什么是自激振动 自激振动的原理、特征

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什么是自激振动 自激振动的原理、特征

自激振动

自激振动的机理

所谓的自激振动是系统内部的非振动的能量转换为振

动的激励而产生的振动。

对于自激振动可以做如下的物理解释：

存在一个与系统有关的外部恒定的能源，自激振动靠系

统外部的来源补充能量，使运动的系统与恒定能源之间产生

交变力，这个交变力在运动方程中表达为阻尼项。当系统振

动较小时，方程中的阻尼项成为负阻尼，使系统周期性地从

恒定能源吸收能量而使运动增长；当运动增长到一定程度，

方程中的阻尼项成为正阻尼而使运动衰减。当系统在一个周

期内损失的能量和吸入的能量相等时，系统呈现稳态的周期

运动。这种的稳态周期运动就称为自激振动，或简称自振。

线性系统不可能产生自激振动，能产生自激振动的系统

必为非线性系统。前面介绍的范德波方程和瑞利方程所代表

的振动都属于自激振动。

自激振动与保守系统的自由振动不一样。保守系统的自

由振动的振幅由初始条件确定，而自激振动的振幅与初始条

件无关，它决定于系统本身组词霸 的参数。

自激振动由于能源恒定而不同于强迫振动。系统依靠自

身运动状态的反应作用调节能量输入，以维持不衰减的持续

振动。也就是说，在自激振动中，外界恒定的能源给予振动

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系统的交变力是由运动本身产生或控制的，运动一旦结束，

交变力也随之消失。而在强迫振动中，交变力是由外部能源

独立产生的，它不依赖于运动，即使运动消失了，交变力仍

可存在。这样，强迫振动的频率完全决定于外加激励频率，

而自激振动的频率则很接近于系统的固有频率。

自激振动的特征

振动过程中，存在能量的输入与耗散，因此自振系统为

非保守系统。

能源恒定，能量的输入仅受运动状态，即振动系统的位

移和速度的调节，因此自振系统不显含时间变量，为自治系

统。

振动的特征量，如频率和振幅，由系统的物理参数确定，

与初始条件无关。

自治的线性系统只能产生衰减自由振动，无耗散时也只

能产生振幅由初始条件确定的等幅自由振动。因此自振系统

必为非线性系统。

自激振动的稳定性取决于能量的输入与耗散的相互关

系。若振幅偏离稳态值时，能量的增减能促使振幅回至稳态

值，则自激振动稳定(图1-a)。反之，自激振动不稳定(图1-b)。

图1 自激振动系统能量的输入与耗散的相互关系

极限环概念

自激振动是稳态的周期性运动，所以它在相平面上的相

轨线构成一条封闭的轨迹，相平面内的封闭相轨迹与实际系

统的周期运动相对应。保守系统在稳定平衡位置附近的等幅

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自由振动对应于相平面内围绕中心奇点的封闭相轨迹族，在

密集的封闭相轨迹族中，实际相轨迹的振幅由初始运动状态

确定。

自激振动是一种特殊的周期运动，它的振幅和频率由系

统的物理参数唯一确定，与初始运动状态无关。

因此自激振动在相平面内的相轨迹是孤立的封闭曲线，

庞加莱(Poinc八百标兵 are￠)称此闭轨迹为极限环。

在封闭曲线周围布满了螺线型的相轨迹逐渐地趋近极

限环，它们或者盘向极限环，或者盘向奇点。

极限环又有稳定的和不稳定之分。如果极限环两侧的相

轨线都趋近于它，既当相点由于扰动偏离极限环后，即沿新

的相轨迹运动，若扰动后的相轨迹仍渐近地贴近极限环，则

称极限环是稳定的如图2中的M2。

图2极限环

反之，若扰动后的相轨迹远离极限环，其中只要有一侧

的相轨线是离开极限环的，则这样的极限环称为不稳定的，

如图2中的M1和M3。

不稳定的极限环是实际系统不能实现的运动，它是用几

何作图法画不出来的。稳定的极限环对应于系统的稳态周期

运动，即自激振动。

自激振动在各种技术问题中占有极重要的地位，因此确

定极限环的存在及其稳定性就成为非线性自治系统理论中

的一个重要问题。从上面的定性分析可知，极限环的存在是

明显的，但是对于一个给定的系统要想从理论上证实极限环

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的存在并具体地找到该极限环却是困难的。在很多情况下，

问题的解决还是要借助于图解法。

van der Pol方程

一个具有极限环系统的经典例子是范德波振子。这个例

子可以说明极限环的一些性质。

范德波振子是由下面的微分方程所描述，即

上式可认为是一个具有可变soyo 阻尼的振子。确实，(x2-1)

这一项可以看成一个与振幅相关的阻尼系数。对于|x|1它是

正的。因此当运动在|x|1时正阻尼有助于烘托渲染 减小振幅，所以预

期会有极限环仙的成语 而且确实得到了极限环。

令

则上式可以用两个一阶微分方程来代替，记为式(1)：

显然，原点是一个平衡点。为了了解这个平衡点的性质，

列出下面线性化系统的系数矩阵

它导致特征方程

有根

当>2时根1与2都是正实数，所以原点是不稳定结

点。另一方面，当0时则是轨道渐近稳定的。

可见，一个稳定的极限环包围一个不稳定平衡点，而一

个不稳定极

限环报恩的故事 包围了一个稳定平衡点。

最后，必须指出，对于呈现有极限环的系统，在其原点

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周围用线性化分析是不适当的。

对于>0的情况线性化分析会判定不稳定，其运动要无

限增大。控制振幅大小的是法治知识 非线性，即。在这种情形，恰当

的线性化必须在极限环的附近，这样会得出一个带有周期性

系数的线性系统。

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