =Ω-∑＝＋
为了简化计算，也可以这样定义： 设i N 表示有机物分子中i 原子的数量，i D 表示i 原子共用电子的数量。
11(2)2
i i N D Ω-∑＝＋
下面的证明中主要用到第一个定义。
为了方便论述，下面把有机物分子抽象成一幅无向图（注：这里指图论中的图，不清楚的请看附录），
把原子看成顶点，把共价键看成边。暂且称这幅图为有机物的关系图。
如无特殊说明，下文中的“图”均指“无向图”。
定理1（饱和条件）
如果一个有机物只包含单键且不含环，则它的不饱和度为0。甲鱼红烧怎么做
证明：
由于有机物不含环，其关系图为一棵树。设结点数为N ，边数为E ，则满足-1E N =。
把每条边从中间切开两半，分别分配给与之相连的结点。由于原子i 与i D 个原子成
单键，所以顶点i 共分得了i D 个半条边。所以1
12N
i i E D ==∑ 所以1
催人泪下的父亲悼词112N
i i N D =-=∑ 而1111
1111(2)212222N N N N
i i i i i i i D D D N ====-=-=-=-∑∑∑∑ 所以1
11(2)02N
i i D =Ω-=∑＝＋
证毕.
可以证明：一个连通图饱和（不饱和度为0）的充要条件是该图为一棵树。
定理2
用一个“x 键”将一个新的顶点连到无向图上，无向图的不饱和度增加x-1。
证明：
假设共有N 个顶点的图G 的不饱和度为0Ω，现在引入第N+1个顶点，在第N 个顶点与第N+1个顶点间连x 条边。则'N N D D x =+，1N D x +=
111111011(2)('2)(2)211(2)(2)(2)211(2)(2)21
N i N N i N i N i N i i D D D D D x x D x x x -+=-==⎛⎫Ω-+-+- ⎪⎝⎭
⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭
⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭
自律=Ω+-∑∑∑＝＋＋＋
危险的反义词是什么证毕.
利用定理1和定理2，可以这样求上图的不饱和度：
Ω＝0
Ω＝1
Ω＝1
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利用这种逐步构造的方法，可以证明，对于无环图，(1)x N x Ω-∑＝
。其中x N 为
x 键的数量。
定理3（延伸定理）
在无向图的任意两个顶点间连一条边，图的不饱和度增加1；向无向图添加一个度为0的顶点，图的不饱和度减少1。
证明：
在顶点数为N 的无向图的顶点N-1、N 间连一条边，则11'1,'1N N N N D D D D --=+=+。 2111
1111'1(2)(2)2211(2)21
论争N N i i i i N N i i D D D -==-=+++=Ω--=-Ω+∑∑∑＝＋＋
向无向图添加一个度为0的顶点N+1，则10N D +=。 111(2)21'1
(2)21
N N i i D D +=+-=Ω-Ω-∑＝＋
证毕. 定理3实际上是定理2的推广，包括了定理2。
通过定理3，我们可以确定一种求不饱和度的方法：在保证关系图连通的条件下不断删去图中的边，直到剩下的图为一棵树。删去的边数等于不饱和度。这可以通过定理1和定理3来证明：剩余的图是一棵树，所以不饱和度为0；按照删边的顺序反过来逐条添加边可以得到原关系图。所以原关系图的不饱和度等于所删的边数。
我们可以这样计算上图的不饱和度：
剩余图 已删除边数
