关于种群数量的变化模型中增长率等的辨析

课例点评

教育界

/ EDUCATION CIRCLE

（人教版高中生物必修3第4章第2节）相关内容，构建了相关数

学模型，并引入增长率等概念。但不少教参对增长率的界定模由于不受种群本身的密度或数量的影响，故习惯性将

糊，常常引起激烈地争论。本文主要利用解析式结合图像

［13］

的形式表示相关函数，以期更好地区分平均增长率、周限增长=population…growth），通常用表示。由=可知，

率和个体增长率等。。

-

变化。常用于推算较长时间内种群数量的变化情况。种群

的瞬时变化量，即常用来表示种群数量在某时刻的变化

N

t

t

趋势。对指数函数而言，种群的瞬时变化量（不少

N

t

=

N

0

教参用“增长速率”表示，本文采信“瞬时变化量”）

N

t

▲

2020年第30期（总第402期）

关于种群数量的变化模型中增长率等的辨析

江苏省泰兴市教师发展中心 顾中震 汪兴泽

【摘要】

文章通过解析式结合图像表示相关函数，以期更好地区分平均增长率、周限增长率、个体增长率和瞬

时变化量。

【关键词】

平均增长率；周限增长率；个体增长率；瞬时变化量；逻辑斯谛方程

现行一些教学参考资料为更好地诠释“种群数量的变化”

=

N

0

t

=。由＝＝得：。…

ln   Nln   ln  Nln  

NN

tt

1

N

ln  

ln  

定义为种群的个体（单位）增长率（per-capita…rate…of…

 e rrln  

r

，

［4］

N

t

=

N

0

e

rt

＞1，种群数量将增长；当＞0时，

假定保持不变。当

rr

r  r  

=0时，=1，种群数量保持稳定；＜0时，0＜＜1，种群数

量下降。可见，可用来反映种群数硬盘种类 量随时间的变化而变化。的我国人口的年平均增长率。

r

如图1所示。设A为第一年人口数量，B为最后一年人口数量，为年

一、借鉴一道典型的计算题先谈平均增长率

1949年我国人口为5.4亿，1978年为9.5亿，计算29年来

m

平均增长率（average…growth…rate…per…annum），为年限。则

n

有=(+)。变式得：，代入得：

BA 1m

n

m=−

29

9.5

……。

1

5.4

直接开29次方较为困难，对等式=+两边

9.55.4(1m)

29

取自然常数（约等于2.718281828）的对数，计算得：

e

me

==

In9.5in5.4

-

29

-1，约等于0.019霉豆腐的好处和危害 7（换算成1.97%）。

m

图1 值不同，种群数量随时间的变化而变化

r

即1949至1978年，29年来我国人口的年平均增长率约为

1.97%。

2.再以典型例题为例计算

1949年我国人口为5.4亿，1978年为9.5亿，算算29年来

的我国人口的年个体增长率和年周限增长率。

e NN

rt

可知，根据模型

tt

=，=，=29年，即…=

9.5N5.4tN

亿亿

00

9.55.4e

=

29r

，…=…

r

ln9.5ln5.4refu

-

29

r

0.0195e

（人…=…/…年）。=

1.0197

=/…年。…

二、周限增长率、瞬时变化量、个体增长率的界定

及例题

1.周限增长率等的界定

结合上述介绍，（1+）可表示种群数量在一个时间单

m

位（如1年、1个月等）内变化到的倍数，即周限增长率（finite…

rate…of…increa）。周限增长率常用表示。特定条件下，

若保持不变，可用…或…（为种群的数量，

  NNNN

t+1t t

==

   NN

0 0

t

为种群的起始数量，代表时间单位的倍数）表示种群数量的

t

即1949年至1978年，29年中我国人口年个体增长率约为

0.0195，每年的人数约是上一年的1.0197倍。

［4］

r

、、密切相关，但又有明显的区别。结合上述例题可知，

m  

例如，若周限增长率=，则=，为0；若周限增长率=，

  1m0  2

r

则=，约为0.6931。

m0

r

三、其他相关函数及图像

1.“理想条件”下，、、随时间的变化

m

N

t

>1且保持不变，表示种群穿越古代电影 个体增假定“理想条件”下，

长率的……和代表平均增长率保持不变，或随时间变化的函

r

mm

8

2020年第30期（总第402期）

课例点评

数图像为直线，斜率为0。如图2所示。

图2 “理想条件”下，或随时间的变化（两条直线的位置可能会变化）

m

图5 逻辑斯谛增长模型中种群的瞬时变化量随种群数量的变化而变化

“理想条件”下，表示种群的瞬时变卤肉卷饼 化量。…

函数图像如图3所示。

N

t

=

r

N  

0

t

ln  

3.改进的逻辑斯谛方程中值随种群数量的变化

r

种群逻辑斯蒂增长模型的前提条件之一是个体增长率的最

大值出现在种群密度最低时。事实上，有些生物在种群密度很

低时，其种群数量会下降，甚至灭亡。原因可能是基本数量下

的种群密度对于有效地寻找配偶和逃避敌害必不可少。为把种

群最低起始密度的概念包括在内，改进后的方程增加一个系数

M

（指种群增长所必需的起始密度），改进的方程为，

N

t

==

rN

MNMN

NKNK

），）（-（1-）。该模型中，）（1-

图3 “理想条件”下，种群的瞬时变化量随时间的变化而变化

R1

（-

1r N

=

R

2.“有限条件”下，、随种群数量的变化

r

N

t

函数图像如图6所示。

［1，5］

由于受环境条件的限制，种群数量的变化常用逻辑斯蒂

（Logistic）增长模型来解释。该模型假定存在一个环境条件允

许的种群数量的最大值，用表示；假设环境条件对种群的阻

K

滞作用随着种群密度的增加按比例增加。例如，种群中每增加

一个个体就对增长率降低产生的作用，则当的数值越接

1

K

N

图6 改进后的逻辑斯谛增长模型中，随种群数量的变化而变化

r

近于0时，越接近于雨后的小故事 最大值。假定存在这个最大值，并设为

r

R

，

可用函数

r

=

R

(1)

-表示逻辑斯谛增长模型中个体增长率随

N

K

综上所述，平均增长率、周限增大四实习报告 长率、个体增长率、瞬时

变化量在构建的数学模型中都可以反映种群数量的变化，它们

联系密切，且区别明显。围绕核心概念构建科学概念体系，强

调学科间的概念整合，以及加强学生对科学概念的深入理解，

已成为各国科学课程改革的共识及愿景。因此，教师讲授相关

内容，如果能仔细甄别不同概念之间的逻辑关系，则可以避免

歧义的产生。

【参考文献】

［1］ 白荣宣. 对2017年高考生物新课标卷I第5题示意图的解

释［J］. 生物学教学，2017（10）：76-77.

［2］ 翟玉堂，蒙庚阳，黄奕珊. 聚焦2017年高考生物试题

N

为0时无讨论意义，故忽略，下同）种群数量变化表示（注：。

此函数图像为直线，直线斜率为-，示意图如图4。

R

K

图4 逻辑斯谛增长模型中随种群数量的变化而变化

逻辑斯蒂增长模型中种群的瞬时变化量

R1

（

-

NKRK

K

，此函数的图像为抛物线（局部），顶点

）（

KRK

24

24

N

t

，

=

r

N

=

）。

。…即当种群数量为时，种群的瞬时变化量达到最大，为

［J］. 中学生物教学，2017（10）：66-67.

［3］ 柳军. 对2017年高考全国卷I一会计文员 道试题的商榷［J］. 中

学生物教学， 2017（1读书人家 0）：27-28.

［4］ 孙儒泳. 普通生态学［M］. 北京：高等教育出版社，

1993：67-73.

［5］ 尚玉昌. 普通生态学［M］. 北京：北京大学出版社，

2010：143-160.

如图5所示。

▲

教育界

/ EDUCATION CIRCLE

9