线性代数中的合同关系、正定矩阵

什么是线性代数中的合同？ 惯性定律？

“合同”是矩阵之间的一种关系。两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在

一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。按照

它可以对n阶方阵的全体进行分类。对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有

两个结果。

①每个n阶实对称矩ps图片渐变 阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。

②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的

P也变化）。但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正

惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。

结果②就是“惯性定理”。

一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题

是否正确?

不对，反例： 1 2

图书排行 2 1

只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定

设M是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量

X=(x_1,...x_n) 都有 XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。

正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。

所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。

另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)

称为正定矩阵.

正定矩阵的一些判别方法

由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

证明：若 ， 则有

∴＞0

反之，必存在U使

即 ： A正定

由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征

值全部非负。

特征值都在主对角线上运算你知道的吧。

行列式小结

一、行列式定义

行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出

的数而已。当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。所以我们可以把行列式

当成一个数值来进行加减乘除等运算。

举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）

构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。

那么这n*n个数字短信英语 是按照什么规则进行运算的呢？

行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的代数和（共有n!项）。（这里面的代数

和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判cpu可以换吗 断！）

对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式

（比如三角邓超哪里人 行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依

据行列式的性质和展开法则。

二、行列式性质

行列式的那几条性质其实也很容易记忆。

1、行列式转置值不变。这条性质说明行列式行、列等价，凡是对行成立的，对列也成立。

2、互换两行（列），行列式变号。

3、两行（列）相等，则行列式为0。

4、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！

5、两行（列）成比例，则行列式为0。

6、行列式加法运算：某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展

开成两个同阶行列式的和。

7、某行（列）同乘一个数加到另外一行（列）上，行列式值不变。

这7条性质往往组合使用来求行列式的值。尤其第7条性质，一定要会熟练运用来将一

个行列式化为三角行列式（既要会对行使用，也要会对列使用），最好能自己多做点练习。

三、行列式行（列）展开法则

行列式的行（列）展开法则其实是一种降阶求行列式值的方法。

行列式的行（列）展开法则一定注意一点，即一定是某行（列）每个元素同乘以自己对应

的代数余子式。（即我一直强调的：要配套。）

如果是某行（列）每个元素同乘以另外一行（列）对应位置的代数余子式则值为零。（即：

不配套。）

矩阵小结

初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。初等变换有三类：

1、位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；

2、数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素；

3、消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。

初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。

则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。

1、交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；

2、数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；

3、消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。

其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。

初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个3阶或者4阶的单位矩阵，然后进行初等变换来

加深一下印象。

首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作

逆变换）。

最关键的问题是：初等矩阵能用来做什么？

当我们用初等矩阵左乘一个矩阵A的时候，我们发现矩阵A发生变化而成为矩阵B，而这

种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化。具体来说：

左乘的情况：

1、E(i,j)A=B，则矩阵A第i行与第j行位置交换而得到矩阵B；

2、E(i(k))A=B，则矩阵A的第i行的元素乘以数k而得到矩阵鸡的成语大全四个字 B；

3、E(ij(k))A=B，则矩阵A的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上而得到矩阵B。

结论1：用初等矩阵左乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的行的初等变冬天九寨沟 换。

右乘的情况：

4、AE(i,j)=B，则矩阵A第i列与第j列位置交换而得到矩阵B；

5、AE(i(k))=B，则矩阵A的第i列的元素乘以数k而得到矩阵B；

6、AE(ij(k))=B，则矩阵A的第i列元素乘以数k，然后加到第j列上而得到矩阵B。

结论2：用初等矩阵右乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的列的初等变换。

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请注意并理解结论1和结论2中的“相应”两字。

初等矩阵为由单位矩阵E经过一次初等变换（三种）而来，我们可准大学生 以把初等矩阵看成是

施加到单位矩阵E上的一个变换。

若某初等矩阵左（右）乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按

照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，我们想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A

去做处理，而是通过一种间接方式去实现。