切线方程与切点弦方程

切线方程与切点弦方程

、圆的切线方程

、圆的方程为 已知：圆的方程为 圆上一点 。

:(x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 1. :(x - a)2 + (y - b)2 = r2, P(x, y)

00

求过点 的切线方程

P

解：圆心 ;直线 的斜率：

C(a, b)CP k= ( y- b)/( x- a)

i oo

因为直线与切线垂直所以切线的斜率：

CP，k= -1/k= - (x- a) / (y- b)

2 i o o

根据点斜式 求得切线方程：

,

y - y= k(x - x)

o 2 o

y - y= [- (x- a) / (y- b)] (x - x)

o o o o

整理得： 切线方程公式

(x - x)(x- a) + (y - y )(y - b) = o

oo oo

展开后

: xx - ax + ax+ yy - by + by- x2 - y2 = o (1)

oo oo oo

因为点在圆上所以它的坐标满足方程：

P，

(x- a)2 + (y- b)2 = r2

o o

()

化简

: x2 - 2ax+ a2 + y2 - 2by+ b2 = r2

oo oo

移项

: - x2 - y2 = -2ax- 2by+ a2 + b2 - r2 (2)

ooo o

由代入得： 化简：

(2)(1), xx - ax + ax+ yy - by + by+ (-2ax - 2by+ a2 + b2 - r2) = o (xx -

oo oo o o o

ax - ax+ a2) + (yy - yb- by+ b2) = r2 (x- a)(x - a) + (y - b)(y俄罗斯生活 - b) = r 2

o oo o o

整理：

变式已知圆的方程为 圆外一点

-1 ::(x - a)地理试卷分析 2 + (y - b)2 = r2 , P(x, y) 简笔画云

oo

二、对于圆的一般方程 过圆上的点的切线方程

:x2 + y2 + Dx + Ey + F = o, .

2.::x2 + y2 + Dx + Ey + F = o, P(x, y)

已知圆的方程为 圆上一点

oo

解： 圆心

C( -D/2, -E/2 )

直线 的斜率

CP :k= (y+ E/2) / (x + D/2)

i o o

因为直线与切线垂直所以切线的斜率根据点斜式 求得切线

CP：k= -1/k= - (x+ D/2) / (y + E/2) ,

,

2 i o o

方程：

y - y= k(x - x)

o 2 o

y - y= [- (x+ D/2) / (y + E/2)] (x - x)

o o o o

(3) ：xx + yy + Dx/2 + Ey/2 - Dx /2 - Ey/2 -x2 - y2 = o

整理得

oooooo

因为点在圆上所以它的坐标满足方程:

P，学习经验

x2 + y2 + Dx+ Ey+ F = o ： - x2 - y2 = Dx+ Ey+ F

ooo o ooo o

移项

由代入得：

(4)(3),xx + yy + Dx/2 + Ey/2 - Dx /2 - Ey/2 + Dx+ E天下黄河第一桥 y+ F = 0

ooooo o

(4)

整理

,xx + yy + D(x + x )/2 + E(y + y )/2 + F = 0

oooo

变式已知圆的方程为圆外一点

-2 ：:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 , P(x, y)

oo

二、

圆的切点弦方程

证明：遼尸工—鼠辻点柞圖的妁两卷切虬切点是召，卿直戏

h ,y) P4?

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以为宝.疵肚血韵芭的左;丄更--^)亠〔

P.C(.t + Q' * f)F -l-'c) = o.

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即(半一 ①

x~带有鸟的四字词语 Jt3)y -~^t-

1

+ r* + -x)x + (y yj( 0 .............

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+ t + Z>.t + + 7"小学诗歌大全 = 0 ...................................................

J

怎

三、圆锥曲线的切线方程和切点弦方程

设P(x, y)是圆锥曲线上(外)一点，过点P引曲线的两条切线, 切点为A , B两

oo

点，则A , B两点所在的直线方程为切点弦方程。

标准方程 切点弦方程

(x-a)=r

1

+(丁一6‘

圆

+y + = 0

:

Dx^-Ey^F

(X -住)(x- u) +00 — b)(y - 二厂

o

•5+ J V.J + V L c

gx4 1-y+ 2

O

+ " E^F = 0

2

弋+吟_1

椭圆

二十匸= 1(2 0/a 0)

b~

- A- = > 0* & > 0) 工横 i

a b

21

双曲线

抛物线

y^y

aa b

Jr

J- = W=pg+x)

2

2

P^P > )

12