第七章投票博弈与权力指数的计算
一、投票博弈与规则
二、夏普里权力指数
我们看到联盟博弈中的博弈参与人在某个联盟中的边际贡献为，它的加入给联盟带来的增加的联盟值。而夏普里值反映的是参与人的平均边际贡献或期望边际贡献。
在投票博弈中参与人在某个联盟的边际贡献体现为他加入到某个联盟的结果猪油两种情况：使的某个本不可获胜的联盟获胜，或者没有改变局势。这样，夏普里值所反映的是参与表决者在一个投票体中的平均边际贡献或期望边际贡献，而这个平均边际贡献或期望贡献反映的是投票者在这个投票体中的平均力量或期望力量。因此，此时的夏普里值反映的是投票人的“权力”。
夏普里—舒比克将夏普里值用于投票分析，所得的投票决策者的夏普里值就为夏普里—舒比克权力指数（Shapley-Shubik Power Index）。
考虑这样一个例子。有A、B、C三个人，A有两票，B、C各有一票，这三个人组成一个群体，对某项提案进行投票，假定此时的决策的规则是“大多数”规则，即若获得3票，即得到通过。他们各自的夏普里—舒比克权力指数为多少？
表8-2 投票体（3；2，1，1）的关键加入者分析
次序 | ABC | ACB | BAC | BCA | CAB | CBA |
关键加入者 | B | C | A | A | A | A |
| | | | | | |
A、B、C三者的夏普里—舒比克权力指数分别为：
；
；
。
让我们看两个实际例子：
（1）傀儡的卢森堡。1958年欧共体有6个国家，它们是法国、德国、意大利、荷兰、比利时和卢森堡。法国、德国和意大利的票数为4张，荷兰、比利时为2张票，卢森堡为1张票。总票数为7张。投票规则为多数，即一个提案获得17张的12张或以上就获得通过。让我们用根据夏普里—舒比克权力指数来分析欧共体各国的权力。
表8-3 投票体（3；2，1，1）的夏普里—舒比克权力指数
投票体为（12；4，4，4，2，2，1）。表8-4为各国的票数与夏普里—舒比克施耐庵的作品
权力指数：
表8-4 1958年欧盟各国的权力分布
国家 | 德国 | 法国 | 意大利 | 比利时 | 荷兰 | 卢森堡 |
票数 | 4 | 4 | 4 | 2 | 2 | 1 |
权力指数 | | | | | | |
| | | | | | |
由此可见，卢森堡尽管有1张票，但其权力为0，即尽管卢森堡的财政部长每次都在投票，但他在任何情况下对提案均不会产生任何影响。卢森堡完全是一个摆设！
（2）联合国权力分析
1965年前联合国安理会有5个常任理事国和6个非常任理事国。5个常任理事国有否决权。提案通过的条件：有7张票或7张以上的票，且无否决票。
夏普里—舒比克通过计算，5个常任理事国的权力指数和（98.7%），6个非常任理事国的权力指数和为（1.3%）。让我们来计算一下常任理事国和非常任理事国的权力指数。
我们用A表示常任理事国的投票变量，B表示非常任理事国的投票变量。让我们先计算“非常任理事国”的权力指数。
对于一个可能的排列：
AAAAABBBBBB
黑体B为“关键投票者”。某一“非常任理事国”B处于“关键投票者”的位置的可能排列个数为：
。
总的可能排列为：
。
因此一个非常任理事国的权力指数：
6个非常任理事国的权力指数和为：。5个常任理事国的权力指数和：。
1965年后：增加了4个非常任理事国。5个常任理事国的权力和为98.1%。其他10个非常任理事国的权力指数和1.9%。计算方法如下：15张票中5个常任理事国没有否决票且10个非常任理事国有4张票“同意”，一个可能的排列为AAAAABBBBBBBBBB。一个非常任理事国的夏普里—舒比克权力指数为：。10个非常任理事国的夏普里—舒比克权力指数为1.86%；5个常任理事国的夏普里—舒比克权力指数为98.14%。
夏普里—舒比克权力指数也可用于经济分析。夏普里—舒比克在《委员会体制中权力分布的一个计算方法》中说：一个有股份40%的股东，其权力为各拥有0.1%的400个股东的每
个股东权力的1000倍，尽管股份比为400:1。
三、班扎夫（Banzhaf）权力指数
班扎夫（Banzhaf）权力指数是另一个著名的权力指数。
班扎夫权力指数是由法律专家班扎夫（John. F. BanzhafⅢ）于1965年提出。班扎夫权力指数是指：在投票中，当各投票者本身所拥有的票力使得自身均不能单独成为使得提案通过时，各投票者没有绝对的表决权。但是，他们之间可以形成获胜的联盟（coalition）使得提案获得通过。此时，各投票者的权力体现在投票者能够与其他投票者建立联盟上。即，投票者的权力体现在其能通过自己加入一个要失败的联盟而使得这个联盟获胜，这也意味着其能通过背弃一个本来要胜利的联盟而使得它失败。这就是说，该投票者是这个联盟的“关键加入者”。一投票者的权力大小就是其是作为获胜联盟中的关键加入者的个数。
这就是班扎夫权力指数的概念：一投票者的权力大小就是其作为获胜联盟中的关键加入者的个数。我们往往对之进行“标准化”，即用权力指数比来刻画班扎夫权力指数。权力指数比是指，每一个投票者的作为获胜联盟中的关键加入者的个数占整个投票博弈中各个投票者的关键加入者的个数之和的比值。
再来分析刚才的例子：有A、B、C三个人，A有两票，B、C各有一票，这三个人组成一个群体，对某项提案进行投票，假定此时的决策的规则是“大多数”规则，即若获得3票，即得到通过。即投票体为（3，2，1，1），他们各自的Banzhaf权力指数有多大？
要求得Banzhaf权力指数，即要求得各个投票人作为在“获胜联盟”中作为“关键加入者”的个数。对于这个例子，获胜的联盟有：
AB、AC、ABC
对于这3个可能获胜的联盟来说，A在AB、AC、ABC，B在AB，C在AC中是关键加入者。因此，A他的权力指数是3，B的权力指数为1，C的权力指数是1。A、B、C的权力指数之比是3:1:1。
归一化或标准化后，这样我们可得，A、B、C的班扎夫权力指数：
。
表8-5 （3；2，1，1）的班扎夫权力指数分析
四、投票悖论与阿罗不可能性定理
上面讨论的是一个多人组成的投票体对一个提案进行表决时的决策情况。如果一个投票体对多个候选对象进行投票以选择出一个最优者，情况会如何？
这是一个对多个候选对象进行排序的过程。单个的理性的人能够对多个提案进行“理性的”排序，并做出决策。但是，如果一个决策单位不是决策基元、而是一个群体，在对多个提案进行排序时可能出现悖论。
循环投票悖论，又称孔多塞悖论、阿罗悖论。早在1785年法国人孔多塞侯爵发现了在两两相决的投票中存在悖论。20世纪50年代，著名经济学家阿罗将该问题深化。
这个悖论是这样的：假如对3个候选人进行表决，投票者对A和B进行投票，A获得胜利，对B和C进行投票时，B获得胜利。此时，按常理，我们说A获得胜利。但是，当投票者在A与C间进行投票时，一种很有可能的情况是：C战胜A！
这就是孔多塞悖论。
我们在第一章中对决策者作了一假定，当决策者认为“甲优于乙”，并且“乙优于丙”，那么自然地投票者会有“甲优于丙”。即：对一理性的人来说，关系“优于”具有传递性。这个悖论表明，对由多个理性的人组成的一群体来说，“优于”的关系则不具有传递性。
阿罗从更一般的意义上研究了该问题，而不仅仅限于投票以决出候选人或候选方案。他研究了一个群体如何加总群体中的各个成员的偏好。
所谓加总社会偏好即找到一个社会偏好函数。阿罗提出了这样的函数要满足4条共设：第一，定义域不受限制；它适合所有的个人的偏好类型；第二，非独裁：即社会偏好不以一个人或少数人的偏好来决定；第三；帕累托原则：所有人的偏好都认为甲优于乙，那么社会偏好也是甲优于乙；第四，独立性：即不管个人对除了a与b其他的偏好顺序发生什么变化，只要所有个人对a与b的偏好不变，那么社会对a与b的偏好不变。
这4条共设是明的。但是，阿罗论证了，不存在满足上述4条公式同时具有传递性的社会福利函数。我们设计出来的揭示偏好的选举方法，往往不满足“群体理性”条件中的传递性条件。我们在数学中的“大于（）”的关系是具有“传递性的”：如果，并且，那么。如果社会选举或评价的结果是“甲优于乙”，“乙优于丙”并且“甲优于丙”，那么社会偏好就满足传递性的假设。但事实上，在非独裁的情况下我们往往做不到。这就是阿罗不可能性定理的意思。
现在让我们举一个例子：
我们假定有3群人、、，这3群人要对一公共提案进行表决。比如，他们要表决的是他们所居住城市的设计方案。假定有3个设计方案（“方案1”）、（“方案2”）、（“方案3”）。他们要对这3个提案进行决策，要在它们之间选出一个来。
假定：A群体的偏好顺序是，B群体的偏好顺序是，而群体的顺序是。
假定3群人先是在（“方案1”）与（“方案2”）之间进行表决，那么结果因与对（“方案1”）比对（“方案2”）有更多偏好，（“方案1”）以获胜。即：战胜。
接着他们在（“方案2”）与（“方案3”）之间进行表决。因对和来说，（“方案2”）与（“方案3”）相比，他们均偏好（“方案2”）。这样，（“方案2”）以战胜（“方案3”）。现在的问题是，既然战胜，战胜，是不是战胜呢？不是！
我们在（“方案1”）与（“方案3”）之间进行表决。结果是（“方案3”）获胜，即：（“方案3”）战胜（“方案1”）。
3群人通过投票，在“大多数”决策原则下，得出的结果是矛盾的。
、、的偏好次序如下表：
表8-5三个群体对三个方案的一个可能的偏好顺序
这个例子反映的道理是深刻的，如果是社会对几个方案进行表决，如国家选举总统、某个城市让市民决定先修建哪个公共事业工程，等等，这个例子说的是，社会投票很可能得出矛盾的结果，而无所适从。
这个问题被称之为阿罗问题，投票悖论或者循环投票。200多年前法国的孔多塞侯爵就发现了，过半数的规则会导致悖论。
对于社会的选择问题，阿罗认为，在非独裁的情况下，不存在加总社会个体成员偏好的理性的方法。
阿罗定理反映了，社会没有一种“客观的”反映群体的偏好的方法。如果某种偏好得以揭示出来，如中国台湾陈水扁当选“总统”，或者小布什而不是戈尔当选美国第53任总统，完全取决于所确定的“民主”的选举规则；另外的一套规则得出的完全可能是另外一种情形。
