角的平分线(基础)知识讲解

角的平分线〔基础〕

【学习目标】

1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条字幕的英文 角平分线的性质．

2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．

3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．

【要点梳理】

要点一、角的平分线的性质

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

假设CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

要点二、角的平分线的逆定理

角平分线关于冬天的歌 的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的判定：

假设PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

我与书的故事作文600字

要点三、角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图

〔1〕以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

〔2〕分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

1

2

〔3〕画射线OC.

射线OC即为所求.

要点四、轨迹

把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.

和线段两个研究生翻译 端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.

在一个角的内部〔包括顶点〕且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.

到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，鸡油怎么吃 定长为半径的圆.

【典型例题】

类型一、角的平分线的性质

【高清课堂：角平分线的性质，例2】

1．如图，∠ACB＝90,BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延

长线于F. 求证：AE＝CF

【答案与解析】

证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB,DC⊥BF

∴DE＝DC〔角的平分线上的点到角两边的距离相等〕

在△ADE和△FDC中



DEADCF





DEDC



ADEFDC



∴△ADE≌△FDC(ASA)

∴AE＝CF

【总结升华】利用角平分线的性质可得DE＝DC，为证明三角形全等提供了条件.

2、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90, AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于

E, 且AB＝6, 则△DEB的周长为( )

cm

A. 4 B. 6 D. 以上都不对

cmcmcm

【答案】B；

【解析】由角平分线的性质，DC＝DE，△DEB的周长＝BD ＋DE＋BE ＝BD＋DC＋BE＝AC左眼皮有痣的女人 ＋BE

＝AE＋BE＝AB＝6.

【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.

举一反三：

【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且，则△ABD与△ACD

AB:AC3:2

的面积之比为〔 〕

A．3：2 B． C．2：3 D.

3:22:3

【答案】B；

提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，冬季防溺水手抄报 又∵

AB:AC3:23:2

，则△ABD与△ACD的面积之比为．

3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点

E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的

结论．

【答案与解析】：

解：DF=EF．

理由如下：

∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，

∴PD=PE，

由HL定理易证△OPD≌△OPE，

∴∠OPD=∠OPE，∴∠D工地顺口溜大全 PF=∠EPF．

在△DPF与△EPF中，



PDPE





DPFEPF

，



PFPF



∴△DPF≌△EPF，

∴DF=EF.

【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性

质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.

类型二、角的平分线的判定

【高清课堂：角平分线的性质，例3】

4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.

【答案与解析】

证明： ∵CE⊥AB,BD⊥AC〔已知〕

∴∠CDF＝∠BEF＝90

∵∠DFC＝∠BFE(对顶角相等)

∵ BF＝CF(已知)

∴△DFC≌△EFB(AAS)

∴DF＝EF(全等三角形对应边相等)

∵FE⊥AB，FD⊥AC〔已知〕

∴点F在∠BAC的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)

即AF为∠BAC的平分线

【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”“垂直”条件在证明结论的必

要性.

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．

求证：AD是△ABC的角平分线.

【答案】

证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．



BDDC

，



BECF



∴Rt△BDE≌Rt△CDF〔HL〕，

∴DE=DF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是角平分线．

类型三、点的轨迹

5、过已知点A且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是________.

【答案】以A为圆心，半径为的圆．

3cm

【解析】求圆心的轨迹实际上是求距A点三厘米能画一个什么图形．

【总结升华】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一

个圆．