确定主应力大小和方向问题分析

确定主应力大小和方向问题分析

基础部 秦定龙

一 问题的提出

在工程结构设计中，为了全面评价梁的强度安全，确保工程结构万无一失，经

常要遇到计算结构中的主应力的大小和确定主应力的方向问题， 以便于分析结构破

坏的原因，或者合理布置结构形式，或者正财务内控管理 确布置结构内的受力钢筋等。图一(a)

所示的钢筋混凝土简支梁，为什么会在轴线以下部分出现斜裂缝而破坏?图一(b)所

示的铸铁试件在受到压缩或扭转时，为什么会沿与轴线成的斜面上发生破

坏?这些都与结构内的主应力大小和方向有关。在图二(a)中，钢筋混凝土简支梁的

两组主应力轨迹线是根据主应力的方向绘制出来的，而图二(b)中梁内的弯起钢筋和

纵向受力钢筋则是根据图二(a)中梁的主应力轨迹线布置的。

图一

（a）

q

(a)

精选

图二

(b)

上述情况说明，在对结构进行强度分析或计算时，都要涉及到结构内主应力大

小的计算和确定主应力方向的问题。一般情况下，主应力的大小可按特定的公式算

出来，而在确定应力的听的英语 方向时，人们往往不容易正确确定出来。本文就怎样快速准

确确定主应力大小和方向作阐述和介绍。

二 主应力大小及方向的确定方法

图三表示从某一构件中取出的单元体，设它处于平面应力状态下。假定在一对

竖向平面上的正应力为；在一对水平面上的正应力为

y

即主应力的大小和方向。

对应力、和角度的正负号规定如下：正应力(或主应手工立体灯笼 力)以拉应力为正，

压 名单英文

角度以从x轴的正向出发量到截面的外法成n是反时针转为正，是顺时针转为负。

按照上述的规定，可以判断出，、、及是正值；是正值，是正值，

角是负值。













，它们的大小和方向已经求出。现要求出这个单元体的最大正应力、最小正应力

应力为负；切应力对单元体内的任一点以顺时针转为正，以反时针转时为负；

精选

,切应力为，切应力为

y

（a）

主应力的确定方法有两种：一种是解析法，一种是应力圆法。下面分别讨论之。

1．确定主应力大小和主平面位置的解析法

(b)

图三

根据对主应力的定义，进行严格的数学推导，得出计算平面应力状态下单元的主

应力公式如下：

精选

……(1)

由式(1)可以看出， 有两个根。因为

说明和都能满足公式(1)，这就是说，处于平面应力状态下的单元体

上有两个主平面，并且这两个主平面应是互相垂直的。 (单元体上切应力为零的平

面称为主平面，主平面上的正应力即为主应力。)

两个主平面上的主应力大小的计算公式为

利用公式(1)和(2)，在已知的情况下，就可以很容易的求出两个主

应力与分别作用在两个互相垂直的的大小和相应主应力的方向，并且

平面上。如图中所示的单元体，只要确定了主平面ef的位置，另一个主平面gf的位

置也就随之确定了。

现在的问题是：在e f平面上，究竟作用的是主应力呢?还是主应力。这就

需要我们认真加以研究对待了。我们已可以根据公式(2)计算出在平面应力状态下的

两个主应力22考研国家线 的数值和根据公式(1)算得x轴与某一个主平面外法线之间的夹角(也

就是与某一个主应力的夹角)，从而确定两个主平面的位置。但是除了这些之外，

究竟是与哪一个主应力的夹角，才能确定每一个主应我们还必须进一步判断出

力的方向。

由式(1)可以看出，的极值是无穷大(当时的情况)，即总是

小于或等于，因此总是小于或等于的锐角，也就是说由确定方向的那





tg

tg2















……（2）

、和

y

精选

个主应力总是偏向于x轴的。根据实践经验和理论分析知道，较大的主应力总是偏

向和中的较大者，较小的主应力则总是偏向于和中的较小者。因此，可

以归纳出确定主应力方向的规则如下：

当时，是与两个主应力中代数值较大者的夹角；

当时，是与两个主应力中代数值较小者的夹角；

当时，，主应力的方向可以从单元体上的应力情况直观判断出

来。为了便于记忆，可把上述的规则通俗的叙述为： “小偏小来大偏大，夹角不

比大”。

2．确定主应力大小和主平面位置的应力圆法

关于用应力圆确定主应力大小和主平面位置的方法，现以图四(a)所示的单元体

为例介绍如下：首先根据单元体上的已知应力

(b)昕

、、、作出应力圆如图四

y

示，然后从图上量得，。现证明如下：

因为：

合起来就是：







o

















精选

它与由解析法求得的主应力计算公式(2)相同．

此外，主应力的方向也可以由图四(b)求得。因为为与所夹角的二

倍

(即)，而由转至是按顺时针转向，所以应该是负值。据此，就可以在单

的方向,的方向则元体上，自的方向，按顺时针转向量一角就得到主应力

与的方向垂直，如图四(a)中所示。

精选

三 主应力分析实例

例：图五(a)所示的单元体，是从某受力构件K点处截取出来的。已知=25Mpa，

x

，。试用应力圆法和解析法求出该单元体的主应力

大小和方向。

解：

(一) 用应力圆法求解

1． 作应力圆

建立直角坐标系，按选定的比例尺，由和的值定出与x面相对应的

点；再由和直线并交点，连接轴于点，以C

y

为圆心，为半径作一圆，即为该单元体的应力圆，见图五(b)所示。







o



y

x





D





DD

DD

的值定出与y面相对应的

(a)图五

精选

(b)

2． 求主应力的大小

应力圆上A和B点分别为单元体上两个主平面所对应的点，主应力的大小按所选

用的比例尺直接从图上量取得

该单元体上有一拉一压两个主应力。由于主应力是按代数值顺序排列，为拉应

力的是，为零是，为压应力的是。因此，平面应力状态下的两个主应力若

(因为)。 为一拉一压，则主拉应力为，主压应力为

3． 求主应力的方向

从应力圆上量得圆心角。，且是由反时针方向旋转而得，

所以为正。的主平面角，即在单元体上， 由x轴开始反时针方

向旋转就可以得到作用的主平面的外法线n，从而确定的方向及其主平

精选

面的位置；至于的方向则必定与 的方向垂直。由两个主平面组成的单元体也

画在图五(a)中。

(二)由解析法求解

将代入(2)和(1)式便可求出主应力的

大小，方向，即

既

解得： 。=30ﹾ 。+90ﹾ=1 2 0ﹾ

由于，故应为与之间的夹角，为与轴之间的

夹角，与均由x轴反时针方向旋转即可得出与的主应力方向，如图

五(a)所示。

上述介绍的确定主应力大小和方向的方法，读者可以参照例题细心领会，杨元宁 反复

练习即可掌握。

(责任编辑：张 健)









x





1

1



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