谈圆柱曲线的统一方程

谈圆柱曲线的统一方程

洪涛清

【摘 要】在空间,选取适当的坐标系,求出任意平面截圆柱面所得曲线的统一方程,

并就各种情况进行详细讨论,得出只有2平行直线、戴眼镜的危害 寒假去哪玩 圆、椭圆这3种二次曲线的事

实.

【期刊名称】《丽水学院学报》

【年(卷),期】2008(030)005

【总页数】3页(P72-74)

【关键词】圆柱曲线;平行线;圆;椭圆;二次曲线

【作 者】洪涛清

【作者单位】丽水学院,数理学院,浙江,丽水,323000

【正文语种】中 文

【中图分类】G642

用一个平面去截圆锥面将分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线，因此称这些二次曲

线为圆锥曲线。那么，用一个平面去截圆柱面将会得到什孙期传 么二次曲线？即所谓的

“圆柱曲线”是些什么曲线？大家知道，用垂直或平行于对称轴的平面去截圆柱面，赞美父亲的诗句

得到的将分别是圆和两平行直线，其它一般情况教育孩子的电影 截口则是椭圆。那么为什么呢？我

们以图1为例，给出这些曲线的统一方程，并进行详细地讨论。

1 圆柱曲线的统一方程

图1是一个半径为a的圆柱，用一个平面去截，得到交线。一般地，为一封闭

曲线。取之与轴对称的两母线的交点A、B，设AB交圆柱的对称轴l于点O。下

面以OB为y轴，在截面上垂直于OB的直线OC为x轴，建立右手直角坐标系

O-xyz，如图1，设对称轴l的方向角分别为,,∈[0,180),则圆柱的对称轴l

的方程为：其中cos2+cos2+cos2=1。

由此不难得出,,至多1个为0,至多2个为90。

在圆柱面上任取一点M(x,y,z)，根据dM、l=a，得

由于cos2+cos2+cos2=1,于是，圆柱面方程为

x2sin2+y2sin2+z2sin2-2xycoscos-2yzcoscos-2xzcoscos=a2。

显然，曲线可看成平面z=0去截圆柱面所得，故曲线的方程为

(1)

2 关于圆柱曲线统一方程的讨论

方程(1)表示的是一个人写真摄影店 条什么曲线？由于、的取值范围的不同，出现如下几种情

况。

(1)当==90时，方程等价于

显然这是一个圆，即用垂直于圆柱面对称轴的平面去截，所得曲线为圆。

(2)当=90,=0或=0,=90时，方程等价于

或

显然两者都是2条平行线，即用平行于圆柱面对称轴的平面去截，所得曲线为两

平行直线。

(3)当+=90时，由cos2+cos2+cos2=1得cos=0，即=90，z轴⊥l,

或者说l在xOy平面内。此时，方程x2sin2+y2sin2-2xycoscos=a2等价

于x2sin2+y2cos2-2xycossin=a2即(xsin-ycos)2=a2,于是，原方程等

价于

显然这也是2条平行线，即用经过圆柱面对称轴的平面去截，所得曲线为两平行

直线。

概括(2)(3)两种情况可得，当+=90时，用平行或经过圆柱面对称轴的平面去

截，所得曲线都为2平行直线。

(4)当=90，≠0或≠0,=90时，方程等价于

或

显然两者都是椭圆，即用既过垂直于圆柱面对称轴的一条直线又与对称轴相交的平

面去截，所得曲线必为椭圆。

(5)当≠90,=0或=0,≠90时，方程等价于

或

两者表示的是双曲线(本文以定理1证明其后)，但这种情况不可能成立。因为若

或=0，则x或y轴与对称轴平行，从而y或x轴就与对称轴垂直，即与≠90

或≠90矛盾。

(6)当,≠90且,≠0及+≠90时，方程即为

这也是一个椭圆(本文以定理2证明其后)，即用既不平行于对称轴又平面内任何直

线都不垂直于对称轴的平面去截圆柱面，得到的仍是椭圆。概括(4)(6)两种情况，

可得，用既不平行又不垂直于圆柱面的对称轴的平面去截圆柱面，得到的都将是椭

圆。

3 两个定理的证明

定理1 方程表示双曲线。

证明 在xoy平面上，x2sin2-2xycos=a2表示的是二次曲线，可以通过转轴消

去交叉项，设旋转角为，则

于是(或-cos)。

将转轴公式代入原方程，消去交叉项，得

或(y′)2-(x′)2cos2=a2。

显然，在空间两者都表示双曲柱面，坐标变换不改变曲面形状。

因此，原方程表示双曲线。

定理2 方程当,≠90,且,≠0及+≠90时表示椭圆。

证明 在xoy平面内，x2sin2+y2sin2-2xycoscos=a2是一个二元二次方程，

表示一条二次曲线。各系数分别为a11=sin2,a12=-

coscos,a13=0,a22=sin2,a23=0,a33=-a2,于是二次曲线的不变量分别为：

I1=a11+a22=sin2+sin2>0(,≠0)，

所以，I1>0,I1I3<0,根据二次曲线的一般理论[1]可知，该曲线为椭圆。事实上，

通过坐标变换，方程可简化为

即1x2+2y2=a2

(2)

其中，1,2是特征方程2-I1+I2=0的特征根，即

显然，1,2都大于0且1≠2,于是(2)式表示椭圆。

综上所述，“圆柱曲线”只能为2平行直线、圆、椭圆这3类，不含双曲线、抛

物线等二次曲线。

参考文献

【相关文献】

[1]吕林根，许子道.解析几何[M].第4版.北京：高等教育出版社，2006.