阿伦方差[精华]
1.
阿伦方差的定义，计算方法以及物理意义。
David AIlan于1966年提出了Allan方差,最初该方法是用于分析振荡器的相位和频率不稳定性，高稳定度振荡器的频率稳定度的时域表征目前均采用Allan方差。由于陀螺等惯性传感器本身也具有振荡器的特征，因此该方法随后被广泛应用于各种惯性传感器的随机误差辨识中。
Allan方差的基本原理如下:设系统采样周期为τ，连续采样N个数据点.Y(i)，i=1，2，3…N。对任意的时间r=mτ，m=1,2…N/2,由式(1)求改族时间内各点的均值序列Y(K),由式(2)求取差值序列D(K).
KM，,1
Yi(),JK,Y(K)=1/M K=1,2…N-M+1 (1)
D(K)=Y(K+M)-Y(K) K=1,2…N-2M+1 (2)
普通AlIan方差的定义如式(3)。其中<>表示取均值， σ=1，2，?，Round((N,m)-1)。
2 2,(τ)=1/2<D((P-1)M+1)>(3) yn
Allan方差反映了相邻两个采样段内平均频率差的起伏。它的最大优点在于对各类噪声的幂律谱项都是收敛的;此外每组测量N一2，大大缩短了测量的时间。
)计算: 交叠式Allan方差由式(4
2,yn(τ)=1/2<D(P)2> P=1,2…N-2M+1 (4)
衡量陀螺精度的一个非常重要的指标是陀螺随机漂移(drift)，又指偏置稳定性(bias stabil—ity)以及零偏稳定性，不同应用场合对陀螺的漂移精度提出不同的要求。MEMS的随机误差具有慢时变、非平稳的特点，因而对其的辨识更适
合采用Allan方差分析法。然而由于在相同的置信水平之下，交叠式Allan方差分析方法比普通的Allan方差具有更大的置信区间.
所谓频率稳定度是指任何一台频率源在连续运行之后，在一段时期中能产生同一频率的程度，即频率随机起伏的程度。造成频率起伏的根本原因是噪声对信号相位或频率调制的结果。这种调相或调频所引起的频率不稳定度在时域表现为频率随时间的起伏，在频域表现为信号的频谱纯度。时域频率稳定度一般用阿伦方差来表征.
频率稳定度最常用的表达式是阿
伦方差(Allan variance)，根据稳定度时间的长短，分为频率短期稳定度，如lms，lOms，lOOms，ls稳定度等，中长期
稳定度，如ls，10s一?，10000s稳定度等。频率短期稳定度和中长期稳定度虽然它们的定义是一样的，但反映的却是信号稳定度方面不同的特性。短期稳定度表征了信号的抖动水平(fluctuation)，而中长期稳定度则代表了信号频率随时问的漂移程度(drift)。时域短期频率稳定度在时测量非常困难，甚至是不可能的，但此时进行频域测量则比较容易，因此，可以将测量的频率短期稳定度即相位噪声转换为时域的阿伦方差实现对时域短稳的间接测量。相噪理论和统计学认为，频域的相位噪声和时域的阿伦方差是等效的，如果求得了彼此间的换算关系，可
以进一步揭示出各表征量的物理性
4. 用阿伦方差与统计平均及均方差在误差描述方面的差异，以及各自的优缺点
(1)均方差也叫标准差,方差开根号为均方差,工程中其量纲与变量一致,应用较广.
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差;样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
数学上一般用D=E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度，称为X的方差,D开根号为均方差.
定义 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}，而σ(X)=D(X)^0.5(与X有相同的量纲)称为标准差或均方差。
在统计学中，均方差是对于无法观察的参数 θ 的一个估计函数T;其定义为:它是"误差"的平方的期望值.误差就是估计值与被估计量的差.
(2) 对于一个给定的样本，统计平均值(即样本均值)就是算术平均值，当然样本具有二重性，所以样本均值也可理解为随机变量(对于数理统计这种观点占主流)，而算术平均只是一个实数.
统计平均值?系统的某些物理量,如密度、压力(强)、内能等宏观量,有明显的微观量与其对应，宏观量的观测是在宏观短而微观长的时间内进行的，所得结果是微观量在微观长的时间中的平均值。 因此，一切可观察的宏观物理量都是相应微观量的统计平均值。
统计平均值在大多数情况下都是该统计量的一直最小方差无偏估计
(3)阿仑方差是美国人阿仑于1966年提出的，作为频率稳定度的表征量。阿仑方差强调取样时间，对频率稳定度表征方法的统一，有所贡献。
但是阿仑方差在某些方面是有错误的。阿仑方差推导一开始就用贝塞尔公式，这里有个前提问题。贝塞尔公式是在数学期望、方差存在的条件下得出的，而阿仑方差面对的条件变了，遇到发散困难，无方差无数学期望，贝塞尔公式本身已失去成立条件，怎能再用。这是阿仑方差的一个前提性错误。
阿仑方差在推导中令T=τ，强调采样时间，是正确的。又顺手令N=2，则绝对不行。对贝塞尔公式，绝不能令N等于2。N足够大是贝塞尔公式成立的条件;
令N等于2，否定了贝塞尔公式的成立条件，也就否定了贝塞尔公式本身。阿仑方差是从贝塞尔公式出发的，却又令N等于2，这样阿仑方差已自毁根基。
阿仑方差物理意义费解,阿仑方差统计元中的根号2使其物理意义费解。是错引贝塞尔公式，错取因子(N-1)造成的。
不确定度理论规定用阿仑方差表征频率的总指标，是错误的。
ISO指导书称:频率测量用阿仑方差表达指标。这种用阿仑方差表达频率的总体特性，即包括稳定性与准确性的做法，完全错位，可能低估偏差范围几个量级。
