高二数学最新教案-如何把四面体补成平行六面体 精品

如何把四面体补成平行六面体

任何一个四面体都军训新闻稿 可以补成一个平行六面体，使四面体的棱恰为平行六面体各面上

的一条对角线，并且下列重要性质：

1．任何四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的各棱为平行六面体各面上

的一条对角线，且V=V.

四面体平行六面体

1

3

2.若有一对相对棱长相等，则补成的平行六面体中一对相对的面为矩形；若三对相

对棱长分别相等，且有一个面为锐角三角形卡通狮子 ，则四面体可以补成一个长方体.

3.棱长为a的正四面体可以补成一个棱长为的正方体.

2

a

2

请读者自己完成这些性质的证明. 本文说明这些性质的应用.

例1如图1，四面体SABC中，三组对棱分别相等，且依次为2、、

—

5

13

2，求四面体的体积.

2

图1

分析：由于底面△ABC的三条边长都不相等，三条侧棱长SA、SB、SC也都不相等，

所以如果按常规方法：V=去求体积，△ABC面积的计算或者顶点S到底面ABC的

hS

距离h都很复杂，但根据性质（2），可以将它补成长方体，不妨令SB=AC=2，

5

SC=AB=，SA=BC=2，则四个面是全等的三角形，在△SBC中，SB最大，所以

13

2

∠SCB最大，而

cosSCB=>0，

1

3

138201

21322426



所以△SCB为锐角三角形，可以补成一个长方体，不妨令长方体的长、宽、高分别

为x、y、z，

则有 x+y句子成分划分练习 =13，y+z=20， z+x=8，

222222

解得 x=

25230

,y,z.

222

530

,

所以 V=

4

长方体

V= V=

四面体长方体

1

530

.

3

12

例2.图2是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长

_______.

分析：由性质（3）可知，正四面体可以补成一个正方体，正方体的体积为

3V=372=216，

正四面体

则正方体的棱长为 =6，

而 EF=BD，BD为正方体的对角线，所以

3

216

1

3

BD=6，EF=2. 今日良宴会 图

22

2

例3.如图3，从空间一点出发的四条射线两两夹角为，则cos=________.



分析：如图4，从一点出发的四条射线，两两夹角都为，这样的点可设想为正四



面体的中心O，若把它补成正方体，即为正方体的中心，所以设∠AOB=，正方体的



棱长为1，则

图3 图4

OA=OB=，AB=

3

2.

2

33

2

1

所以 cos=.



44



3

33

2

22

例4.如图5，四面体ABCD的各棱长为1，P为棱健步如飞 AB的中点，Q为CD的中点，求

线段PQ的长.

图5 图6

分析：如图6，将正四面体补成正方体，则PQ实质上是正方体两个对面之间的距

离，即为正方体的棱长，所以

PQ=

2

.

2

例5．如图7，设E、F、G分别是正四面体ABCD的棱AB、BC、CD的中点，则

二面角C—FG—E的大小是（ ）

A． arcsin 劳动美作文

6

3

B．

C．－arctan

3

arccos

23



2

2

2

D.

2

图7

arccot

分析 如果把正四面毕业生鉴定表 体补成正方体，则AB、BC、CD都是面对角线，中点E、F、

G即是各面的中心，则平面EFG是与正方体的一个表面平行的一个平面，而面BCD是

正方体中三条面对角线组成的截面，因此，所要求的二面角实质上是正方体中，截面与

底面所成角中的一只钝角. 即如图8中的∠COF，

而 tanCOE=

CE1

2,

OE

2/2

所以 cotCOE=

2

,

2

2

,

选D. 图故 ∠COF=－arccot

2



8

例6．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，求这个球的体

积.

分析：由棱长为a的正四面体，一个球与正四面体，可以补成棱长为的正方

2

a

2

体，而一个球与正四面体的六条棱都相切，即这个球与正方体的六个面都相切，因此，

球的半径即为正方体棱长的，即

1

2

R=，所以 V=

2422

33

a(a)a.

球



43424