第４０卷第７期大 学 物
理
Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．７２０２１
年７月
ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｊｕｌｙ２０２１
收稿日期：２０２０－１０－０１；修回日期：
２０２０－１１－０４
作者简介：
耿志浩（１９８３—），男，山东威海人，北京化工大学数理学院副教授，博士，主要从事物理教学和非常规超导体的研究等工作一种安培环路定理的讲法
耿志浩
（北京化工大学数理学院，北京１０００２９）
摘要：在面向非物理专业的大学物理教学中，本文提出了一种安培环路定理的讲法，证明方法简单直观，可以加深学生对
定理的理解，适合在教学实践中采用．
关键词：毕萨定律；安培环路定理；立体角中图分类号：Ｏ４４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２１）０７ ００１７ ０２【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２００４４６
在常见的物理教材中，处理安培环路定理证明的方法，通常有三大类：第一类［１
］是仅针对无限长载流直导线的磁场进行证明，然后将结论直接推广到任意形状闭合载流导线的情形，第二类［２，３
］是变换毕萨定律积分形式，应用立体角的概念理解和计算安培环路积分；第三类［４
］是利用场论方法，由Ｂ
＝
图１ （－ｄｌ２）×ｄｌ１
ｒ２
·（－ｅｒ）的几何意义
图２ ∮
ｌ１（－ｄｌ２）×ｄｌ１
ｒ２
·（－ｅｒ）的几何意义
这样就知道了式（２）左右相等的物理含义是：每沿ｄｌ２方向一个微元Ｂ·ｄｌ２的值，就相当于整
个载流线圈ｌ１整体向下扫过－ｄｌ２位移，所扫过的环形面元对Ｐ点构成的立体角ｄΩ，再乘系数μ０Ｉ
４π
．
则完整的积分∮
ｌ２Ｂ·ｄｌ２，其值就等于整个载流线
圈ｌ１整体沿－ｄｌ２方向扫过一个对应的反向Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′矩形回路，Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′回路如图２所示，所扫过的总面元对Ｐ点所构成的总立体角W，再乘系数μ０Ｉ
４π
，即
∮ｌ
２Ｂ·ｄｌ２＝μ０Ｉ４πΩ（４）
该总面元则如图３，由于假设的是平面载流线圈ｌ１和垂直方向的矩形安培环路ｌ２，故整个载流线圈ｌ１所扫过的面元形状是图３中的左右两个柱面的侧面以及上下底面，且可根据（－ｄｌ２）×ｄｌ１判断各个具体面的面元方向．
１）在上下底面处，两个柱面之间的部分（即图
３中最深色面元部分），在线圈扫过时，会由于线圈左右两侧重复扫过该区域，且扫过的面元方向相反
而抵消，故线圈扫过的全部面元对Ｐ点立体角有贡献的只有左右两个柱面的全部外表面．
图３ ∮
ｌ２∮ｌ１
（－ｄｌ２）×ｄｌ１
ｒ２
·（－ｅｒ）的几何意义
２）左侧柱的外表面对Ｐ点形成立体角时，面元法向方向全部指向柱的内侧．
３）右侧柱的外表面对Ｐ点形成立体角时，面元法向方向全部指向柱的外侧．
由于左侧柱不包含Ｐ点，所以左侧柱外表面对
Ｐ点立体角的贡献为０，而右侧柱包含Ｐ点，所以右侧柱外表面对Ｐ点的立体角的贡献为４p，故总立
体角Ω＝４p，代入式（４），得
∮ｌ
２
Ｂ·ｄｌ２＝μ０Ｉ（５）容易看出，若载流线圈ｌ１与安培环路ＡＢＣＤ没有形成套连关系，比如将环路ＡＢＣＤ向右平移使其与线圈ｌ１不相套连，则Ｐ点将完全不会被左右柱面包围，此时总立体角Ω＝０，可得
∮ｌ
２
Ｂ·ｄｌ２＝０（６）然后，可向学生表明，虽然该证明取的是矩形安培环路，但若将矩形回路弯曲一下，变为任意形状的安培环路，该结论仍然成立．至此，定理讲完．
２ 总结
在面向非物理专业的大学物理教学实践活动中，本文提出采用一种新的特例，即“任意形状平面载流线圈和矩形安培环路”的特例，来讲解安培环
（下转２４页）
布的正确性．
利用本文的方法和结果可以深入讨论导体平行板电容器的电势和电场以及能量的分布规律．
参考文献：
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Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｃｈａｒｇｅｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｎｔｈｅｓｔｕｄｙｏｆ
ｃｈａｒｇｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｌａｗｏｆｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙｌｏｎｇｃｏｎｄｕｃｔｏｒｔｈｉｎｐｌａｔｅ
ＺＨＯＵＱｕｎ ｙｉ１，ＭＯＹｕｎ ｆｅｉ２，ＺＨＯＵＬｉ ｌｉ３，ＨＯＵＺｈａｏ ｙａｎｇ４
（１．ＧｕａｎｇｚｈｏｕＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ５１０５４０，Ｃｈｉｎａ；
２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣｈａｎｇｓｈａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ，Ｈｕｎａｎ４１００２２，Ｃｈｉｎａ；
３．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｄｉｃａｌａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＧａｎｎａｎＭｅｄｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇａｎｚｈｏｕ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ３４１０００，Ｃｈｉｎａ；
４．ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈａｎｇ’ａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ，Ｓｈａａｎｘｉ７１００６４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇｔｈｅｃｈａｒｇｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｌａｗｏｆａｕｎｉｆｏｒｍｌｙｃｈａｒｇｅｄｃｙｌｉｎｄｅｒｏｆｉｎｆｉｎｉｔｅｌｅｎｇｔｈａｎｄｔｈｅｆｉｅｌｄｓｔｒｅｎｇｔｈｆｏｒｍｕｌａｏｆａｎｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙｌｏｎｇｃｈａｒｇｅｄｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅ，ａｎｄａｄｏｐｔｉｎｇｔｈｅｃｈａｒｇｅｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｓｕｒｆａｃｅｃｈａｒｇｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆａｃｈａｒｇｅｄ
ｃｏｎｄｕｃｔｏｒｏｆｆｉｎｉｔｅｗｉｄｔｈａｎｄｉｎｆｉｎｉｔｅｌｅｎｇｔｈｈａｓｂｅｅｎｄｅｄｕｃｅｄ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｅｌｅｃｔｒｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ，ｔｈｅｅｌｅｃｔｒｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌｉｎｔｅｇｒａｌｆｏｒｍｕｌａｉｓｄｅｒｉｖｅｄ；ｕｓｉｎｇｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｆｉｅｌｄｓｔｒｅｎｇｔｈａｎｄｅｌｅｃｔｒｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ，ｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｌｆｏｒｍｕｌａｏｆｔｈｅｔｗｏｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓｏｆｅｌｅｃｔｒｉｃｆｉｅｌｄｓｔｒｅｎｇｔｈｉｓｄｅｒｉｖｅｄ．Ｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｉｓｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ，ａｎｄｔｈｅｖａｌｕｅｓｏｆｔｈｅｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓｏｆｅｌｅｃｔｒｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌａｎｄｆｉｅｌｄｓｔｒｅｎｇｔｈａｒｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄｔｈｒｏｕｇｈｎｕｍｅｒｉｃａｌｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ．Ｔｈｅｅｌｅｃｔｒｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌａｎｄｆｉｅｌｄｓｔｒｅｎｇｔｈｏｆｔｈｅｃｈａｒｇｅｄｃｏｎｄｕｃｔｏｒｓｈｅｅｔｏｆｆｉｎｉｔｅｗｉｄｔｈａｎｄｉｎｆｉｎｉｔｅｌｅｎｇｔｈａｒｅｓｈｏｗｎｉｎｔｈｅｐｉｃｔｕｒｅ，ａｎｄｔｈｅｔｗｏ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｅｑｕｉｐｏｔｅｎｔｉａｌｌｉｎｅｓａｎｄｅｌｅｃｔｒｉｃｆｉｅｌｄｌｉｎｅｓａｒｅａｌｓｏｄｒａｗｎｉｎｔｈｅｄｉａｇｒａｍ，ｗｈｉｃｈｆｕｌｌｙｓｈｏｗｓｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｌａｗｏｆｆｉｅｌｄｓｔｒｅｎｇｔｈ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｈａｒｇｅｄｃｏｎｄｕｃｔｏｒｓｈｅｅｔ；ｅｌｅｃｔｒｉｃｐｏｔｅｎ
ｔｉａｌ；ｅｌｅｃｔｒｉｃｆｉｅｌｄｓｔｒｅｎｇｔｈ；ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓｄｒａｗｉｎｇ（上接１８页）
路定理．该方法，一方面对立体角的数学论述更少，另一方面向一般情形的推广，也从物理直觉上更易让学生接受，更能加深学生的理解．笔者的教学实践表明，该方法操作简单可行，可供大家参考．
参考文献：
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［３］ 梁金柱．安培环路定理的一种证明方法［Ｊ］．大学物理
２００２，２１：２５－２７．
［４］ 蔡圣善．电动力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４：１１－１２．
ＯｎｅｗａｙｔｏｅｘｐｌａｉｎＡｍｐｅｒｅ ｓｃｉｒｃｕｉｔａｌｔｈｅｏｒｅｍ
ＧＥＮＧＺｈｉ ｈａｏ
（ＢｅｉｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＣｈｅｍｉｃａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００２９，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｎｅｗｄｉｓｔｉｎｃｔａｎｄｃｏｎｃｉｓｅｍｅｔｈｏｄｔｏｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈｅＡｍｐｅｒｅ’ｓｃｉｒｃｕｉｔａｌｔｈｅｏｒｅｍｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｆｏｒｇｅｎｅｒａｌｐｈｙｓｉｃｓｃｏｕｒｓｅｏｆｎｏｎ－ｐｈｙｓｉｃｓｍａｊｏｒｓ．Ｉｔｉｓｐｒａｃｔｉｂａｌｔｏｅｎｈａｎｃｅｓｔｕｄｅｎｔｓ’ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｏｎｏｆｔｈｉｓｔｈｅｏｒｅｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｂｉｏｔ－Ｓａｖａｒｔｌａｗ；Ａｍｐｅｒｅ ｓｃｉｒｃｕｉｔａｌｔｈｅｏｒｅｍ；ｓｏｌｉｄａｎｇｌｅ
