欧拉公式简介

欧拉公式

e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定

义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里

占有非常重要的地位。

e^ix=cosx+isinx的证明：

因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+„„

cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!„„

sin x=x-x^3/孙楠个人资料 3!+x^5/5!-x^7/7!„„

在e^x的展开式中把x换成ix.

(i)^2=-1, (i)^3=∓i, (i)^4=1 „„抗美援朝时间

e^ix=1ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!„„

=(1-x^2/2!+„„)i(x-x^3/3!„„)

所以e^ix=cosxisinx

将公式里的x换成-x，得到：

e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作就得到：

e^i+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它comex黄金 是数学里最令人着迷的一个公

式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数

的底e，圆周率，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为

人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”

那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^ix=cosxisinx。 那么

这里的就是x，那么

e^i=cos+isin

=-1

那么e^i+1=0

这个公式实际上是前面公式的一个应用

[1]

欧拉公式

欧拉公式有4条

（1）分式：

a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

当r=0,1时式子的值为0

当r=2时值为1 糖的英文

当r=3时值为a+b+c

（2）复数

由e^i=cos+isin,得到：

sin=（e^i-e^-i）/2i

cos=（e^i+e^-i）/2

此函数将两种截然不同的函数---酱缸文化 指数函数与三角函数联系起来，被誉为数

学中的“天桥”。

当=时，成为e^i+1=0 它把数学中最重要的e、i、、1、0联系起

来了。

（3）三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d^2=R^2-2Rr

（4）多面体

设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则

v-e+f=2-2p

p为亏格，2-2p为欧拉示性数，例如

p=0 的多面体叫第零类多面体

p=1 的多面体叫第一类多面体

等等

编辑本段

三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d^2=R^2-2Rr

编辑本段

拓扑学

事实上，欧拉公式有平面与空间两个部分：

空间中的欧拉公式

V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体

P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），

那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形

也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

在多面体中的运用:

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

V+F-E=2

这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的

规律。

平面上的欧拉公式

V+F-E=X(P),V

其中是图形P的定点个数，F是图形P内的区域数，E是图

形的边数。

在非简单多面体中，欧位公式的形式为：

V-E+F-H=2(C-G)

其中H指的是平面上不完整的个数，而C指的是独立的多面体的个数，G指

的是多面体被贯穿的个数。

证明

（1） 把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。

（2） 去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面

中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图

形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。

（3） 对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角

形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样

子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′

不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有

些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

（4） 如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个

三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′

和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。

（5） 如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个

三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′

减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。

（6） 这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这

时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=好看的壁纸男生 1。

（7） 因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，

因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，

像图中⑦那样。

（8） 如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也

就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。

即F′-E′+V′=1

成立，于是欧拉公式：

F-E+V=2

得证。

初等数论与欧拉公式

欧拉函数：(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n

是一个正整数。

欧拉公式

欧拉证明了下面这个式子：

如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*„„*pm^am，其中众

pj(j=1,2,„„,m)都是素数，而且两两不等。则有

(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)„„(1-1/pm)

利用容斥原理可以证明它。

编辑本段

物理学

众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在

桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：

F=fe^ka

其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k

表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧

半径之比。

此外还有很多着名定理都以欧拉的名字命名。