利用向量混合积求四面体体积

利用向量混合积求四面体体积

郑惠

【摘 要】在解析几何中,向量混合积((→a),(→b),(→c))的一个重要应用就是利用其

几何意义求平行六面体和四面体的体积.利用向量混合积给出了求四面体体积的一

个更一般的方法.

【期刊名称】《高师理科学刊》

【年(卷),期】2019迈克尔杰克逊生日 (039)003

【总页数】2页(P1-2)

【关键词】解析几何;混合积;四面体;体积

【作 者】郑惠

【作者单位】阿坝师范学院数学与计算机科学学院,四川汶川623000

【正文语种】中 文

【中图线上教学案例 分类】O182.2

在解析几何中2个向量，先作外积，再与另一向量作内积，称为三向量的混合积，

记为，即．的几何意义为：当，，不共面时，为以，，为棱所作的平行六面体的体

积；当，，共面时，．混合积应用研究的热点除了用于证明向量共面，就是求平行

六面体和四面体的体积．教材[1-3]对四面体体积问题进行研究时，都只是利用四

面体其共点三边（向量）混合积计算四面体的体积，文献[4-10]分别对四面体体积

进行了研究．本文给出求四面体体积的创建平安校园 一个更一般的方法．

定理 四面体的体积等于以其任意不共面的三边（向量）为棱所作的平行六面体体

积的六分之一．

证明 为一四面体（见图１），设，，，则，，．由初等几何知识可知，四面体的

体积等于以其共点的三边（向量）为棱所作的平行六面体体积的六分之一．因为平

行六面体的体积等于其三边的混合积的绝对值，所以

四面体不共点、不共面的任意三边的组合共有12种，其混合积分别

为，，，，，，，，，，，．由混合积的运算规律可知，这12个混合积的绝对值

都相等，且都等于．故四面体的体积等于以其任意不共面的三边（向量）为棱所作

的平行六面体体积的六分之一. 证毕．

推论 设四面体在笛卡尔直角坐标系下的坐标为，则其体积为

证明 由文献[1-3]及行列式的性质直接可得． 证毕．

本文利用向量混合积对四面体体积问题进行了研究，对教材内容进行了深化与拓

展．提出了三塔寺 求四面体体积一种简单快捷的方法，即四面体的体积等于以其任意不共

面三边（向量）混合积的绝对值的六分之一. 此方法简洁、高效，对求四面体体积

具有实效性和普遍性，值得借鉴和推广.

【相关文献】

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