连续变量动态规划例子

一、用动态规划求解以下非线性规划问题：

max u= xyz

s.t. x +2y +z

≤12

x, y, z

≥ 0

阶段：k=4

决策变量：d=x，d=y，d=z

123

状态变量和状态转移方程：x=12，x=x-文武七弦琴 d，x=x-d，x=x-d

1211322433

决策允许集合：0≤d≤x，0≤2d≤x，0≤d≤x

112233

即： 0≤d≤x，0≤d≤1/2x，0≤d≤x

112233

阶段指标：v(x,d)=d

kkkk

递推方程：f(x)=max{v(x,d)f(x)}

kkkkkk+1k+1

终端条件：f(x)=1

44

k=4，f(x)=1

44

k=3

f(x)唐雎不辱使命原文 max{df(x)}max{d}x,dx

333443333

0dx金波的诗 0dx

3333

*

k=2

f(x)max{df(x)}max{dx}max{d(x2d)}

2223323222

111

0dx0dx0dx

222222

222

x(xx)x,dx

k=1

1111

222222

2*

4284

11

f(x)max{df(x)}max{dx}max{d(xd)}

1112211121

22

0dx0dx0dx

111111

88

111三岁宝宝发烧 11

3*

x(xx)x,dx

111111

383543

x=12，d*=1/3x=4，x=x-d=12-4=8，d*=1/4x=1/48=2，x=x-2d=8-22=4，d*=x=4

1112112232233

max u=1/54x=1/541728=32

1

3

即x=4，y=2，z=4，max u=32。

二、用动态规划求解以下连续变量的非线性规划问题

222

minzyyy

123

s.t.yyy12

123

y,y,y0

123

解：

决策变量：

dy,dy,dy

112233

状态变量：

x0xxdxxdxxd

0101212323

由上式得到：

电话的英语

xbug是什么意思 ddd12

3123

状态转移方程为：

xxdxxdxxd

011122233

决策允许集合为：

由x=0，得到d=x（唯一的），由x≥0，得到0≤d≤x，由x≥0，得到0≤d≤x

011222333

注意：以上的状态转移方程为而不是，即递推过程不是

xT(x,d)xT(x,d)

k1kkk1kk

逆向递推而是正向递推，终端条件应为：

f(x)=0

00

2

f(x)拌冷面的做法 mi对的成语开头 n{df(x)}

11100

dx

11

dx

11

min{d}xdx

0dx

22

0dx

22

22*

1111

f(x)min{df(x)}

22211

2

22

min{dx}

21

222*

min{d(xd)}xdx

222222

0dx

22

11

22

2

f(x)min{df(x)}

33322

0dx

33

1

22

x}min{d

23

0dx

33

2

111

222*

min{d(xd)}xdx

333333

0dx

33

233

最优解为：

x=12，d=1/3x=4，x=x-d=12天山雪菊 -4=8，d=1/2x=4，x=x-d=4，d=x=4

3332332212211

***

min z=1/3x=48

2

3