人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理！

⼈类数学走亲戚的作文 中最⼤的未解之谜——素数公式之素数定理！

质数，也称素数，指⼤于1的⾃然数中，除了幼儿园老师个人计划 1和本⾝外，不能被其他⾃然数整除的数，如：

2，3，5，7，11……，通常⽤“p”表⽰。

素数的分布规律⾄欧⼏⾥德以来就是个迷。今天，我们来认识下，素数的重要分布规律——素

数定理。这是⽬前发现的，最重要的且被证明限制素数分布的定理之⼀。

欧⼏⾥德

欧⼏⾥德在⼤约公元前300年bs系统 ，就漂亮地证明了素数有⽆数个，从此⼈们开始了寻找素数公式的

历程。

⼤数学家欧拉在给丹尼尔伯努利的⼀封信中写道：'素数的计算公式，在我们这辈⼦可能找不到

了。不过，我还是想⽤⼀个式⼦来表达它，但并不能表⽰出所有素数。n^2-n+41，n等于1到

40'。

欧拉给出的这个多项式，在n=41时失效了，后来哥德老铁 巴赫给欧拉的信中提到：'⼀个整系数多项

式，是不可能对所有整数取到素数的，但有些多项式可以得到很多素数。'

后来欧拉漂亮地证明了哥德巴赫的这个猜想，欧拉对数论的酒精降温 贡献相当多，数论四⼤定理之⼀就

有个——欧拉定理，⽽欧拉的素数乘积式，是开启黎曼猜想的⾦钥匙。

欧拉和欧拉乘积式

对素数的研究，欧拉过后，直到⾼斯才有了进展，⼤约在1792年，15岁的⾼斯就发现，素数在

⾃然数中的分布密度，趋近于类似于对数积分的函数。

同时期的数学家勒让德(re)也提出了等价的猜想，但他们都⽆法对其证明，⾄此，这

个问题成了数学界的顶级难题，甚⾄在数学界流传着：如果谁证明了这个猜想，那么他将会得

到永⽣。

证我者，得永⽣！

直到⼀百多后的1896年，这个猜想才被两位年轻的数学家阿达马和德拉⽡莱布总也倒不了的老屋 桑独⽴证明，他

们的证明都是根据黎曼的思路⾛的，其中运⽤到了⾼深的整函数理论，⾄此，这个猜想正式升

级为定理——素数定理（PN驾校广告宣传语 T）。

素数定理

值得⼀提的，他们两⼈⼀个活了96岁，⼀个活了98岁。

素数定理还有个初等表达式：

素数定理初等表达式

该定理可以推出很多有趣的结论，⽐如：

N是素数的概率～1/lnN；

第N个素数～NlnN；

这两个推论和PNT互为充要条件。

虽然我们有了PNT，但是PNT给出的绝对误差实在是糟糕透了，⽐如第10000个素数104729，

⽽PNT给出的是92103，这是数学家不能接受的，我们想要的是准确的素数公式。

直到黎曼在1859年才给出了(x)的准确表达式：