离散数学-4群的分解、正规子群与商群、群的同态与同构

学习指导-教学单元-17.5-7-群的分解、正规子群和商群、

群的同态和同构

一、主要知识点

1. 概念



陪集的定义、实例及性质



群的陪集分解、拉格朗日（Lagrange）定理及应用



群的共轭类分解与群方程



正规子群的定义、性质及判定



商群定义、性质及实例



群同态的定义、分类（单同态、满同态、同构）、性质及实例

2. 重要定理

定理1为群，是 的子群，则

G H G

；

(1) He = H

；

(2) aHa

；

(3) Ha H

(4曹操语录 ) aHb Ha =苹果的营养 Hb ab

-

1

H

在上定义二元关系

(5) GR, aRb ab

-

1

HR [a]

，则 为等价关系，且

R

= Ha

或 ，

(6) a, bG, Ha Hb = Ha = Hb护肝片的副作用 Ha = G

定理定理设为有限群，是的子群，则

2 (lagrange) GHG| G | = | H | [G :H ]

推论

群的元素的阶是群的阶的因子

(1) .

素数阶群一定是循环群

(2) .

定理群方程为有限群，为中心，哲罗蛙 中至少含两个元素的共轭类有 个，

3 () G C G k a

1

,

a, ... , a

2k

为查看内存型号 代表元素，则

|G| = |C| + [G:N(a

12k

)] + [G:N(a)] + … + [G:N(a)]

定理正规子群判定定理为群，则下述条件等价：

4 () GNG,

是 的正规子群

(1) N G

(2) gG, gNg

"

-

1

= N

(3) gG, nN, gng

""

-

1

N

有关群同态的定理：设和是群，：是同态映射，则

GGfG

1212



G

同态保持元素的性质

(1)

f(ef(xf

12

)=e)=f(x)

，，满同态 将生成元映到生成元

--

11

整除 ，同构条件下

| f(a)| |a||f(a)| = |a|

同态保持子代数的性质

(2)

H G

12

f(H) G

H ⊴ G

12

, f f(H) ⊴ G

为满同态，

同态核的性质

(3) , ker f = { x | xG, f(x) = e

2

}

ker f = {e

1

} f

为单同态

，

ker f Ga, bG

⊴

11

"

, f(a) = f(b) a ker f = b ker f

同态基本定理

(4)





H G G/H G

为的正规子群，则 是 的同态像

若 为 的同态像（），则

G’ G f(G) = G’G/kerf G’.

@

二、学习要求

1. 理解陪集的概念，给定群和子群，会计算陪集

2. 掌握陪集的性质（定理1）

3. 掌握Lagrange定理（定理2）及其简单应用

4. 了解群方程的含义及应用

5. 熟练掌握正规子群的概念及判别方法（定理4）

6. 理解商群的概念及实例

7. 掌握群同态的概念及判别方法

8. 深入理解与群同态有关的定理，并会简单应用

三、重点难点指导

Lagrange定理及有关群同态的定理是教学的重点和难点，由于本单元涉及的概念较

多，定理较多，内容比较抽象，用起来比较灵活，汉代舞蹈 初学者往往感觉困难。为了尽快掌握解题

方法，首先要深入理解上述定理的内容，涉及到的概念、前提条件、结论、应用背景，然后通

过课件和教材上的典型例题熟悉相关的证明方法，归纳和总结解题思路。

1. 证明正规子群的基本方法除了判定定理（定理4）外，还有以下推论：

(1) HG|H|=tHGtH

是的子群，且，如果是中唯一的阶子群，则是正规的

(2) [G:H]2H

指数为的子群是正规的

2. G

证明

12

与同构的常用方法：

G

(1) f:GG

定义映射

12



，然后验证为同态，同时证明的双射性

ff.

(2) G

如果

12

或是商群，可以考虑使用同态基本定理

G.

3. G

证明群

12

与不同构往往采用反证法

G.

元素的阶等整数之间存在相等或者整除等关系，下面给出一些相在涉及有限群的阶、

4.

关的结果，这些命题的证明有的在教材中作为定理或例题给出，有的留作习题。

(1)|G|[G:H]|H|



|G||G/H||H|



|a|||G|,aG

(2) f :GG’|G’| | |G| |G’| = | G/kerf |



是满同态，则 且

(3) | G | = n, pp | nG Abel G p

为素数，，为 群，则中含 阶元

(4)

|a|[G:N(a)]

(5) A,BG

是的有限子群，则

|AB|



|A||B|

|AB|

为了更好地帮助大家掌握群的证明方法，特安排习题课一次。有关电子教案放在拓展资源中。