焦半径公式的证明

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焦半径公式的道明

【觅根】椭圆的根正在哪里？自然料到椭圆的定义：到二定面F1，F2（|F1F2|=2c）距离之战为定值2a优秀黑板报图片大全

（2a>2c）的动面轨迹（图形）.

那里，从椭圆的“根上”找到了二个参数c战a.

第一个参数c，便决定了椭圆的位子；再加上另一个参数a，便决定了椭圆的形状战大小.比较它们的“身

份”去，c比a更“隐贵”.

遗憾的是，正在椭圆的圆程里，却瞅没有到c的踪影，故有人启玩笑天道：椭圆圆程有“记

本”之嫌.

为了“正本”，咱们回到椭圆的中心处，觅找c，并觅找闭于c的“题根”.

一、用椭圆圆程供椭圆的中心半径公式

数教题的题根没有等共数教教教的基本，数教教教的基本是数教观念，如椭圆教教的基本是椭圆的定义.

然而是正在简直数教解题时，纷歧定屡屡皆是从定义出收，而是从由数教定义引出去的某些已知论断（定理

或者公式）出收，如解问椭圆问题时，时常从椭圆的圆程出收.

【例1】已知面P（x，y）是椭圆上任性一面指南车是谁发明的 ，F1（-c,0）战F2(c,0)是椭圆的二个中心.

供证：|PF1|=a+；|PF2|=a -.

【分解】可用距离公式先将|PF1|战|PF2|分别表示出去.而后利用椭美文欣赏 圆的圆程“消y”即可.

【解问】由二面间距离公式，可知

|PF1|= (1)

从椭圆圆程解出

(2)

代（2）于（1）并化简，得

|PF1|=(-a≤x≤a)

共理有|PF2|=(-a≤x≤a)

【道明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式

r1=a+exr2=a-ex (e=)

从公式瞅到，椭圆的焦半径的少度是面P（x,y）横坐目标一次函数. r1是x的删函数，r2是x的减函

数，它们皆有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对于称本量（闭于x,春节的传统习俗 y轴，闭于本面）.

二、用椭圆的定义供椭圆的中心半径

用椭圆圆程推导焦半径公式，虽然历程烦琐，然而简单使人误解，以为焦半径公式的创造是以椭圆圆麦芽粥 程

为其依好的.为了瞅浑焦半径公式的前提性，咱们思量从椭圆定义间接导出公式去.

椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产品,按椭圆定义，对于焦半径间接用距离公式即可.

【例2】P (x,y)是仄里上的一面，P到二定面F1（-c，0），F2（c，0）的距离的战为2a（a>c>0）.试用x，

y的剖析式去表示r1=|PF1|战r2=|PF2|.

【分解】问题是供r1=f（x）战r2=g（x）.先可视x为参数列出闭于r1战r2的圆程组，而后从中得出r1

战r2.

【解问】大枣图片 依题意，有圆程组

②-③得

代①于④并整治得r1-r2=⑤

联坐①，⑤得

【道明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义间接导出，对于椭圆的圆程有自己的独力性.由于公式中含

c而无b，其前提性隐然.

三、 焦半径公式取准线的闭系

用椭圆的第二定义，也很简单推出椭圆的焦半径公式.

如图左，面P（x，y）是以F1（-c,0）为中心，以l1：

x=-

的第二定义，则有

即r1=a+ex,共理有r2=a-ex.

对于中教死去道，椭圆的那个第二定义有很大的“人为性元始天尊的师傅 ”.准线缺累定义的“客瞅性”.果此，把椭圆的

第二定义视做椭圆的一条本量定理更切合逻辑性.

【例3】P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为中心，以距离之战为2a的椭圆上任性一面.直线l为

x=-，PD1⊥l接l于D1.

供证：.

【解红十字会法 问】由椭圆的焦半径公式 |PF1|=a+ex.

对于|PD1|用距离公式 |PD1|=x-=x+.

故有.

【道明】此本量即是：该椭圆上任性一面，到定面F1（-c,0）（F2（c,0））取定直线l1:x=-(l2：x=)

的距离之比为定值e（0）.

四、用椭圆的焦半径公式道明椭圆的圆程

现止课本正在椭圆部分，只完毕了“从直线到圆程”的单背推导，本量上那只完毕了任务的一半.而另

一半，从“圆程到直线”，却留给了教死（闭于那一面，被许多教死所忽略了可顺推导历程本去没有简朴,

特天是顺历程中的二次供仄圆根）.

本去，有了焦半径公式，“道明椭圆圆程为所供”的历程隐得很简明.

【例4】设面P（x，民谣歌手 y）切合圆程.供证：面P（x，y）到二定面F1（-c,0）战F2（c，0）

的距离之战为2a（c2=a2-b2）.

【分解】那题目是为了完毕“从圆程到直线”的那一顺背历程.利用例2导出的中心半径公式，很快可推出

截止.

【解问】P（x，y）到F1（-c,0）的距离设做r1=|PF1|.由椭圆的中心半径公式可知

r1=a+ex①

共理另有

r2=a-ex②

①+②得r1+r2=2a

即 |PF1|+|PF2|=2a.

即P（x，y）到二定面F1（-c，0）战F2（c,0）的距离之战为2a.

【道明】椭圆圆程是二元二次圆程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.果此，盘绕着椭圆焦半径

的问题，使用焦半径公式比使用椭圆圆程要隐得烦琐.