康托尔与集合论

康托尔与集合论

康托尔是19世纪花样年华剧照 末20世纪初德国伟大

的数学家，集合论的创立者。是数学史上最

富有想象力，最有争议的人物之一。19世纪

末他所从事的关于连续性和无穷的研究从

根本上背离了数学中关于无穷的使用和解

释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉

的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正

确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最

伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学

的研究领域，给数学结构提供了一个基础，

集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影

响了现代哲学和逻辑。

1．康托尔的生平

1845年3月3日，乔治康托生于俄国

的一个丹麦—犹太血统的家庭。1856年康托

和他的父母一起迁到德国的法兰克福。像许

多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现

出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人

惊奇的结论。他的父亲力促他学工，因而康

托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。

这时柏林大学正在形成一个数学教学与研

究的中心。康托很早就向往这所由外尔斯托

拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏

林大学，康托受了外尔斯特拉斯的影响而转

到纯粹的数学。他在1869年取得在哈勒大

学任教的资格，不久后就升为副教授，并在

1879年被升为正教授。1874年康托在克列

勒的《数船长英语 学杂志》上发表了关于无穷集合理

论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为

这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这篇

文章的创造性引起人们的注意。在以后的研

究中，集合论和超限数成为康托研究的主流，

他一直在这方面发表论文直到1897年，过

度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康

托患了精神分裂症。这一难以消除的病根在

他后来30多年间一直断断续续影响着他的

生活。1918年1月6日，康托在哈勒大学的

精神病院中去世。

2．集合论的背景

为了较清楚地了解康托在集合论上的

工作，先介绍一下集合论产生的背景。

集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数

学分析基础的批判运动。数学分析的发展必

然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无

穷概念。在18世纪，由于无穷概念没有精

确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻

辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉

扫地。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念

的精确描述。在这基础上建立起连续、导数、

微分、积分以及无穷级数的理论。正是这19

世纪发展起来的极限理论相当完美的解决

了微积分理论所遇到的逻辑困难。但是，柯

西并没有彻底完成微积分的严密化。柯西思

想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。19

世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑

矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极

限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有

真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严

密的算术的基础上。于是，许多受分析基础

危机影响的数学家致力与分析的严格化。在

这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究

对象─连续函数的描述。在数与连续性的定

义中，有涉及关于无限的理论。因此，无限

集合在数学上的存在问题又被提出来了。这

自然也就导致寻求无限集合的理论基础的

工作。总之，为寻求微积分彻底严密的算术

化倾向，成了集合论产生的一个重要原因。

3．集合论的建立

康托在柏林大学的导师是外尔斯托拉

斯，库曼和克罗内克。库曼教授是数论专家，

他以引进理想数并大大推动费马大定理的

研究而举世闻名是。克罗内克是一位大数学

家，当时许多人都以得到他的赞许为荣。外

尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数

学家。他的演讲给数学分析奠定了一个精确

而稳定的基础。例如，微积分中着名的观念

就是他首先引进的。正是由于这些人的影响，

康托对数论较早产生兴趣，并集中精力对高

斯所留下的问题作了深入的研究。他的毕业

论文就是关于++=0的素数问题的。这是高斯

在《算术研究》中提出而未解决的问题。这

片论文写得相当出色，它足以证明作者具有

深刻的洞察力和对优秀思想的继承能力。然

而，他的超穷集合论的创立，并没有受惠于

早期对数论的研究。相反，他很快接受了数

学家海涅的建议转向了其他领域。海涅鼓励

康托研究一个十分有趣，也是较困难的问题：

任意函数的三角级数的表达式是否唯一？

对康托来说这个问题是促使他建立集合论

的最直接原因。函数可用三角级数表示，最

早是1822年傅立叶提出来的。此后对于间

断点的研究，越来越成为分析领域中引人注

目的问题，从19世纪30年代起，不少杰出

的数学家从事着对不连续函数的研究，并且

都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩。

这就为康托最终建立集合论创造了条件。

1870年，海涅证明，如果表示一个函数的三

角级数在区间[-,]中去朱熹读音 掉函数间断点

的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛

的，那么级数是唯一的。至于间断点的函数

情况如何，海涅没有解决。康托开始着手解

决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问

题。于，他跨出了集合论的第一步。

康托一下子就表现出比海涅更强的研究能

力。他决定尽可能多地取消限制，当然这会

使问题本身增加难度。为了给出最有普遍性

的解，康托引进了一些新的概念。在其后的

三年中，康托先后发表了五篇有关这一题目

的文章。1872年当康托将海涅提出的一致收

敛的条件减弱为函数具有无穷个间断点的

情况时，他已经将唯一性结果推广到允许例

外值是无穷集的情况。康托1872年的论文

是从间断点问题过度到点集论的极为重要

的环节，使无穷点集成为明确的研究对象。

集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念

本身。从希腊时代以来，无穷集合很自然地

引起数学家们和哲学家们的注意。而这种集

合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有

穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理

解没有任何进展。早在中世纪，人们已经注

意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画

射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间

建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样

的。16世纪，伽俐略还举例说，可以在两个

不同长的线段ab与cd之间建立一一对应，

从而想象出它们具有同样的点。

他又注意到正整数可以和它们的平方构成

一一对应，只要使每个正整数同它们的平方

对应起来就行了:

1234……n……

234……n……

但这导致无穷大的不同的“数量级”，伽俐

略以为这是不可能的.因为所有无穷大都一

样大。

不仅是伽俐略，在康托之前的数学家大多不

赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手

段，因为它将出现部分等于全体的矛盾.高

斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实

体，这在数学中是从来不允许的。无穷只是

一种说话的方式……”柯西也不承认无穷

集合的存在。他不能允许部分同整体构成一

一对应这件事。当然，潜无穷在一定条件下

是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片

面的。数学的发展表明，只承认潜无穷，否

认实无穷是不行的。康托把时间用到对研究

对象的深沉思考中。他要用事实来说明问题，

说服大家。康托认为，一个无穷集合能够和

它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰

恰反应了无穷集合的一个本质特征。对康托

来说，如果一个集合能够和它的一部分构成

一一对应，它就是无穷的。它定义了基数,

可数集合等概念。并且证明了实数集是不可

数的代数数是可数的.康托最初的证明发表

在187vool 4年的一篇题为《关于全体实代数数

的特征》的文章中,它标志着集合论的诞生。

随着实数不可数性质的确立，康托又提出一

个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了

能否建立平面上的点和直线上的点之间的

一一对应。从直观上说，平面上的点显然要

比线上的点要多得多。康托自己起初也是这

样认识的。但三年后，康托宣布：不仅平面

和直线之间可以建立一一对应，而且一般的

n维连续空间也可以建立一一对应！这一结

果是出人意外的。就连康托本人也觉得“简

直不能相信”。然而这又是明摆着的事实，

它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发

现真理，避免谬误。

既然n维连续空间与一维连续统具有相同的

基数，于是，康托在1879到1884年间集中

于线性连续统的研究，相继发表了六篇系列

文章，汇集成《关于无穷的线性点集》。前

四篇直接建立了集合论的一些重要结果，包

括集合论在函数论等方面的应用。其中第五

篇发表于1883年，它的篇幅最长，内容也

最丰富。它不仅超出了线性点集的研究范围，

而且给出了超穷数的一个完全一般的理论，

其中借助良序集的序型引进了超穷序数的

整个谱系。同时还专门讨论了由集合论产生

的哲学问题，包括回答反对者们对康托所采

取的实无穷立场的非难。这篇文章对康托是

极为重要的。1883年，康托将它以《集合论

基础》为题作综合办 为专着单独出版。

《集合论基础》的出版，是康托数学研究的

里程碑。其主要成果是引进了作为自然数系

的独立和系统扩充的超穷数。康托清醒地认

识到，他这样做是一种大胆的冒进。“我很

了解这样做将使我自己处于某种与数学中

关于无穷和自然数性质的传统观念相对立

的地位，但我深信，超穷数终将被承认是对

数概念最简单、最适当和最自然的扩充。”

《集合论基础》是康托关于早期集合理论的

系统阐述，也是他将做出具有深远影响的特

殊贡献的开端。

康托于1895年和1897年先后发表了两篇对

超限数理论具有决定意义的论文。在该文中,

他改变了早期用公理定义(序)数的方法，采

用集合作为基本概念。他给出了超限基数和

超限序数的定义，引进了它们的符号；依势

的大小把它们排成一个“序列”；规定了它

们的加法，乘法和乘方……。到此为止，康

托所能做的关于超限基数和超限序数理论

已臻于完成。但是集合论的内在矛盾开始暴

露出来。康托自己首先发现了集合论的内在

矛盾。他在1895年的文章中遗留下两个悬

而未决的问题：一个是连续统假说；另一个

是所有超穷基数的可比较性。他虽然认为无

穷基数有最小数而没有最大数，但没有明显

叙述其矛盾之处。一直到1903年罗素发表

了他的着名悖论。集合论的内在矛盾才突出

出来，成为20世纪集合论和数学基础研究

的出发点。

4．对康托集合论的不同评价

康托的集合论是数学上最具有革命性

的理论。他处理了数学上最棘手的对象---

无穷集合。因此，他的发展道路也自然很不

平坦。他抛弃了一切经验和直观，用彻底的

理论来论证，因此他所得出的结论既高度地

另人吃惊，难以置信，又确确实实，毋庸置

疑。数学史上没有比康托更大胆的设想和采

取的步骤了。因此，它不可避免地遭到了传

统思想的反对。

19世纪被普遍承认的关于存在性的证明是

构造性的。你要证明什么东西存在，那就要

具体造出来。因此，人只能从具体得数或形

出发，一步一步经过有限多步得出结论来。

至于“无穷”，许多人更是认为它是一个超

乎于人的能力所能认识的世界，不要说去数

它，就是它是否存在也难以肯定，而康托竟

然“漫无边际地”去数它，去比较它们的大

小，去设想没有最大基数的无穷集合的存

在……这自然遭到反对和斥责。

集合论最激烈的反对者是克罗内克，他认为

只有他研究的数论及代数才最可靠。因为自

然数是上帝创造的，其余的是人的工作。他

对康托的研究对象和论证手段都表示强烈

的反对。由于柏林是当时洗脸英语怎么说 的数学中心，克罗

内克又是柏林学派的领袖人物，所以他对康

托及其集合论的发展前途的阻碍作用是非

常大的。另一位德国的知觉主义者魏尔认为，

康托把无穷分成等级是雾上之雾。法国数学

界的权威人物庞加莱曾预言：我们的“后一

代将把集合论当作一种疾病”等等。由于两

千年来无穷概念数学带来的困难，也由于反

对派的权威地位,康托的成就不仅没有得到

应有的评价，反而受到排斥。1891年，克罗

内克去世之后，康托的处境开始好转。

另一方面，许多大数学家支持康托的集合论。

除了狄德金以外，瑞典的数学家米大格---

列夫勒在自己创办的国际性数学杂志上把

康托的集合论的论文用法文转载，从而大大

促进了集合论在国际上的传播。1897年在第

一次国际数学家大会上，霍尔维次在对解析

函数的最新进展进行概括时，就对康托的集

合论的贡献进行了阐述。三年后的第二次国

际数学大会上，为了扞卫集合论而勇敢战斗

的希尔伯特又进一步强调了康托工作的重

要性。他把连续统假设列为20世纪初有待

解决的23个主要数学问题之首。希尔伯特

宣称:“没有人能把我们从康托为我们创造

的乐园中驱逐出去。”特别自1901年勒贝

格积分产生以及勒贝格的测度理论充实了

集合论之后，集合论得到了公认，康托的工

作获得崇高的评价。当第三次国际数学大会

于1904年召开时，“现代数学不能没有集

合论”已成为大家的看法。康托的声望已经

得到举世公认。

5．集合论的意义

集合论是现代数学中重要的基础理论。

它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分

析等许多数学分支以及物理学和质点力学

等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠

基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可

以说，如果没有集合论的观点，很难对现代

数学获得一个深刻的理解。所以集合论的创

立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且

对现代数学的发展也有深远的影响。

康托一生受过磨难。他以及其集合论受到粗

暴攻击长达十年。康托虽曾一度对数学失去

兴趣，而转向哲学、文学，但始终不能放弃

集合论。康托能不顾众多数学家、哲学家甚

至神学家的反对，坚定地扞卫超穷集合论，

与他的科学家气质和性格是分不开的。康托

的个性形成在很大程度上受到他父亲的影

响。他的父亲乔治瓦尔德玛康托在福音

派新教的影响下成长起来。是一位精明的商

人，明智且有天份。他的那种深笃的宗教信

仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心。

正是这种坚定、乐观的信念使康托义无返顾

地走向数学家之路并真正取得了成功。

今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康

托也因此成为世纪之交的最伟大的数学家

之一。