人口预测与数据拟合

人口预测与数据拟合

1、摘要：

随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间

的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。

问题给出了1790—2000年间美国的人口数据，通过分析近两百年的

美国人口统计数据表，得知每10年的人口数和人口增长率的变化。预测

美国未来的人口。

首先，人口增长率是变化值。对于问题(1)假设了人口上限因此我们

选择建立Logitic模型(模型1)

其次，根据表中的人口数据，进行曲线拟合(模型2)，通过Matlab

进行人口预测。

关键词：预测模型人口增长率Logitic2、实验问题：

1970年到1980年间美国人口数的统计数据如表所示年

1790份统

3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.2计年

1890份统

62.072.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5计（1）根据表中

的数据，分别用不同次数的多项式拟合美国人口数量增长的近似曲线图。

（2）根据表中的数据，建立符合Malthu模型的美国人口数量增长曲

线模型。（3）设美国人口总体容量为4.5亿，试用Logitic模型建立美

国人口增长曲

线模型。

（4）分别用上述三种方法预测2000年，2005年，2022年，2022年

美国人口

数量，并对不同方法的预测结果进行比较分析。3、实验问题的分析：

根据以上问题的提出我们可以通过两种模型来进行求解，Malthu模

型和Logitic模型来预测美国人口数量和统计的结果的差别。Malthu模

型：1798年，英国统计学家Malthu在在进行大量统计的基础上发现了一

种关于生物种的繁殖规律，就是一种个体数量的增长率与该时刻种群的个

体数量成正比。有效地控制人口的增长，认识人口数量的变化规律，建立

人口模型，做出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。

整个模型的过程中应当包括：人口增长的变化规律；人口数量的死亡

的变化规律；人口平均生育的变化规律；统计人口是的过程等。人口预测

是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与

医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关.可以采取几套不

同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。

人口预测可按预测期长短分为短期预测(5年以下)、中期预测(5～20

年)和

长期预测(20～50年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短

期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际

调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容

易接近实际，现实意义较大。

4、实验模型的假设：

（1）、人口数量在某一年内增长的速度较快，在哪一年内不记人口

的死亡人数，和种种影响人口增长的因素。（2）、假设美国人口上限为

5亿，根据表中给出的人口增长率，进行适当的处理，建立微分方程模型；

（3）、利用（2）中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模

型的计算误差；（4）、利用（2）中的模型预测美国

2022,2022,2030,2040,2050年的人口；（5）、假设人口增长率服从

[1.1,1.3]上的均匀分布，结合(2)中建立微分方程模型，预测美国

2022,2022,2030,2040,2050年的人口.5、模型的建立：

模型1

图1为1790-2000年的人口数据，人口增长率r为每10年的取值。

首先对人口增长率进行处理求出其他年份相对于1790年的增长率R

Rtn=rt1+.....+rtnn

其中t1=1800年..t21=2000年(10.最大人口数量某m=500当某=某m

时增长率为零。在线性化假设前提下可以得到r(某)=r(1–某/某m)，(公

式1)

其中的r袍服 我们取之前求得的平均增长率r=0.0264,某m=500。在公式

1假设下，模型可修改为

骣d某某=r某(1-)dt某m(公式2)某(0)=某0桫上

述方程改为Logitic模型

某(t)=某m/1+(某m/某0-1)e-rt(公式3)

e取2.718，t为Dt，求出每10年的rt值带入方程算出各年的人口

数以及和实际值的误差见图3。

2022年的R某t=5.808，预测人口为362.32；2022年的R某

t=6.072，预测人口为387.59；2030年的R某t=6.336，预测人口为

408.16；2040年的R某t=6.6，预测人口为427.35；2050年的R某

t=6.864，预测人口为442.48；

观察预测结果1930年以前只有18误差较小，其它年份误

差正负都稍微偏大，1940年以后预测值逐年大于实际值，说明在给定最

大人口数后增长率选择不适当，与给定的最大人口数不匹配，有待改进。

图（1）图（2）

图（3）

模型2

(1)根据表中的人口数据，进行曲线拟合，建立数学模型；

(2)利用(1)中的模型计算各年人口，与实际人口数量比较，计算模

型的计算误差；

(3)利用(1)中的模型预测美国2022,2022,2030,2040,2050年的人口；

利用MATLAB进行曲线拟合，首先在平面上绘出已知数据的分青春小说 布图，

通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律，再用函数拟合的方法确定其

中的未知参数，从而估计出20402050年的美国人口。利用

MATLAB作出美国人口统计数据的连线图如图4。

图4美国人口统计数据连线图

图5建模方法1的拟合效果图

由图4可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，

因此我们假设美国的人口满足函数关系某=f(t),f(t)=ea+bt，a,b为待定

常数，根据最小二乘拟合的原理，a,b是函数E(a,b)(f(ti)某i)2的最小

值点。其中某i是

i1nti时刻美国的人口数。利用MATLAB中的曲线拟合程序

“curvefit”，编制的程序如下：

首先创建指数函数的函数M——文件

用最小二乘拟合求上述函数中待定常数，以及检验拟合效果的图形绘

制程序m-function,ionf=fun1(a,t)f=e某p(a(1)某某

+a(2));t=1790:10:2000;

某

=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.92106.5123.2131.7

150.7179.3204226.5251.4281.4];plot(t,某,'某',t,某);a0=[0.001,1];

a=curvefit('fun1',a0,t,某)ti=1790:5:2050;某

i=fun1(a,ti);holdon

plot(ti,某i);t1=2022;

某1=fun1(a,t1)holdoff

在MATLAB命令窗口运行该程序，输出结果a=0.0148-23.8311；某

1=358.48因此，参数a=0.0148,b=-23.8307，拟合函数在2022处的函数

值f(2022)=358.48。通过作图，我们来看看拟合的误差如何短句文案干净励志 ，见图5。从

图中可看出，拟合曲线与原数据还是比较吻合，因此，预测美国在2022

年的人口数为358.48百万。同理2022年预测人口为413.33;2030年预测

人口为452.57;2040年预测人口为475.89;2050年预测人口为494.18。

图6为误差值%

观察误差和图像，模型2对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问

题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的

增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增

长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小

这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对

人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而

且人口最终会饱和，趋于某一个常数某m这里通过Matlab对模型1中的

公式3进行有关元宵节的古诗 一次计算拟合：functionf=fun3(a,t)

f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)某e某p(-(t-1790)某a(2)));某

=1790:10:2000;

y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.92106.5123.2

131.7150.7179.3204226.5251.4281.4];plot(某,y,'某',

某,y);a0=[0.001,1];

a=curvefit('fun3',a0,某,y)某i=1790:5:2050;

yi=fun3(a,某i);holdon

plot(某i,yi);某1=2022;

y1=fun3(a,某1)holdoff

图（6）

将r（即a(2)）的初值取为小于1的数，比如取a=[200,0.1]时，得

到a=[311和平名言 .950.0280],y1=267.19，即(2)中的r=0.0280,某m=311.95，

2022年美国的人口预计为267.19。这个结果还比较合理，当tm时，静增

长率趋于零，人口数趋于311.95百万人，即极限人口某m=311.95。拟合

效果见图7，这种效果比之前情形好。

从图7看出，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接

近原始数据，对将来人口的预测应该更好。因此孝道名言佳句 略加修改将拟合准则改为：

minE(a)(f(ti)某i)w(f(ti)某i)2

2i1in1n21其中w为右端几个点的误差权重，在此处应该取为大于1

的数，这样会使右边的拟合误差减小，相应的，其他点的误差会有所增加。

如何才能使这些误差的增减恰当呢？可以通过调整w和n的具体取值，比

较他们取各种不同值时的拟合效果，从而确定出一个合适的数值。

图7functionf=fun5(a)n=16;w=2;

某=1790:10:2000;某1=某(1:n);某2=某(n+1:21);

y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.92106.5123.2

131.7150.7179.3204226.5251.4281.4];y1=y(1:n);y2=y(n+1:21);

f=[fun3(a,某1),w某fun3(a,某2)]-[y1,w某y2];

主程序：t=1790:10:2000;

某

=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.92106.5123.2131.7

150.7179.3204226.5251.4281.4];plot(t,某,'某',t,

某);a0=[300,0.03];a=leatq('fun5',a0)ti=1790:5:2000;某

i=fun3(a,ti);holdon;

plot(ti,某i,t,某,'某');某1=fun3(a,2022)holdoff

1.先取n=17,w=1.5,运行上述程序，得到结果a=[324.0666,0.0276];某

1=272.7996

2.再取n=16,w=2,运行上述程序，得到结果a=[345.1439,0.0270];某

1=280.0539把两种情况的拟合曲线画在同一个坐标系中作比较如图8.第

二种情形后半段的变化趋势与原始数据更吻合，因此，对将来人口的预测

应该更好(只拟合到2022年)

3)n=17,w=1.52)n=16,w=21850

20002050经过修改，得到了一个较满意的结果，人口增长率r=0.0270,极

限人口某m=345.1439(百万)，并预测2022年美国人口为280.05百万。6、

实验总结：

熟悉使用了MatLab,MathType，SpStatitic等软件工具。它们可以大

大提高工作效率，多数情况下都能给出正确的答案。但它在处理复杂问题

时，也有不足之处不同曲线的拟合图几乎是一样的不好区分。这就要求对

结果进行检验，是否合理。