2023年4月19日发(作者：起雾)
第三讲 2.3 逆矩阵
2.3.1 逆矩阵的定义与性质
我端五
们已经定义了矩阵的加、减、数乘等运算,但是如果已知、,如何由矩阵方程
AB
AXB
求出这个矩阵呢?逆矩阵的概念将会很好地解决这个问题.
X
定义2.3.1 对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得．则称
nn
ABABBAEA
为可逆矩阵．称为的逆矩阵． 可行性报告格式
BA
由定义可得，与一定是同阶的，而且如果可逆，则的逆矩阵是唯一的．
ABAA
这是因为，如果
B
1
、都是的逆矩阵，则有
B
2
A
，
那么
ABBAEABBAE
1122
BBEB(AB)(BA)BEBB
11121222
所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵的逆矩阵记作
A
A
1
．
逆矩阵有下列性质：
（１）如果可逆，则
A
A
也可逆，且．
(A)A
11
由可逆的定义，显然有与
A
A
是互逆的．
（２）如果、是两个同阶可逆矩阵，则也可逆，且．
1
1
A
B
(AB)
()
ABBA
111
这是因为
()()()
ABBAABBAAEAAAE
111111
()()()
BAABBAABBEBBBE
111111
所以 ．
()
ABBA
111
这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形.
T
（３）可逆矩阵的转置矩阵．
A
A
也是可逆矩阵，且
(A)(A)
这是因为
AAAAEE
()()
1TT1TT
T1T1TT
T11T
()()
A挂失止付
AAAEE
所以 ．
(A)(A)
1
T11T
（４）如果是可逆矩阵，则有．
A
AA
1
1
，
这是因为 ，两边取行列式有
AAE
1
AA
1
1
所以
A
1
A
1
1
．
A
2.3.2 伴随矩阵
定义2.3.2 如果阶矩阵的行列式,则称是非奇异的(或非退化的).
n
AA
A0
否则,称是奇异的(或退化的).
A
定义2.3.3 设,的代数余子式.
Aaa(ij12n)
()，，，，
ijij
nn
A
ij
是中元素
A
AAA
1121n1
AAA
1222n2
*
矩阵
A
AAA
1n2nnn
称为的伴随矩阵.
A
定理2.3.1 矩阵为可逆矩阵的充分必要条件是为非奇异矩阵,并生活语录经典
且当
Aa
()
ij
nn
A
A
可逆时,有
1*
AA
1
A
1
1
证明: 必要性 设为可逆矩阵,则存在矩阵顾客心理
,在等式两边取行列
A
AAAE
,有
式,得
AAAA1
11
所以.即是非奇异的.
A0
A
充分性 设是非奇异矩阵,则,由行列式按一行(列)展开定理有
A
A0
1*
AAA(A
1
)
A
2
aaaAAA
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121n1
1
aaaAAA
21222n1222n2
A
aaaAAA
n1n2nn1n2nnn
A00
1
0A0
A
00A
E
同理可得 ,
AAE
1
所以可逆,并且
A
AA
例1. 已知矩阵
1*
1
A
112
1A23
宝宝发烧的原因
313
判断是否可逆,如果可逆,求
A
A
.
解: 因为
1
121
,
A10
231
313
所以可逆.又
A
A(1)8;A(1)9
1112
1112
A(1)1;A(1)5
1防火安全教案
321
1321
3121
1333
2321
3113
A(1)6;A(1)7
2223
2223
A(1)1;A(1)1
3132
3132
1112
3331
2111
3121
A(1)1.
33
33
所以
12
23
3
851
1
*1
A961A
A
1外汇交易时间
71
例2 设为(≥2)阶方阵,证明:当时
A
nn
A0
()
AAA
n2
枸杞泡酒的功效
,且
证明 : 当时, 有
A0
A
0
1
AAA
又
n1
AA
AAAAAA
,所以
()()
111
n11n2
n1
AAAAA
=
这道题当 时，在学了第三章后也可以证明。
A0
4
