2021年2月第38卷第2期湖北第二师范学院学报
JoumvC of Hubei University of Education
Feb.2021
Vol. 38 Na 2
幕律流体在多孔介质中球向渗流的分形模型
王世芳1，吴涛2，苏怡1
（1.湖北第二师范学院理论物理研究所，武汉430205；
2.武汉工程大学光学信息与模式识别湖北省重点实验室，武汉430205）
摘 要：本文基于分形理论，首先研究了幕律流体在多孔介质中球向流动的特性，建立了分形 多孔介质中幕律流体球向流动的渗透率分形模型，并把无量 率与已有模型进行比较，验
证了本模型的正确性。研究结果表明幕律流体球向渗透率随孔隙率和幕指数n 的增加而增
加，随迂曲度分形维数和径向半径r 的增加而减小。
关键词：幕律流体；多孔介质；分形理论；渗透率
中图分类号:O35 文献标识码:A 文章编号:1674-344X （ 2021） 2-0032-04
1引言
自20
60年代以来，在油田开发过程中
来
的使用聚合物溶液、 液和 液等
非 体作为 ，因此 非 体的
规律具用重要的
意义。非 体的显
征是流量和 梯度不满足线性关系。目
,
了各 体在多孔介质中的传
质特性，取 了较大的 进展"门-⑹。文
⑷ 了律
体在多孔介质作
的 率
，得到了需律流体有效渗透
率随需律指数n 的加 加的 $ "6#了需律流体在 络中的有 率
和相对 率的解析表达式。尽管
有助于
理解需律流体在多孔介质中的流动机
理，但是 律流体在多孔介质中作球向流动的研
有报道。
2 Z 律流体在多孔介质中球向渗流的渗透率分
形模型
球向 设 管沿球径向 ，该
是石油开采中的一个重要
$ 在 有
完全射开的
开
，球向
符合实
气等储，流体从 外部向 中心（即井
中心）流动，其中r 为
区域的 ，r 为
，图1为多孔介质中需律流体球向 的
示意图。
孔介质的孔隙大小
足分形分
布，在一个多孔介质 性单元体内，孔隙 大
于 于入的累计孔隙数目
为"8#（
N& L （0 =（令）N
（1）
A
对上式微分，于是得到：
dN 二N 0mt 入「（N + 1）d 0
（2）
其中N 与入…^分别代表孔隙面积分形维数
收稿日期：2020-12-02
作者简介：王世芳（1978 -），女，湖北荆州人，教授，研究方向多孔介质的输运特性及分形理论的应用。
・32
・
(10)
及最大孔隙直径
多孔介质的孔隙总面积可以写成;
(3)
1 Np
>
5!N B ( A P )5 0+ 5
> '0(35 +1) 23+t (3 + —T -N p )>
由孔隙率的定义得一个代表性单元的总横截
面积为:
'='="D/mcc 1 _ ' 0= ' 4 (2-N )'
(4)
其中代表性单元体面孔隙率'与分形维数N 的关系满足下列关系式[2]:
'=()心
(5)
/I mcc
其中d E 为欧几里得空间维度数，在二维欧氏
空间=2，在三维欧氏空间=3，下面我们推
导多孔介质中需律流体球向渗流的渗透率。
令式(10)中，上式就可以表示为牛顿流体在为 > 的 均 速：
v = _Q = >
!N p ApP 00C (11)
4!>2_ >128心(3+N t -N p )严 (丿
方程(11)与苗同军"21 #模型结果一致，从而 说明了本模型的正确性。
接下来我们要推导需律流体的视粘度1$ 需律流体在毛细管管壁处所受的剪切应力-与
压强梯度满足下面关系式：
0 A P = 0 A P 4 14 r NT 0l ~Np
(12)
多孔介质的毛细管一般是弯曲的，毛细管的
实际长度可表示为：
L ：=r D T 01-D T
(6)
迂曲度分形维数N 代表了毛细管的弯曲程 度，其值越大代表毛细管越弯曲$
需律流体流过单根弯曲毛细管的流量为：
q ( 0) =
5770 如(21) (7)
(35 +1) 1523+5 > T
通过积分得到需律流体流过球形多孔介质某
联立公式(2)和(12)，推导出总剪切应力为:
=_ 40cc 4A P N p 0N c
丁 _ _ 可Ai/”处 一 '0 4 >N T~N P >
个截 的总 量为:
"1 -
(/I min ) Np-N p #
0 msc
根据需律流体的视粘度定义为：
&13)
-
1 =7
&14)
律 体的
为：
'5
-=1
&15)
根据式(13 )(14)和(15)，推导出需律流体的
0max
Q = - 一 / q (0)d!
^0 0min
1
N 45! > n (
2 〒人1存
1 2 D N '0 (35 +1) 1523 + 5 (3 +— -DM >5
5
视 为：
i ( 4!0A P D p 0 r 1 - A in \ N t _N p 1 门一丄
1 + : '0 4 N (N t -p ) 11-( 0。)
I 05
"1-(怦)
\ /I mac C
N 3+V -Dp
(8)
在绝大部分多孔介质中，因为1)N t )2,1 )N p )2，严“。’2始终成立，所以方程(8)可以简
/I msc
为:
1 +NP
Q =
45! > N p (
厂0L 存
(9)
1
2
N Np
'0(35 + 1) 1523 + 5 (3 + —- N p ) >5
则需律流体流过半径为 >的球形横截面的平
均流速为：
v = -!> =
4 !>2
&16)
需律流体渗流满足的广义达西定律为⑷：
K A P V =----1 N
&17)根据(11 )(16)(17)从而推导出需律流体在
半径r 处球形横截面的有效渗透率公式为:
泸
5!
N T
1
2
N
'0一一5 (3 5 + 1 )23^3-N B +冬
05
!N p[1 _( A m 。0”J ""I 0 1 一丄
(N-N p ) 0 "
如果5 = 1，上式(18)可以简化为:
! N p 01N N _ 128'03 +N t -N p N
&18)
&19)
上式(19)表示多孔介质中牛顿流体在离球
-33 -
中心厂处有效球向渗透率，此结论与苗同军"21 #研
的 ；式(18) 在孔介质中需律流
体球向 的有
率 达式。式
(18)中包含
维数N p %N r ，最大孔隙
,
最小孔隙
0mo
r ，没有任何经
数，
每一个物理量都有意义。所 (18 ) 了
孔介质中需律流体球向 的有
率的物理
理。当厂=r °时,(18)
为
4-Z
K _r 0 5_____________5!_____________
0 r '2一(3n + 1)23+53 -N P +?
(20) 律 体在球 的有
率，为了得到归
率，用(18):
(20)，到律流体球向流动
量 ；
透率：
K =(二)一D
-
(21)
r 0
( 21 ) 了 律 体 量 球向
率只取决于
维数D p 的 r 和
r ，与指数n $此 与
"20#
的
相同，该达 说明了无量纲率与
系的选择 ，仅取 于多孔介质
的
数和 $
3结果分析
为了检验模型的正确性，我们将得到的无量
纲渗透率模型(式21)与Chang 和Yorttsos"9#提岀
的 率 作比较：
K r =K 0 (r Dp"-
(22)
其中-是 络的谱指数，是量
数,
是由 孔介质的
数来确定，一
般由蒙
确定$
(22)
为无量纲渗透率：
其中D p 代表孔隙
维数，在二维空
间中，1 <D p <2 ，在三维空间中，1 5 <3 $ D p
大 孔隙的总
大，需律流体在孔隙中
流动越自由。D p 的值确
通过 '-
(0°)八确定$从公式(21)(23 '可以看岀，只
mat
要给定3%N p 和D p ，需律流体球向渗流的无量纲
率 由
( 21) ( 23) 来 $
图 2 本模型(式 21 )与 Chang and Yortsvs ' s
模型Eq. (23)的比较，赋值参数如下:D p = 1.7 ,' = 0.4,3 = 1,D p = 1.5$对于大多数多孔介质来
说，孔隙率一般在0. 1〜0. 5之间，本文孔隙率' 二0.4 $从图2 看岀： 厂越大，无量
球向 率越小，当厂〉r 时，量球向 ：率 于零。这是因为 厂越大，球横截面
管的数目越少，从导 量
率越
小，这和 情况相 $从图2中 看岀
我们的
与已有的Chang and Yortsvs t
如合
图2 显示了幕律流体无量纲球向渗透率随
径向半径比r 的变化关系
图3显示了球向有效渗透率(式18)和迂曲
维数D p 的关系，所用参数赋值如下:r -
0. 1m ，厂二100m ,n = 1.1 $我
律流体球向
有 率随 维数的增大
[$这
是因为 维数 大, 说
律 体 动
，律体所受的流动
大，导致
率越小，这与 际情况相符。另外， 看
孔隙率越大，需律 体球向有
率越大。
是因为孔隙率 大, 体 动 , 率
高，与际情况相符。
图 4 显 了有 球向 率随 指数的
关系图，所用参数赋值如下：r 二0. 1m , r - 10m ,
D t 二1.2$从图4中我
律流体的需指数n 大，球向有
率越大。这是因为需律流体的需指数越大， 非
体特征
，从而
导 率 大$
・34
・
图3 幕律流体球向渗透率随孔隙率及
迂曲度分形维数的变化关系
图4幕律流体球向有效渗透率随幕指数的
变化 系
4结论
据需律流体满足的达 律和多孔介
质的 几何理论，推导岀了多孔介质中需律流
体球向 的有 率，该有 率
与多孔介质 数和需律流体的特性有关,
每个物理量物理含义明确。
参考文献：
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A Fractal Permeabdity Model for the Power - law
Fluid Sphsicol Flow in Porous Media
WANG Shi-fang 1 ,WU Tao 2 ,SU Yi 1
(1 • Institute of Theoretical Physics , Hubei University of Education , Wuhan 430205 , China ；
2. Hubei Key Laboratoo of Optical Information and Pattern Recognition , Wuhan Institute of
Technology , Wuhan 430205 , China)
Abstract : In this paper , the characteristics of spherical How of power law fluid in porous media is studied bad
on the mactal theoo , and the mactal permeability model for power law fluid spherical flow in fractal porous
media is established. The dimensionless permeabdity for power law fluid spherical flow is compared with
avvilable expression. The coaectness of this model is proved. The results show thai the e/ectivc permeability Or spherical epage increas with the advvncc of the porosity and the power - law fluid index n and decreas with the increa of the tortuosity fractal dimension and radial radius r.
Key words : power taw fuid ； porous media ； fractal theora ； permeabdity
・35
・
