单纯形法的解题步骤

三、单纯形法的解题步骤

第一步：作单纯形表婉约派词人

.

） （ ）把原线性规划问题化为标准形式；

） （ ）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；

） （ ）目标函数非基化；

1

2

3

（ ）作初始单纯形表 ）

4.

第二步：最优解的判定

.

（1） .

若所有检验数都是非正数，即 ， 则此时线性规划问题已取 得最优解

（2）

若存在某个检验数是正数，即 ，而所对应的列向量无正分量，则线性规划 问

题无最优解

.

如果以上两条都不满足，则进行下一步

.

第三步：换基迭代

.

（ ）找到最大正检验数，设为 ，并确定 所在列的非基变量 为进基变量

1.

（ ）对最大正检验数 所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小

2

括号

主元是最大正检验数 所在列， 用常数项 与进基变量 所对应的列向 量中正分量的

比值 最小者；

（ ）换基：用进基变量 替换出基变量 ，从而得到新的基变量 也中概股什么意思 就是主元所

3.

在

列的非基变量进基，所在行的基变量出基；

（ ）利用矩阵的行初等变换，将主元变为 ，其所在列其他元素都变为零，

41

从此得到

新的单纯形表；

（）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到

5

问题得 到解决为止

.

例求

3 .

解（ ） 化标准型：令 ，引进松弛变量 ，其标准型为

1

求

（ ） 作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中 的系数构成单位矩阵，故取

2

为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代” （见表）

表 6.8

xxxxx

1 2 3 4 5

常数

x

3

1 0 1 0 0 5

x

4

1 2 0 1 0 10

x

5

0 0 0 1 4

（1）

S

′

1 3 0 0 0 0

x

3

1 0 1 0 0 5

x

4

（1）

-2

0 0 1 2

x

2

0 1 0 0 1 4

S

′

1 0 0 0 -3 -12

x

3

0 0 1 -1 2 3

x

1

-2

1 0 0 1 2

x

2

0 1 0 0 1 4

S

′

0 0 0 -1 -1 -14

6.8.

3

） 最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为

目标函数取得最优值

.

原线性规划问题的最优解为： 目标函数的最优值为 ，即

.14.

例 用单纯形方法解线负数教案 性规划问题

4

解 此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵

1234

、行，、列

（ 构成），取 为基变量，而目标函数没有非基化 从约束方程找出

.

，

,

代入目标函数

,

经整理后，目标函数非基化了

.

作单纯形表，并进行换盛开的近义词 基迭代（见表 ）

6.9.

最大检验数 ，由最小比值法知香橼皮 ： 为主元，对主元所在列施以行初等变 换，基变

量 出基，非基变量 进基

.

在列没有正分量，目前最大检验数 所以该线性规划问题没有，其所 为基

最优解 变

例 用单纯形方法解线性规划问题

5 .

xxxx

1 2 3 4

常数

求

表

x

3

1 -1 1 0 2

6.9

x

4

-3 (1) 0 1 4

2 3 0 0 0

S

x

3

-2 0 1 1 6

x

2

-3 1 0 1 4

S

11 0 0 12

-3

解 此数学模型已是标准型了， 其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取 而

量，耳提面命的意思

目标函数没有非基化 从约束方程找出

.

，

,

代入目标函数，经整理得

,

目标函数已非基化

.

作单纯形表，并进行换基迭代 见表

（6.10）.

最大检验数 ，由最小比值法知： 为主元，对主元所在列施以行初等变

换，基变量 出基，非基变量 进基，先将主元 化为 ，然后再将主元所在列

x

2

的

其他元素化为零

.

1

表 6.10

x xxx

1 2 3 4

x

3

0 4 -2 （2） 1

常数

x

4

3 1 0 1 6

-2 2 0 0 10

S

x

2

-1 1 0 2

x

4

4 0 1 4

0 0 -1 0 6

-

S

'

至此，检验数均为非正数，故得基础可行解

.

原问题的最优解为：

.

最优值为 ，即

6.

如果我们再迭代一次，将基变量 出基，非基变量 进基（见表 ）

6.11

表 6.11

xxxx

1 2 3 4

x

2

-1 0 2 1

常数

x

4

S

'

x

2

（4）

0 0 -1 6 0

0 3 1

0 1 4

x

1

1 0 1

0 0 0 6

－1 '

S

可得到另一个基础可行解

,

原问题的最优解为： ，最优值仍为 ，说明该线性规划问题有 无穷多最优解，其最优

6

解均为

6.

如何知道线性规划问题有无穷多最优终值公式 解呢？

这主要反映在单纯形表中 如果非基变量所对应的检验数为 ，我们可对此列继续

.0

进行换 基迭代，就可以得到另一个基础可行解 以此作下去，可得到许多基础可行

.

解，即相对应的

最优解有无穷多个

.

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